1 数字电路基础

1、项目一 数字电路基础概述数制和编码制逻辑函数三种最基本的逻辑运算复合逻辑函数逻辑函数的几种表示方法及其相互转换逻辑代数逻辑函数的卡诺图化简法关于正逻辑和负逻辑的规定及其转换1、数制和码制，各种数制间的转换；2、与、或、非逻辑和其它复合逻辑函数；3、逻辑代数基本定律的运用，用代数法和 卡诺图法化简和变换逻辑函数；4、逻辑问题的描述方法：真值表、逻辑表达 式、卡诺图和逻辑图。本项目教学基本要求（一）数字信号和数字电路 1.1 概述1、模拟信号是指在时间上和数值上都是连续变化 的信号。数值无穷多，函数表达式复杂多样。2、数字信号是指在时间上和数值上都是断续变 化的离散信号。便于存储、分析和传输 信号

2、。在数字电路中，常用二进制数来量化连续变化的模拟信号，而二进制数正好是用二值数字逻辑中的1和0表示的，称逻辑1和逻辑0。分别对应高电平和低电平。 （二）数字电路的特点1、数字电路在稳态时，电子器件处于开关状态，即工作在饱和区和截止区。和二进制信号的要求是对应的。分别用0 和1来表示。2、数字电路信号的1和0没有任何数量的含义，而 只是状态的含义，所以电路在工作时要能可靠 地区分开1和0两种状态。3、对已有电路分析其逻辑功能，叫做逻辑分析； 按逻辑功能要求设计电路，叫做逻辑设计。4、数字电路工作状态主要是用逻辑代数和卡诺图法等 进行分析化简。5、数字电路能够对数字信号1和0进行各种逻辑运算 和算

3、术运算。（三）数字电路的分类1、数字电路按组成的结构可分为分立元件电路和集成电路两大类。集成电路按集成度分为小规模、中规模、大规模和超大规模集成电路。2、按电路所用器件的不同。数字电路又可分为双极型 和单极型电路。3、根据电路逻辑功能的不同，数字电路又可分为组合 逻辑电路和时序逻辑电路两大类。只有多数载流子（电子或空穴）参与导电，故称单极型器件。场效应管空穴和电子均参与导电，故称双极型器件。三极管 主要要求： 1.2 数制与编码 掌握各种计数体制及其表示方法。 几种计数体制之间的相互转换。 理解 BCD 码的含义，掌握 8421BCD 码， 了解其他常用 BCD 码。一、数制(一) 十进制 (

4、Decimal)十进制有如下特点：（1）它的数码K共有十个，为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。（2）相邻位的关系：高位为低位的十倍，逢十进一，借一当十，即十进制 是以10为基数的计数体制。（3）任何一个十进制都可以写成以10为底的幂之和的形式。例如： (11.51)10 1101 1100 510-1 110-2 权 权 权 权 10i 称十进制的权 10 称为基数 0 9 十个数称数码数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式 (246.134)10 = 2102 + 4101 + 6100 + 110-1 + 310-2 + 410-3(二) 二进

5、制 (Binary)（XXX）2或（XXX）B例如（1011）2或（1011）B进位规律：逢二进一，借一当二数码：0、1权：2i基数：2 系数：0、1例如 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 11 + 1 = 100 10 1 = 1按权展开式表示(1011)2 = 123 + 022 + 121 + 120 将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。(1011.11)2 = 123 + 022 + 121 + 120 + 12-1 + 12-2= 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 = 11.75(1011.11)2 = (11.75)10(三) 八进制(0c

6、tal)(XXX)8或 (XXX)O 例如：（46）8或（46）O进位规律：逢八进一，借一当八。数码：07权：8i 基数：8 系数：07按权展开式表示 （46）8=481+6 80（46）8 = 481+6 80 =（38）10将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。（46）8 = （38）10(四) 十六进制 (Binary)(XXX)16或 (XXX)H 例如：（4E6）16或（4E6）H进位规律：逢十六进一，借一当十六。数码：09、A F权：16i 基数：16 系数：09、AF按权展开式表示 （4E6）16=4162+E 161+6 160（4E6）16 = 4162+14 1

