矩阵对策基本原理

1、关于矩阵对策的基本原理第一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月1 当局中人I选定纯策略 和局中人II选定纯策略 后 ，就形成了一个纯局势 。对任一纯局势 ，记局中人I的赢得值为ai j，并称 第二张，PPT共三十五页，创作于2022年6月2为局中人I的赢得矩阵(或局中人II的支付矩阵)。由于假定对策为零和的，故局中人II的赢得矩阵就是-A。通常，将一个矩阵对策记成 G=I，II；S1，S2；A 或 G=S1，S2；A 例：齐王赛马 第三张，PPT共三十五页，创作于2022年6月3 田忌齐王 上中下 上下中 中上下 中下上 下中上 下上中 (上中下)31111-1 (上下中) 1311-1

2、1 (中上下)1-13111 (中下上)-111311 (下中上) 11-1131 (下上中)111-113表 10-2第四张，PPT共三十五页，创作于2022年6月4赢得矩阵为：第五张，PPT共三十五页，创作于2022年6月5 当矩阵对策模型给定后，各局中人面临的问题便是如何选取对自己最有利的纯策略，以谋取最大的赢得(或最少损失)。 例6 设有一矩阵对策 G=S1，S2；A，其中 ，第六张，PPT共三十五页，创作于2022年6月6“理智行为”：双方都不想冒险，都不存在侥幸心理，而是考虑到对方必然会设法使自己的所得最少这一点，就应该从各自可能出现的最不利的情形中选择最有利的情形作为决策的依据。

3、 第七张，PPT共三十五页，创作于2022年6月7 定义1 设 G=S1，S2；A为矩阵对策，其中 ， ， ， 若等式 成立，记VG=ai*j*。则称VG为对策G的值，称使 (10-1)式成立的纯局势 为G在纯策略 的解(或平衡局势)， 与 分别称为局中人 I、II的最优纯策略。第八张，PPT共三十五页，创作于2022年6月8例7 求解矩阵对策 G=S1，S2；A，其中第九张，PPT共三十五页，创作于2022年6月9定理 1 矩阵对策G=S1，S2；A 在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势 使得对一切i=1，m，j=1，n，均有第十张，PPT共三十五页，创作于2022年6月10定义

4、2 设f (x,y)为一个定义在 及 上的实值函数，如果存在 及 ，使得对一切 和 ，有则称(x*, y*)为函数f 的一个鞍点。第十一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月11 例8 求对策的解。设矩阵对策 G=S1，S2；A为矩阵对策，其中 ， ，赢得矩阵为 第十二张，PPT共三十五页，创作于2022年6月12性质 1 无差别性。即若 和 是对策G的两个解，则 。 性质 2 可交换性。即若 和 是对策G的两个解，则 和 也是解。第十三张，PPT共三十五页，创作于2022年6月13例9 某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的储量问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖与较冷

5、的气温条件下要消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为100元，150元和200元，又设秋季时煤价为每吨100元。在没有关于当年秋季准确的气象预报的条件下，秋季储煤多少吨能使单位的支出最少？第十四张，PPT共三十五页，创作于2022年6月14 对矩阵对策G=S1，S2；A来说，局中人I有把握的至少赢得是 局中人II有把握的至多损失是 2.2 矩阵对策的混合策略第十五张，PPT共三十五页，创作于2022年6月15 一般，局中人I的赢得值不会多于局中人II的所失值，即总有 。当v1= v2时，矩阵对策G存在纯策略意义下的解且VG =

6、v1= v2。 实际中出现的更多情形是v1 v2,根据定义1，对策不存在纯策略意义下的解。例如：赢得矩阵为 第十六张，PPT共三十五页，创作于2022年6月16 想法：是否可以给出一个选取不同策略的概率分布？第十七张，PPT共三十五页，创作于2022年6月17 定义3 设有矩阵对策G=S1，S2；A，其中 ， ， 记 第十八张，PPT共三十五页，创作于2022年6月18则S1*，S2*分别称为局中人I和II的混合策略集(或策略集)； 和 分别称为局中人I和II的混合策略(或策略)；对 ， ，称(x, y)为一个混合局势(或局势)，局中人I的赢得函数记成这样得到的一个新的对策记成G*=S1*，S

7、2*; E，称G*为对策G的混合扩充。第十九张，PPT共三十五页，创作于2022年6月19 局中人 I 可保证自己的赢得期望值不少于 局中人 II 可保证自己的所失期望值至多是 第二十张，PPT共三十五页，创作于2022年6月20 设 因此 第二十一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月21定义 4 设G*=S1*，S2* ；A是矩阵对策G=S1，S2；A 的混合扩充，如果记其值为VG。则称VG 为对策G*的值，称使(10-9)式成立的混合局势(x*，y*)为G在混合策略意义下的解(或简称解)，x*和y*分别称为局中人I和II的最优混合策略(或简称最优策略)。第二十二张，PPT共三十五页，

8、创作于2022年6月22定理 2 矩阵对策G=S1，S2；A 在混合策略意义下有解的充要条件是：存在 ， ，使(x*，y*)为函数E(x,y)的一个鞍点，即对 ， ，有第二十三张，PPT共三十五页，创作于2022年6月23例10 考虑矩阵对策G=S1，S2；A， 其中第二十四张，PPT共三十五页，创作于2022年6月24 两个记号： 当局中人I取纯策略 时，记其相应的赢得函数为E(i, y)，于是 当局中人II取纯策略 时，记其相应的赢得函数为E(x, j)，于是 2.3 矩阵对策的基本定理第二十五张，PPT共三十五页，创作于2022年6月25定理 3 设 ， ，则(x*，y*)是G的解的充要

9、条件是：对任意i=1，m和j=1，n，有第二十六张，PPT共三十五页，创作于2022年6月26定理 4 设 ， ，则(x*，y*)是G的解的充要条件是：存在数v，使得x*和y*分别是不等式组(I)和(II)的解，且v= VG 。第二十七张，PPT共三十五页，创作于2022年6月27定理 5 对任一矩阵对策G=S1，S2；A，一定存在混合策略意义下的解。定理 6 设(x*,y*)是矩阵对策G的解，v= VG 则 (1)若 ，则 (2)若 ，则 (3)若 ，则 (4)若 ，则 第二十八张，PPT共三十五页，创作于2022年6月28定理 7 设有两个矩阵对策 G1=S1，S2；A1 G2=S1，S2

10、；A2 其中 L为任一常数,则有 (1) (2) 第二十九张，PPT共三十五页，创作于2022年6月29定理 8 设有两个矩阵对策 G1=S1，S2；A G2=S1，S2； A 其中 为任一常数,则有 (1) (2) 第三十张，PPT共三十五页，创作于2022年6月30定理 9 设G =S1，S2；A为矩阵对策，且 为斜对称矩阵(亦称这种对策为对称对策)。则有 (1) (2) ，其中 和 分别为局中人I和II的最优策略集。第三十一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月31 定义5 设有矩阵对策G=S1，S2；A，其中 , ， ，如果对一切 j=1，n 都有 ，即矩阵A的第 行元素均不小于第 行的对应元素，则称局中人I的纯策略 优超于 ；同样，若对一切 i=1，m，都有 即矩阵A的第 列元素均不小于第 列的对应元素，则称局中人II的纯策略 优超于第三十二张，PPT共三十五页，创作于2022年6月32 定理10 设G=S1，S2；A为矩阵对策，其中 ， ，如果纯策略 被其余纯策略 中之一所优超，由G可得到一个新的矩阵对策 其中第三十