实用高等数学7微分方程与拉普拉斯变换课件

1、 微分方程的概念 7.1 一阶微分方程7.2 可降阶的二微分方程7.3 拉普拉斯变换 7.5 目 录第七章 微分方程与拉普拉斯变换 二阶常系数线性微分方程7.4 应用与实践7.6 7.1 微分方程的概念 由于曲线过（1,2）点，故可求得 C=1,积分 微分方程的定义 【例1】求过 点， 且在曲线上任一点 处的切线斜率等于 的曲线方程。【解】设所求曲线的方程为所求曲线的方程为 7.1 微分方程的概念 【例】一辆汽车在平直的公路上从静止开始以3m/s2的加速度加速行驶,问汽车的速度达到12m/s时驶过了多长的距离？ 【解】设位移方程为 因为速度是位移关于时间的导数， 而加速度是速度关于时间的导数，

2、故（初始条件）.已知即 二阶微分方程. 【定义】含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程例如， 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶. 7.1 微分方程的概念 其中 中的某些变量可以不出现.二阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为或 7.1 微分方程的概念 如，方程 是四阶微分方程。 一般地， 阶微分方程的一般形式为 7.1 微分方程的概念 【定义2】如果将一个函数代入微分方程中，使方程成为恒等式，则称这个函数是该微分方程的解.例如通解特解通解特解 含有独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的解称为微分方程

3、的通解. 不含任意常数的解称为微分方程的特解. .【注意】独立是指即不能通过合并而使任意常数的个数减少. 7.1 微分方程的概念 求微分方程的解的过程叫做解微分方程. 【注意】如果不特别声明，也没有给出初始条件，解微分方程就是求微分方程的通解.用来确定通解中任意常数的附加条件称为初值条件例如，例2中的时，和时，为初值条件 7.1 微分方程的概念 【解】由 ，得 ， 再边积分，得 将 , 代入以上两式，得 【例2】 方程 ，且求 及当 时，于是汽车的运动方程为 .即汽车驶过的距离为24米.将 代入 得， .此时 7.1 微分方程的概念 【解】求导，得 【例3】 验证:函数 是方程 通解 将 和

4、的表达式代入所给微分方程的左边，得故 是所给微分方程的解左边又知C1，C2是两个独立的任意常数，故它是方程的通解. 7.1 微分方程的概念 【解】求导，得 【例3】（2） 验证:函数 是方程 的解 故是所给微分方程的解将 和 的表达式代入所给微分方程的左边，得左边 7.1 微分方程的概念 【例】解微分方程【解】 方程的两边积分求积分得对上式求积分，得再求积分得 7.1 微分方程的概念 【例5】 解微分方程【解 】 对两端积分所以满足初始条件的特解为求积分得将初始条件 代入上述通解中，得 7.2 一阶微分方程 一、可分离变量方程的方程称为可分离变量方程.形如求解可分离变量的微分方程的步骤如下：第

5、一步 分离变量第二步 两边积分第三步 求出积分其中 分别是 的原函数 ， 为任意常数。 7.2 一阶微分方程 【例1】 （1）解微分方程【分析】很明显，直接积分是行不通的。 【解 】 将方程写成形式 上式两端同乘以 ,并同除以 ,将变量 和 “分离”开,得两端求积分，得（ 是任意常数）即 （ 是任意常数），所以原方程的通解为 也是原方程解。 7.2 一阶微分方程 【想一想】 函数y=0是本题中微分方程的解吗？如果是，它是否包含在上述通解中？约定凡遇 均写成 ，这样不影响结果并能简化运算.【例1】 （2） 解微分方程 【解 】 方程可改写为分离变量，得两边积分，得求积分得即所求方程的通解为 为任

6、意常数） 7.2 一阶微分方程 约定凡遇 均写成 ，这样不影响结果并能简化运算。【例1】 （2） 解微分方程 【另解 】 方程可改写为分离变量，得两边积分，得求积分得即所求方程的通解为 ( 为任意常数) 7.2 一阶微分方程 【例2】 求微分方程 满足初始条件 的特解. 【解 】 方程可改写为分离变量，得两边积分，得求积分得所以得将初始条件 代入上式，求得因此所求方程的特解为 7.2 一阶微分方程 如果一阶微分方程能化为的形式，则称原方程为一阶齐次微分方程，简称齐次方程。 对于齐次方程，若令 即 ，则 ， 于是方程（2）可化为 即为可分离变量方程. 整理原方程，可得 ，即可化为可分离变量方程。

7、 例如，微分方程 就可化为齐次方程。 7.2 一阶微分方程 该解称为微分方程的隐式通解。 【例3】求微分方程 的通解。【解】原方程化为 .化简并分离变量，得 ，两边积分，得 ，即 ，变量回代，得原方程的通解 .则上方程化为 .令 ，则 且 . 7.2 一阶微分方程 【案例1】 已知某种放射性元素的衰变率与当时尚未衰变的放射性元素的量成正比，求这种放射性元素的衰变规律. 【解 】 设在时刻t时某元素的量为Q， 则Q是时间的函数Q=Q(t)（即为元素的衰变规律). 依题意，有分离变量，得两端积分，得（ 为比例常数，且 ）（故须在上式的右边加一个负号）由于 是递减函数，则即故得 7.2 一阶微分方程