7、61+6 160 =（1254）10将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。 =（1254）10（4E6）16 = （1254）10几种进制的优缺点: 以十进制和二进制作比较,十进制在日常生活中应用最多,是人们最熟悉和习惯的计数体制,但其十个数码在数字电路中难于找到十个状态与之对应数字电路的两个状态可用两个数码表示,故采用二进制.二进制计算规则简单,但人们对它不习惯,另外其数位较多,不易读写.利用二进制与十进制和十六进制的对应关系对十进制和十六进制以及二进制编码,用起来就很方便了。二、几种不同数制间的转换 1.二进制、八进制、十六进制转换成十进制可以将非十进制写为按权展开式,得出其相

8、加的结果,就是对应的十进制数例1(11010)2=124+123+022+121+020 =24+23+21=(26)10例2(1001.01)2=123+022+021+120+02-1+12-2=23+20+2-2=(9.25)10例3(174)16=1162+7161+4160=256+112+4=(372)102. 十进制转换为二进制、八进制、十六进制整数和小数分别转换 整数部分：除 2、8、16 取余法 小数部分：乘 2 、8、16取整法例1 将十进制数 (26)10 转换成二进制数 26 余数13 631 222220 读数顺序0.87521.750 121.500 12 1.00

9、0 1整数读数顺序一直除到商为 0 为止(26)10= (11010)201011例2 将（0.875）10转换为二进制数（0.875）10=（0.111）2乘到满足误差要求为止 补充：有效数字和有效数字位定义： 从它最左端一位非零数字起，到最末一位所有数字都称为有效数字。意义：一个n位有效数字前（n-1）位是准确可靠的，而末位一位是欠准的估计数字，。一般规定误差不大于末位有效数字单位的一半。它表达了一定的准确度，不能多写，也不能少些。有效数字的位数与小数点无关，尾数的”0”也要写出。 知识点： 1）可以从有效数字的位数估计出测量误差，一般规定误差不超过有效数字末位单位的一半。 2） “0”在

10、最左面为非有效数字： 3）有效数字不能因选用单位的变化而变化。例：0.1030A 表示含有误差：0.0001/2=0.00005A； 有效数字位：1、0、3、0(最左端的0非有效数字)； 用mA单位表示：103.0 mA;而不是103 mA,末位的0不能去掉。因此，若要求误差不大于2-n,则要乘 n-1 次。例3 将(139)D转换成八进制数。 解：例4 将(139)D转换成十六进制数。解：3、八进制数、十六进制数与二进制数的相互转换 因为23=8，所以对三位的二进制数来讲，从000111共有8种组合状态，我们可以分别将这8种状态用来表示八进制数码0，1，2，7。这样，每一位八进制数正好相当于

11、三位二进制数。反过来，每三位二进制数又相当于一位八进制数。 同理，24=16，四位二进制数共有16种组合状态，可以分别用来表示十六进制的16个数码。这样，每一位十六进制数正好相当于四位二进制数。反过来，每四位二进制数相当于一位十六进制数。例5 将八进制数（625）O转换为二进制数。 解：（625）O（110010101）B例6 将二进制数(110100111)B转换为十六进制数。 解：(110100111)B=(1A7)H 当要求将八进制数和十六进制数互相转换时，可通过二进制来完成。例7 将（81）10转换为二进制、十六进制数8124012202010205201200余数读数顺序可用除基取余

12、法直接求十六进制。或利用十六进制数码与二进制数码的对应关系，由二进制数转化为十六进制数。 每一个十六进制数码都可以用4位二进制来表示。所以可将二制数从低位向高位每4位一组写出各组的值，从左到右读写，就是十六进制。在将二进制数按4位一组划分字节时最高位一组位数不够可用0补齐。（81）10=（1010001）2=（01010001）2=（51）16小数点以后的二进制数转化为十六进制数在划分字节时是从高位到低们进行的。2121三、编码 我们将若干位二进制数码组合起来表示数字、文字符号以及其它不同的事物，我们称这种二进制码为代码。赋予每个代码以固定的含义的过程，就称为编码。常用的编码有二-十进制码、格

