几何画板立体图形的旋转

1、立体几何的空间图形应该怎样转动苏州市第十中学罗强文1介绍了一种应用几何画板软件实现空间图形直观图旋转的方法，虽然这种方法达到了使空间几何图形绕某个中心（或者绕某根对称轴）转动的目的，但根据这种方法作出的图形与中学教材所介绍的斜二测画法画出的直观图存在一定的差异，故不适宜在中学立几教学中采用。为了使大家对文1介绍的方法有所了解，先把文1介绍的方法摘引如下：“下面以正方形的直观图为例说明作图步骤（阅读前应先了解几何画板的主要功能和基本操作）：1、作线段m和点S,以S为圆心m的长为半径作圆S并在圆上取动点A,作半径SA，在SA上取点B,以S为圆心，SB为半径作小圆S。2、在大圆s上取动点C，作射线C

2、S交大圆于C、D,交小圆于q、必，过S作CS的垂线分别交两同心圆于E、F和Ff3、过C作SA的垂线与过q所作SA的平行线交于M点，对点D和E和环F和.，同样作出P,N，Q三点（也可以先作出M,Q两点再旋转得到P,N两点）。连结M、N、P、Q,得到平行四边形（如图1）”显然，文1画法中，点M所在位置与点C按照斜二测画法画出的位置完全不同。实际上，要作出转动正方形的斜二测画投影图并不困难，作法如下：、作水平线l和圆0,在圆0上取动点A,以0为中心，将A分别逆时针旋转90、180、270，作出点B、C、D,连结可得转动正方形ABCD。、过A作直线l的垂线n,交l于A1点，以片为中心，将A顺时针旋转4

3、5并缩放为原来2倍，得点E,同理可得点F;以O为中心，将E、F旋转180,可得点G、H,连结点E、F、G、H得到平行四边形EFGH,该四边形即为正方形ABCD的斜二测画投影图（如图2）。、定义点A在圆O上的动画，双击“动画A”按钮，可看到随着正方形ABCD的转动，其投影平行四边形EFGH随之转动，其轨迹为椭圆。文1还谈到拖动图1中的B点可以模拟水平视角的改变，这种方法对平面图形勉强尚可，但对几何体则很难适用。下面介绍一个水平视角可以变化的正方形的投影图的作法：、作铅直线a和圆0,得交点S,在圆0上取动点T，过T作a的垂线b交a于以片为中心，将T1OP逆时针旋转45。并缩放为原来的倍，得点P，连

4、结0P（如图3）,标记角ZS0P，标记比。（2）、另作水平线h和圆0，在圆0上作正方形ABCD（如图4,图中为水平放置正方形），以A的垂足件为中心，将A按中的标记角和标记比进行旋转和缩放，得到点E,同理得点F，以0內中心，将E、F旋转180得点G、H,连结E、F、G、H,平行四边形EFGH即为正方形ABCD的投影图。（3）、定义图3中点T在圆0上的动画（P的轨迹为椭圆），可以看到图4中平行四边形EFGH随之绕水平直线h上下转动。有了上述两种作法为基础，我们就可以作出既能水平方向转动又能垂直方向转动的正方体，作法如下：（1）、作圆0,水平线0T交圆0于点T,将T点以0为中心逆时针旋转90得点S,

5、以0为中心将S点缩放为原来的忑倍，得点S（如图5）。（2）、作圆久和铅直线m,在圆01上取动点A,以0为旋转中心将点A顺次逆时针旋转90，得点B、C、D,作点A在直线m上的垂足件，以片为中心，将点A逆时针旋转45并缩放为原来的亍倍，得点E,同理可得点F、G、H,取EH的中点K（如图6）。OE一、_、_、_、o-（3）、标记向量F0,将线段FE按标记向量平移得到线段0E,标记角ZS10E1，标记比。、作水平直线n和圆02,在圆02上取动点A,以02为旋转中心将点A顺次逆时针旋转90,得点B仁C、D，作点A在直线n上的垂足码，以打为中心，将点A按中的标记角和标记比进行旋转和缩放，得点E,同理得点F