8、 特点：所含未知函数和未知函数的导数都是一次的.一阶齐次线性方程一阶非齐次线性方程 否二、一阶线性微分方程 形如 的方程，称为一阶线性微分方程。是例如， 7.2 一阶微分方程 一阶线性微分方程的解法1. 线性齐次方程分离变量齐次方程的通解公式为两边积分（分离变量法）约定 表示 的某一个确定的原函数。 7.2 一阶微分方程 积分得2. 非齐次线性方程则通解公式为齐次方程通解非齐次方程特解或是上方程的解即将 和 代入原方程得 7.2 一阶微分方程 常数变易法求解一阶非齐次线性方程的步骤：（1）求齐次线性方程的通解： （2）求待定函数 ：设 是原非齐次线性方程解，将它代入原方程，求出 ； （3）写出

9、原方程的通解：将求出的 代入 得到原方程的通解 。 常数变易法: 通过将齐次线性方程通解中的任意常数 变易为待定函数 ，然后求出非齐次线性通解的方法称为常数变易法. 7.2 一阶微分方程 【例4】 求方程 的通解.【解法一】常数变易法（1）求齐次线性方程的通解：原方程对应的齐次线性方程为故得对应的齐次方程的通解为两边积分得分离变量得 7.2 一阶微分方程 （2）求 ：设原方程的通解为 对上式求导，得将 及 代入原方程 ，得所以（3）写出原方程的通解：即 , 7.2 一阶微分方程 【解法二】 公式法在原方程 中， 由于 ， 所以由非齐次方程的通解公式（7）得 7.2 一阶微分方程 【例5】求方程

10、 的通解。 【解】原方程 改写成标准形式 这里 代入通解公式（7），得所以通解为 7.2 一阶微分方程 【例6】求方程 的通解. 【解】将方程整理得 .已知方程 的通解公式为这里， ， 由通解公式，得原方程的通解为 7.3 可降阶的二阶微分方程一、 型的微分方程 二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.【解法】令 ，则 将它们代入原方程，得 方程 (不显含y的方程)求得其通解 ，即 .上式两端积分，得原方程的通解这种解微分方程的方法称为降阶法. 7.3 可降阶的二阶微分方程 【例1】求方程 的通解.【解法】令 ，则 将它们代入原方程，得整理得两端积分得或 ， 即 . 则原方程的通解为 7.3

11、 可降阶的二阶微分方程 【例2】求方程 的通解满足初始条件 的特解. 【解】令 ，则 将它们代入原方程，得 ，整理得 .两边积分得 .即 .二、 型的微分方程(不显含 ） 7.3 可降阶的二阶微分方程方程 的解法令 ，则将它们代入方程 中得：分离变量得故原方程的通解为两边积分得 ， 即 . 7.3 可降阶的二阶微分方程 【解】令 ，则 ，将它们代入原方程，得【例3】求微分方程 的通解。即两边积分得则原方程的通解 . 即 ，或 , 7.4 二阶常系数线性微分方程一、线性微分方程解的结构 【定义1】方程 （1） 称为二阶常系数线微分方程 ，其中 ， 为常数 ， 称为自由项. 当 时，方程成为 （2

12、） 称为二阶常系数齐次线性微分方程 . 当 时，方程（1）称为二阶非齐次线性微分方程 . 7.4 二阶常系数线性微分方程 【定理1】（解的叠加原理）如果函数y1，y2 都是齐次方程(2)的解，则y=C1y1+C2y 也是方程(2)的解，其中C1，C2 是任意常数.【证】 将 y=C1y1+C2y2 代入方程(2)式左边，得 定理1表明，齐次线性方程的解具有叠加性. 根据定理1，可由方程(2)的两个解，构造出任意多个解. 例如，0 0 =0= 7.4 二阶常系数线性微分方程 【定义2】 对于两个不恒等于零的函数y1与y2，如果存在一个常数C，使y2=Cy1，则称函数y2与y1线性相关；否则，称函

13、数y2与y1 线性无关. 【说明】由定义2 知，如果函数 与 线性相关，则它们的比 （常数）； 否则就线性相关。 二阶常系数齐次线性方程 通解的求法： 根据定理2，只需取出方程 的两个线性无关的特解 与， ，则 就是它的通解。 【定理2】（二阶齐次线性方程解的结构）如果函数 都是齐次方程(2)的两个线性无关的特解，则 7.4 二阶常系数线性微分方程例如， 【定理3 】（二阶非齐次线性方程解的结构） 设 是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解， 是它对应的齐次方程(2)的通解，则 是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解. 7.4 二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数齐次线性方程特征方程特征方程的