13、雷码以及字符代码等。 用二进制码表示十进制码的编码方法称为二-十进制码，即BCD码。若所需编码的信息有N项，则需二进制数码的位数n应满足： 2n N常用的BCD码几种编码方式如表所示1111111111001110111010111101011110101100011010011011010110000100010001000011001100110010001000100001000100010000000000009876543210 十 进 制 数1100101110101001100001110110010101000011余 3 码2421(B)2421(A) 5421 码 8421

14、 码无权码 有 权 码1001100001110110010101000011001000010000权为 8、4、2、1比 8421BCD 码多余 3取四位自然二进制数的前 10 种组合，去掉后 6 种组合 1010 1111。用 BCD 码表示十进制数举例： (473)10 =（010001110011）8421 BCD (36)10 = (00110110) 8421 BCD (4.79)10 = (0100.01111001)8421 BCD(50)10 = (01010000)8421 BCD 注意区别 BCD 码与数制： (150)10 = (000101010000)8421 B

15、CD = (10010110)2 = (226)8 = (96)16 可靠性代码奇偶校验码 组成信 息 码 ： 需要传送的信息本身。1 位校验位：取值为 0 或 1，以使整个代码 中“1”的个数为奇数或偶数。使“1”的个数为奇数的称奇校验，使“1”的个数为偶数的称偶校验。 主要要求： 1.3 逻辑代数1、理解逻辑函数和逻辑变量2、掌握三种基本逻辑关系及表示方法1.3.1 逻辑函数中三种最基本的逻辑运算一、逻辑函数和逻辑变量1、概念：以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑结果的函数关系称为逻辑函数。 在逻辑代数中，逻辑变量也是用字母来表示的。逻辑变量的取值只有两个：1和0。注意逻辑代数中的 1 和 0

16、 不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。 例如：开关闭合为 1 晶体管截至为 1 电位高为 1 断开为 0 导通为 0 低为 0 决定事物的因素（原因）为逻辑自变量，被决定的事物的结果为逻辑因变量。逻辑代数：是讨论逻辑关系的一门学科，由数学家 乔治.布尔创立，因此，又称布尔代数早期用于开关网络，因此又称开关代数。2、逻辑函数的表示方法：逻辑表达式、真值表、逻辑（电路）图、卡诺图、时序图等。真值表：反映一个逻辑函数在各种条件组合下的各种结果，从具体要求可写出真值表，进而写出逻辑表达式，进而又可得到逻辑电路图。真值表是所有条件与结果的列表，n个变量则有2n种不同组合。逻辑表达式：与普通代数中函数表

17、达式基本一样。逻辑电路图：用基本的逻辑门符号构成的电路图，它能表达输入、出之间的关系。卡诺图：是真值表的另一种表示方法，因此，它也能描述逻辑函数。时序图：随时间变化的数字波形图。二、基本逻辑函数及运算 基本逻辑函数 与逻辑 或逻辑 非逻辑与运算(逻辑乘) 或运算(逻辑加) 非运算(逻辑非) 1. 与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生。灭断断亮合合灭断合灭合断灯 Y开关 B开关 A开关 A、B 都闭合时，灯 Y 才亮。 规定:开关闭合为逻辑 1断开为逻辑 0 灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑 0 真值表11 1YA B00 000 101 0逻辑表达式 Y = A B 或 Y = AB

18、与门 (AND gate)若有 0 出 0；若全 1 出 1 真值表逻辑表达式 开关 A 或 B 闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。2. 或逻辑 决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。灭断断亮合合亮断合亮合断灯 Y开关 B开关 A若有 1 出 1若全 0 出 0 00 011 1YA B10 111 0逻辑表达式 Y = A + B 或门 (OR gate) 1 3. 非逻辑决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。 开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。 AY0110Y = A 1 非门(NOT gate) 又称“反相器” 1.3.2 复合逻辑函数主要要求：

