函数的奇偶性

1、13.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念目 标 要 求热 点 提 示1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2掌握判断函数奇偶性的方法.利用函数奇偶性概念来判断函数奇偶性是本课时的热点内容.我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，如和谐美、自然美、对称美下图中的图标给我们什么感觉呢？如果给下图中的图标建立适当的坐标系，我们不难发现它们有的关于y轴对称，有的关于坐标原点对称图象关于y轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢？1偶函数(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x) ，那么函数f(x)叫做偶函数(2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于 对称f(x)y轴温

2、馨提示：函数f(x)是偶函数对定义域内任意一个x，有f(x)f(x)0f(x)的图象关于y轴对称2奇函数(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x) ，那么函数f(x)叫做奇函数(2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于 对称f(x)原点温馨提示：函数f(x)是奇函数对定义域内任意一个x，有f(x)f(x)0f(x)的图象关于原点对称3奇偶性(1)定义：如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性(2)几何意义：定义域关于 对称；图象关于原点或y轴对称原点温馨提示：函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定

3、义域或其子集上的性质，是“局部”性质1函数yx4x2()A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数解析：定义域是R，f(x)(x)4(x)2x4x2f(x)，所以是偶函数答案：B解析：定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数答案：D4(2010北京师大附中高一检测)已知函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，且定义域为a1,2a，则a_，b_.思路分析：利用函数奇偶性的定义判断解：(1)定义域为R，f(x)(x)3(x)x3xf(x)，f(x)为奇函数(2)定义域为x|x1或x1，定义域关于原点不对称，f(x)为非奇非偶函数(3)定义域为2

4、,2，任取x2,2，则x2,2f(x)0f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数温馨提示：证明函数奇偶性必须用定义：任取xD，则xD，f(x)f(x)如果D不关于原点对称，立刻否定有奇偶性因为它不满足任意xD，则xD.判断函数奇偶性方法很多，如奇函数奇函数奇函数，奇函数偶函数奇函数，奇函数奇函数偶函数等等 思路分析：由题目可获取以下主要信息：已知函数为分段函数；判断此函数的奇偶性解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明解：(1)当x0.f(x)(x)22(x)3x22x3f(x)；(2)当x0时，x0时，f(x)满足f(x)x22x3，xf(3)温馨提示：给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平

5、面内的某个半平面上的图象，要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇、偶函数图象的对称性其过程是作出原图象几个关键点(图象的最高点、最低点、拐点等)关于原点或y轴的对称点然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点，就作出了它们在另一个半平面的图象 温馨提示：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得 解：(1)函数定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)f(x)是奇函数(2)函数的定义域为x|x1不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数 设奇函数f(x)的定义域为5,5若当x0,5时

6、，f(x)的图象如下图所示，则不等式f(x)0的解集是_解析：如下图，根据yf(x)，x5,5的图象知f(x)0的解集为x|2x0或2x5答案：x|2x0或2x5 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、bR都满足：f(ab)af(b)bf(a)(1)求f(0)、f(1)的值(2)证明f(x)为奇函数解：(1)令ab0，f(0)0f(0)0f(0)0.令ab1，f(1)1f(1)1f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令ab1，则f(1)0.f(x)f(1x)f(x)xf(1)f(x)0f(x)，f(x)为奇函数3(1)若f(x)是偶函数，则f(x)f(|x|)，反之亦真(2)若f(x)为奇函数，且0