1-3行列式按行列展开

1、第三节 行列式按行（列）展开 1 在 n 阶行列式 det ( aij ) 中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列 Aij = ( 1 ) i+j Mij 记成 Mij , 称为元素 aij 的余子式. 称它为元素 aij 的代数余子式. 划去, 剩下的( n 1 )2 个元素按原来的排法构成的 n 1 阶行列式, 记 例1 三阶行列式 中元素 a23 的余子式为2元素 a23 的代数余子式为 例2 四阶行列式 中元素 x 的代数余子式为= 5.3 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应 或 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对 或应的代数余子式乘积之和，元素的代数余子式

2、乘积之和等于零. 定理 3推论即 即 4 引理 在行列式 D 中，如果它的第 i 行中除 aij 外其余元素都为0, 即 D = aij Aij那么 证明 先证 aij 位于第 1 行，第 1 列的情形，即5由行列式的定义，得 再证一般情形，设 用互换相邻两行和相邻两列，把 aij 调到左上角，得行列式6利用前面的结果，得于是所以引理成立.7 定理 3 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对 证 因为 或应的代数余子式乘积之和，即8椐引理，就得到类似地可得9 例 3 计算四阶行列式 解 按第 1 列展开，有10 例 4 计算四阶行列式 解 按第 1 行展开，有11对等式右端的两个 3 阶行

3、列式都按第 3 行展开，得 解 c3 - c1 c4 - 2c1 例 5 计算四阶行列式12第1 行提取 2，第 2 行提取 1按第 2 行展开得13按第 1 行展开 r2 + r1= 24 .c2 - c1 ，c3 - c114 例 6 证明范德蒙（Vandermonde ） 行列式 证 用数学归纳法. 所以当 n=2 时（）式成立. 假设对于 n 1 阶范德蒙行列式对 n 阶范德蒙行列式做运算 ri x1ri -1 , i = n , n 1,因为等式成立. 2 ,有15按第 1 列展开后，各列提取公因子( xi - x1 ) 得16椐归纳法假设，可得归纳法完成. 例7 计算 行列式17

4、解 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应 或元素的代数余子式乘积之和等于零. 即18 先以 3 阶行列式为例，因为所以又例如为了证得19 设行列式 D = det (aij ) ，因为行列式 D1中第 i 行与第 j 行元素对应相同，把行列式 D1 按第 j 行展开，有类似地，也可以证明另一个式子.所以 推论的证明取行列式20 2.会运用行列式按行（列）展开法则及其推论. P33 ，5(5) , 7(4), (6). 1.要求掌握余式式和代数余子式的定义.小 结作 业21 练 习1 已知求 x 的余子式和代数余子式.x 的余子式 M23 = 4.x 的代数余字式 A23 = ( 1 )2+3 M23 = 4. 解= - 4.22由 解 D 中 x 的一次项的系数等于其元素x 的代数余子式 A13 .= 4,所以 D 中 x 的一次项的系数为 4. 2.已知行列式求D中x的一次项的系数.23 3 计算 n 阶行列式解 按第一