19、1、含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为 复合逻辑函数。2、掌握几种常见的复合函数例如：与非、或非、 与或非、异或、同或等。与非逻辑(NAND)先与后非若有 0 出 1若全 1 出 0或非逻辑 ( NOR )先或后非若有 1 出 0若全 0 出 101 110 000 1YA B01 0与或非逻辑 (AND OR INVERT)先与后或再非由基本逻辑运算组合而成10 001 1YA B11 0011可以有二个以上的输入变量异或逻辑 (Exclusive OR)若相异出 1若相同出 0同或逻辑 (Exclusive - NOR，即异或非)若相同出 1若相异出 000 001 1YA B10

20、111 010 011 1YA B00 101 0注意：异或和同或互为反函数，即=ABY只能是二个输入变量1.3.3 逻辑代数的基本定律和规则主要内容：基本公式、定律和常用规则逻辑函数的代数化简法一、逻辑代数的基本公式1.与普通代数相似的定律 交换律: AB=B A A+B=B+A 结合律: (A B) C=A (B C) (A+B)+C=A+(B+C)分配律: A (B+C)=AB+AC 与对或的分配分配律: A+BC=(A+B)（A+C)或对与的分配2.变量常量关系定律01律: A1=A A 0=0 A+1=1 A+0=A 注: A代表1和0 3.逻辑代数的特殊定律重叠律: A A=A A

21、+A=A否定律：A = A4.吸收律 推广公式： 利用真值表 逻辑等式的证明方法 利用基本公式和基本定律总之：A + AB = A （A+B）（A+C）=A+BCA（A+B）=A将 “B” 以（BC）代入二、关于等式的若干规则1.代入规则 将等式两边出现的同一变量都以一个相同的逻辑函数代之，则等式仍成立，这个规则称为代入规则。摩根定理的两变量形式为：例如：2.反演规则在使用反演规则时需要注意两点：(1) 必须遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算顺序。(2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。 对于任意一个逻辑式Z，如果把其中所有的“ ”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，原变量换成

22、反变量、反变量换成原变量，那么得到的函数式就是 ，这个规则叫做反演规则。它为求一个函数的反函数提供了方便。例：（1）（2）求函数 和 的反函数：解：按反演规则可直接写出 和 的反函数 和 ，（1）（2） 3.对偶规则 对于任何一个逻辑式Z，如果将其中“”换成“+”、“+”换成“、0换成1，1换成0，则得到一个新的函数式，这个函数Z的对偶式，记作Z。 可以证明，若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶规则。对偶规则的应用： 运用对偶规则可以使人们要证明的公式大大减少。假如要求证Z1和Z2是否相等，则只需证明其对偶式Z1、Z2 是否相等（即如已知Z1 =Z2 ，那么Z1和Z2必然相等）。

23、 例:A（B+C）= AB+AC，求这一公式两边的对偶式，则有分配律A+BC =（A+B)(A+C)成立。一、 逻辑函数的代数化简法1.逻辑函数表达式的标准形式和最简式含义 一个逻辑函数确定以后，其真值表是唯一的，但其函数式的表达形式却有多种。因为不管哪种表达式，对同一个逻辑函数来说所表达的逻辑功能是一致的，各种表达式是可以相互转换的，常用的表达式形式有： 1.4 逻辑函数的化简1. 与或式 例如：3.与非-与非式2.或-与非式5.或非-或非式4.与或非式与或表达式最用，最简与或表达式有两个特点：与项（乘积项）的个数最少每个乘积项中变量个数最少2.常用的代数化简法 代数化简法也称公式化简法，其

24、实质就是反复使用逻辑代数的基本定律和常用公式，消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得最简式。 使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。主要的意义:1.并项法:运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。 常用的公式化简方法例题：2.吸收法： （1）（2）例题：A+AB=A 将多余的乘积项AB吸收掉 和3.消去法 ：消去乘积项中的多余因子；消去多余的项BC。例题： 、A+A=A 或 4.配项法 ： 用该式乘某一项，可使其变为两项，再与其它项合并化简。 用该式在原式中配重复乘积或互补项，再与其它项合并化简。例题：例题：证：根据摩根定理