6、、G、H，连结E、F、G、H，得平行四边形E，F，G，H（如图7）。（5）、取点03,标记向量K03,将线段EH按标记向量平移得到线段MN;标记向量02M,将四边形E，F，G，H，按标记向量平移，得四边形WXYZ;标记向量02N,将四边形E，F，G，H，按标记向量平移，得四边形入丫厶连结WWXX、YYfZZ1,得正方体WY1（如图8）。、在图6中，定义点A在圆0上的动画，在图7中，定义点A，在圆02上的动画，双击按钮“动画A，”，可以看到图8中的正方体水平方向旋转，双击按钮“动画A”，可以看到图8中的正方体垂直方向旋转。根据上文所述转动正方体的制作原理，还能作出既可水平转动又可垂直转动的正棱锥

7、和正棱台等几何体，以这些转动几何体为模型，教师就可以制作出一系列CAI课例，从而使我们的立体几何教学突破原有教学手段的束缚，进入一个崭新的领域。注：文1见范登宸等，让立体几何图形动起来，数学通报1999年第2期。对于学生来说，学习高中立体几何的最大障碍是空间想像能力的不足。我们不妨举个例子。如图1所示，PK垂直于矩形KLMJ于点K，连接PL、PM、PJ，请问在此图中有几个直角三角形。对这个题目，教师要花很大的功夫告诉学生侧面的四个三角形均为直角三角形，光证明不算，有时，还不得不在黑板上画出不同侧面的图形以帮助学生理解。后来笔者想到用几何画板把它制成了动画，让这个图形在水平面上旋转演示，学生便可

8、以很好地理解了。图1几何题目示意图1.用画线段工具，在窗的左下角画出一长一短两条线段。用文本工具分别标记它们为线段j和k。用画点工具，在窗的中央画点，标记其为点A。用选择工具，按住“Shift”键，同时选中点A和线段j及k,点击菜单命令构造一由圆心和半径绘圆”得到以点A为圆心的两个同心圆。改变线段的长短，可以同时改变两圆的大小。2.选中大圆，点击菜单命令构造一Circle上的点”得到圆上的一个动点，标记其为点B。同时选中点A和点B，点击菜单命令构造一直线”得到过点A和点B的一条直线。选中这条直线，同时选中点A,点击菜单命令构造一垂线”这样，我们就得到了两条互相垂直的直线。用画点工具，在两条直线

9、与两圆的交叉处画点，并分别对它们进行标记（如图2）。图2构造点与线3点击菜单命令图像一定义坐标系”在窗中显示直角坐标系及网格。同时选中大圆上的点B及其下方的点E,并选中坐标系的y轴，点击菜单命令构造一平行线”得到两条与y轴平行竖直向下的直线。同时选中小圆的点F和H,并同时选中一条竖直向下的直线，点击菜单命令构造一垂线”得到两条水平直线。它们与两条竖直向下的直线会有四个交叉点。用画点工具在左下角和右上角的交叉处画点，用文本工具标记它们为点J和点K。同时选中这两个点，点击菜单命令构造一线段”得到线段JK。选中这条线段，点击菜单命令显示一线宽一粗线”使它变成粗线段（如图3）。图3长方体的一条边双击点

10、A,使其标记为中心，选中线段JK,点击菜单命令转换一旋转”在弹出的旋转对话框中的旋转角度输入框中输入“180。点击旋转按钮，得到线段JK关于点A的对称线段。用画点工具画出线段的两个顶点，用文本工具标记它们为点L和点M。同时选中点L和点K,点击菜单命令构造一线段”另外选中点M和点J同样构造线段。这样,我们就得到了长方体的底面KJML了（如图4）。图4长方体的面我们还要先清理一下窗，因为现在画的辅助线有点多了。先选中除了底面KLMJ、点B、大圆之外的线条和点，按“Ctrl+快捷键将它们隐藏。选中点K,点击菜单命令转换一平移”弹出的平移对话框，在距离”勺输入框中输入“5厘米（您可以根据需要的效果填写这个数字）。用前面的方法构造出线段PL、PM、PJ、PK。选中B点，点击菜单命令编辑一动作按钮一动画”在弹出的对话框中，点击动画”选项卡，在方向的下拉列表中选择“Clockwise点击标签”选项