14、根 叫做微分方程的特征根 根据特征方程的根的三种不同情形,可得它的通解的三种情况，即有定理4. 7.4 二阶常系数线性微分方程【定理4】 若齐次方程 的特征方程具有(1) 两个不相等的实根 ，则齐次方程的通解为(2) 两个相等的实根 ，则齐次方程的通解为 (3) 一对共轭复根 ，则齐次方程的通解为 7.4 二阶常系数线性微分方程【例2】求微分方程 的通解.【解】所给微分方程的特征方程为故所求通解为二阶齐次方程的解法 7.4 二阶常系数线性微分方程【解】特征方程为它有两个相等的特征根【例3】 求微分方程 的通解故所求通解为 7.4 二阶常系数线性微分方程【解】 特征方程为【例3】 求微分方程 的

15、通解故方程的通解为它有两个不相等的特征根即 7.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出微分方程相应的特征方程;（2）求出特征方程的特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 7.4 二阶常系数线性微分方程 三、二阶常系数非齐次线性方程【解法】先求出它的对应的齐次方程的通解再求出 的一个特解 .将它们相加得即为原方程 的通解. 7.4 二阶常系数线性微分方程 （1） ， 其中 是一个 次多项式， 是常数：该方程有形如 的特解其中 是一个待定的 次多项式， 是一个整数当 不是特征根时 ，当 是特征根，但不是重根时， 当 是特征根，且为重根时， 7.4

16、 二阶常系数线性微分方程【例5】求微分方程 的通解.【解】该方程对应的齐次方程为齐次方程的通解为 7.4 二阶常系数线性微分方程代入原方程，化简得原方程的通解为 7.4 二阶常系数线性微分方程 【例6】求微分方程 满足初始条件 的特解.【解】对应齐次方程的通解为 7.4 二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数非齐次线性方程 7.4 二阶常系数线性微分方程【例7】求微分方程 的通解.【解】对应的齐次方程为代入原方程，得 7.4 二阶常系数线性微分方程比较方程两边，可得 7.5 拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的概念与性质 7.5 拉普拉斯变换【解】 根据拉氏变换的定义，有所以【例1】求单位阶跃函数 的

17、拉氏变换.该积分在 时收敛，且有 7.5 拉普拉斯变换所以【例2】 求指数函数 (k为实常数)的拉氏变换.【解】 根据拉氏变换的定义和 ，有 7.5 拉普拉斯变换【解】 根据拉氏变换的定义，有所以 7.5 拉普拉斯变换 【性质1】 (线性性质)若 为常数且 ， ，则【例4】 求函数 的拉氏变换.【解】 因为 ，由线性性质可得 拉普拉斯变换的性质 7.5 拉普拉斯变换移项化简，得即同理可得【性质2】 (微分性质)若 ，则【例5】 利用微分性质求函数 的拉氏变换.【解】 因为 ，由式(4)可得 7.5 拉普拉斯变换【性质3】(积分性质) 若 ，则【例6】 利用积分性质求 .【解】 因为 ， ，所以

18、 7.5 拉普拉斯变换【性质4】 (位移性质)若 ， 为常数，则【例7】 求函数 的拉氏变换.【解】 因为 ，由位移性质可得 7.5 拉普拉斯变换【性质5】 (延迟性质)若 则对于 ，有【例8】求函数 的拉氏变换.【解】 因为 ，由延迟性质可得 7.5 拉普拉斯变换【性质6】 若 ，且 时，则【性质7】 若 ，则【性质8】 若 ，则 7.5 拉普拉斯变换二、拉普拉斯逆变换拉氏变换的逆变换的性质：【性质10】 (位移性质) 【性质11 】(延迟性质)【性质9 】(线性性质) 7.5 拉普拉斯变换【例9】 求下列函数的拉氏逆变换： (3) 由位移性质及附表B中变换4，得 (2) 由线性性质及附表B

19、中变换9、10，得【解】 (1) 由附表B中的变换10，取 ，得 7.5 拉普拉斯变换【例10 】 求下列函数的拉氏逆变换：【解】 (1) 因为 ，所以(2) 因为 ，所以 7.5 拉普拉斯变换三、拉普拉斯变换的应用利用拉氏逆变换，得微分方程的特解为【例11】求微分方程 满足条件 的特解.【解】 设 在微分方程两边同时取拉氏变换，得将条件 代入上式，得 7.5 拉普拉斯变换利用拉氏变换解常系数线性微分方程的一般步骤 (1)对方程两端取拉氏变换，并设 ，得出关于像函数 的代数方程；(2)解此代数方程，求出 ； (3)利用拉氏逆变换求出 的像原函数 ，即得到原方程的解.解得利用拉氏逆变换，得微分方程的特解为 7.5 拉普拉斯变换【例12】 求方程 满足 的特解.【解】 设 ，在微分方程两边同时取拉氏变换，得将初始条件 代入上式，得 7.6 应用与实践 【例1】 物体的折旧规律（折旧模型）企业在进行成本核算的时候，经常要计算固定资产的折旧一般说来，固定资产在任意时刻的折旧额与当时固定资产的价值成正比，试讨论固定资产价值与时间的函数关系. 现有某固定资产五年前购买时的价格为10000元，而现在的价值为6000元，试估算该固定资产再过10年的价值. 7.6 应用与实践方程