概率论与数理统计：独立性

1、第六节 独立性Independence讨论分别抛掷2枚均匀硬币(记为甲和乙)，观察出现正面H、反面T的情况。事件A：甲硬币出现H；事件B：乙硬币出现H ；求P(AB)、P(B|A)、P(A)、P(B)。详解样本空间S=HH, HT, TH, TT, 事件A=HH, HT,事件B=HH, TH.P(A)=2/4, P(B)=2/4, P(AB)=1/4,P(B|A)=1/2.P(B|A)= P(B), P(AB)= P(A) P(B).结论甲硬币是否出现正面与乙硬币是否出现正面互不影响！事件A的发生对事件B的发生毫无影响。独立的定义设A, B是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),

2、 则称事件A, B 相互独立，简称A, B 独立。定理1设A, B是两事件，且P(A)0，若A, B相互独立，则 P(B|A)=P(B).反之，若P(B|A)=P(B)，则有A, B相互独立。 定理2 若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立： 多个事件相互独立设A, B, C是三个事件，如果满足等式 则称事件A, B, C 相互独立。推论若事件A1,A2,An(n2)相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也相互独立。若事件A1,A2,An(n2)相互独立，则将其中的任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。例2一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可

3、靠性。如上图，设有4个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并联的方式连接(称为串并联系统).设第i个元件的可靠性为 pi (i=1,2,3,4)，试求系统的可靠性。III2134例3要验收一批乐器(100件)，方案如下:自该批乐器中随机取3件测试(假设测试结果相互独立)，若3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器将被拒收。设一件不纯的乐器被测出不纯的概率为0.95，一件纯的乐器被误认为不纯的概率为0.01，若100件乐器中恰有4件不纯.求这批乐器被接收的概率。例4甲乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p (p0.5)。问对甲而言，采用三局两胜有利，还是采用五局三胜有利。假设各局胜负相互独

4、立。小结相互独立（多个事件相互独立）相互独立的判定定理独立性的应用作业34 (2)3个犯人3个犯人都住在隔离间，且都判了死刑。狱官随机赦免了其中1个犯人。看守知道谁被赦免但不会说。犯人A脸皮厚，让看守告诉他，B和C谁会被执行死刑。如果赦免B，看守就说C； 如果赦免C，那就说B； 如果BC都没被赦免，就投硬币决定说谁。最后，看守告诉A，犯人B将被执行死刑。3个犯人 犯人A兴奋不已，觉得自己的生存概率从1/3提升到了1/2，因为原来是ABC三人有一人被赦免，现在是AC两人有一人被赦免了。 A将此告诉了C，C同样兴奋不已。他认为，A的生存概率仍为1/3，而C却有了2/3的概率被赦免。元芳，你怎么看？箱子悖论(Bertrands Box Paradox) 有3个箱子，每个箱子中间都有2个隔档。3个箱子分别放的是两块金条、两块银条、金条银条各一块。箱子悖论随机抽取一个箱子，随机打开一个隔档如果里面是金条，那另外一个隔档里面是金条的概率是多少？课堂讨论(P27T31)设事件A与B的概率均大于0，判断：若A与B互不相容，则它们相互独立；若A与B相互独立，则