《复变函数》试卷B及答案

1、诚信应考，考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试2009复变函数-B试卷注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3.考试形式：闭卷；4.本试卷共7大题，满分100分，考试时间120分钟。题号1234567总分得分评卷人1,填空题。(每题5分，合计30分)(1)已知z3=1+i,则Z所有取值为)题 答 不 内 线 封 密 (2)设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线,W在C的内部，则积分fy2。09 dz =t (z-)(3)在映射w = z3下，区域w 1, 0argwn的原像为(4)函数 w = xy2+ix2y在如下

2、范围内可导:(5)计算积分(o(z -i)sin zdz =2-(6)函数f (z) =ez sinz在z0 =0的泰勒展开式为2,计算题，(每题5分，合计25分)。(1)计算 L n (12 i 5和产的值(2)求解方程sh z =0(3)设 f (z) =x2+axy+by2+i (cx2+dxy + y2)在复平面上解析，求 a, b, c, d(4)计算积分JZdz,其中C是从原点到1+3i的直线段 C一一1,1(5)函数f(z)=和g(z)=cos()都有什么奇点？如果是极点，请指出它 e -1z T是几阶极点。3,(本题10分)计算如下幕级数的收敛半径:二 n2 n 1 zn ;n

3、 4 e二 i二Z enznon 14,5,6,(本题10分)2 二1计算积分n 2 d30 1 -2p cos 二 p0cp 1。(本题10分)计算积分7Jdz, C : z =3 ,为正向曲线C(z +1) (z1)(z 2)2(本题10分)在指定区域展开成洛朗级数：, 、-1f(z)=0zi1； z (z-i)f (z) =ln(12 z),0cz 1。z，一 , ，一 , x2 -17,(本题5分)计算积分1f ?dx0 x 12009复变函数B答案1,填空题。(每题5分，合计30分)(1)已知 z3 =1 +i ,则 z所有取值为 6/2cos( 2k) +i sin( +处3, k

4、 =0,1,2 123123(2)设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线,在C的内部，则积分-f dz 2二 i c(z- )2009- 2008!f (2008)(3)在映射w = z3下，区域w 1, 0argwn的原像为z 1,二,22 二 二argz=(0,-)U(, )U(-,-) 3333(4)函数 w = xy2+ix2y在如下范围内可导：x=y = 0Res I tan 二 z (z T )sin zdz = sin i-i2,计算题，(每题5分，合计30分)(1)计算 Ln(12i 5和产的值5解：Ln(12 5i) =ln(125i) 2k二i =l

5、n13 2k二 i 一i arctan一12i 2 =e 2Lni =e 2(2 k二 =cos .2(2K;2) isin ,2(2k： ：. 2) (2)求解方程sh z-0解：sh z = 0= ez e* = 0= e2z = 1= 2z = Ln1 = 2k二i = z = k二 i(3)设 f (z) =x2+axy+by2+i (cx2+dxy + y2)在复平面上解析，求 a, b, c, d 解：u =x2+axy+by2, v = cx2+dxy + y2 ,由柯西黎曼条件 TOC o 1-5 h z ：u c-：vv c ,=- (ax 2by)二2x ay =一二 dy

6、 2y,二 2cx dy 二:xNFx=a = 2, b = -1, c = 一1, d =2(4)计算积分Jzdz,其中C是从原点到1+3i的直线段。 -C _11解：参数万程 x=t, y=3t, t0, 1= zdz= J (t-3ti)(1+3i)dt = 1 10tdt =5 C00(5)函数f(z)=:L和g(z)=cos()都有什么奇点？如果是极点，请指出它 e -1z -i是几阶极点。解：ez -1 =。= z = 0 ,因此 f (z)具有奇点 z0=0。又 e 1 =E z /n!,知 z0 = 0 n坦为一阶极点。显然，g(z)具有奇点4 = i ,而11111g(z)=

7、cos( ) =1() HL (-1)() - IIIz -i 2! z-i(2n)! z -i因此z1 =i为本性奇点。（6）解：，、1 ，求f （z）= 一在z =3处的Taylor展式。 zf(z) z13 (z-3).n111 - ：1 z -331 (z-3) 3 3n/ . 3oO=n为nz-33,（本题10分）计算如下幕级数的收敛半径:二 n2 n . . nrzn ；比值法, n 4 e二 i. enzn。根值法,n 1lim Ri、 en 1二二R = e4,（本题10分）计算积分解：令 z=ei6,则 d = dz,cos6 =工(z+ z), iz2-O21 -2 pco

8、s? pd9 =gZmf (z)dz ,其中 f (z)1i(1 - pz)(z- p)有两个一阶极点z1 = p在z = 1内,z2 = p，在z =1外。于是,I =20Res(f(z), p)=2i1i(1 -pz) z=L135,(本题10分)计算积分f3dz,C: z ,为正向曲线。(z3+1)3(z-1)(z-2)2，一1斛：f (z) =-3有极点 乙，z2, z3酒足 z +1 = 0 , 一阶极点(z3 1)3(z-1)(z-2)z4=1, z5=2,其中乙，z2, z3, z4在C内，z5在C外。因此U(z3 1)3(z-1)(z-2)4=2兀汇 Res(f (z), zn)=n 1-2二 iR