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1、4矩阵的最大秩分解A C mn, 则存在矩阵 B C mr ,设定理1rrDCrn，使得rA BDA U L0 VA C mnH证 00 r L I0VA U H 0 L , D I0VA BD,HB=U 0 矩阵的最大秩分解步骤：一、进行行初等变化，i1化为行标准形：i201000ir001000010000* 0000* A00*0 00B (ai二.A的第i1 , i2 , ir列, ai, ai);12r三、AD.的非零行则例 1求矩阵A .的最大秩分解11931解一1 / 3 2 / 30 110 / 3300010 01 / 3 AA 00 12B 21 331 / 32 / 3D

2、 110 / 33001 01 / 3 解二 10011000000A1 00A 100 1D 14 362110B 01 27 11 A C mn, 且 A BD BD设均定理2r1122为A的最大秩分解，则(1)存在 r 阶可逆矩阵Q ，使得D1 Q 1D2B1 B2QDH )1( BH B)1 BHDH ( D(2)111111 DH ( D DH )1( BH B)1 BH222222( AH( AAH )( A) r1.r注B C mr，则B H C rm , B H B C rr2.rrr( BH B)1 BH B Er那么D C rn，则DH C nr , DD H C rr3.

3、rrDD H ( DD H )1 Err那么右逆证(1)DHDHB1 D1 B2 D2 BBDD111221DH )1 B2Q1B1 B2 D DH ( D2111)1 BH B同理 ( BH B Q2 D2D1B1 D1D11122 B2 B2 D22 D2BH BDH BH BDHDD222222222 Er1记1，则2DH ( D DH )1( BH B)1 BH(2)111111 (Q 1 D2 ) H Q 1 D2 (Q 1 D2 ) H 1( B2Q )H B2Q1( B2Q )H1 D2 D2 H (Q 1 )H 1 D2 H (Q H B2 H B2H B2 HH ( D2 D2 H )1 QQ 1 D2 H (

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