25、，得二、逻辑函数的卡诺图化简法主要内容:逻辑函数的最小项及最小项表达式用卡诺图法化简逻辑函数具有无关项的逻辑函数及其化简逻辑函数的卡诺图表示方法一、逻辑函数的最小项及最小项表达式 对于n变量函数，如果其与或表达式的每个乘积项都包含n个因子，而这n个因子分别为n个变量的原变量或反变量，每个变量在乘积项中仅出现一次，这样的乘积项称为函数的最小项，这样的与或式称为最小项表达式。 由函数的真值表可直接写出函数的最小项表达式，即将真值表中所有使函数值为1的各组变量的取值组合以乘积项之和的形式写出来，在乘积项中，变量取值为1写原变量文字符号，变量取值为0写反变量文字符号。 例：的真值表为：A B CZAB

26、CZ000010000011101001011101011011111.最小项的编号 一个n变量函数，最小项的数目为2n个，其中所有使函数值为1的各最小项之和为函数本身，所有使函数值为0的各最小项之和为该函数的反函数。 为了表示方便，最小项常以代号的形式写为 mi,m 代表最小项，下标 i为最小项的编号。i 是 n 变量取值组合排成二进制数所对应的十进制数。如何编号？3 变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个 将输入变量取值为 1 的代以原变量，取值为 0 的代以反变量，则得相应最小项。 简记符号例如 1015m5m44100ABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 0

27、0 0 10 0 0最小项A B Cm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应的十进制数76543210例:2. 最小项的性质根据最小项的定义，不难证明最小项有如下性质: 对输入变量任何一组取值在所有最小项（ 2n个）中，必有一个而且仅有一个最小项的值为1。在输入变量的任何一组取值下，任意两个最小项的乘积为0。全体最小项的和为1。乘积项中各因子仅以元变量和反变量的形式出现乘积项中因子个数为变量个数。二、逻辑函数的卡诺图表示方法1.卡诺图的画法规则 卡诺图是逻辑函数的图形表示方法，它以其发明者美国贝尔实验室的工程师卡诺而命名。 将n 变量函数填入一个矩形或正方形的二维空间即一个平面中，把矩形或

28、正方形等分为2n个小方格，这些小方格分别代表n变量函数的2n个最小项，每个最小项占一格。在画卡诺图时，标注变量区域划分的方法是分别以各变量将矩形或正方形的有限平面一分为二，其中一半定为原变量区，在端线外标原变量符号并写为1，另一半定为反变量区（可不标反变量符号）并写成0。 要求上下、左右、相对的边界、四角等相邻格只允许一个因子发生变化（即相邻最小项只有一个因子不同）。 左上角第一个小方格必须处于各变量的反变量区。 变量位置是以高位到低位因子的次序，按先行后列的序列排列。 将 n 变量的 2n 个最小项用 2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为

29、 n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。对卡诺图的三点规定:卡诺图画法规则如图所示:2. 用卡诺图表示逻辑函数具体做法： 如果逻辑函数式为最小项表达式，就在卡诺图上把式中各最小项所对应的小方格内填1，其余的方格填入0，这样就得到表示该逻辑函数的卡诺图了。例1：用卡诺图表示逻辑函数：（1）根据逻辑函数画卡诺图解：因为函数Z为四变量最小项表达式，应首先确定各最小项编号，并将函数写为 的形式，有 然后画出四变量卡诺图，将对应于函数式中各最小项的方格位置上填入1，其余方格位置上填入0，就得到了如图所示的函数Z的卡诺图。（2）由卡诺图求函数式例2：已知逻辑函数F的卡诺图如图所示，试写出 F的函数式。解

30、：因为F等于卡诺图中填入1的那些最小项之和因此：（3）用与或式直接填入卡诺图 首先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在变量卡诺图中将每个乘积项中各因子所共同占有的区域的方格中都填入1，其余的填0，就得到了函数的卡诺图。这种做的依据是，任何一个非最小项的乘积项得用配项的方法都可以写为最小项之和的形式，这个乘积项就是那些被展开的最小项的公因子。CD 是 m3、m7、m11、m15 的公因子例3：试将函数 填入卡诺图。解：首先将 Z 变换为与或式3 . 用卡诺图法化简逻辑函数一、在逻辑函数与或表达式中，如果两乘积项仅有一个因子不同，而这一因子又是同一变量的原变量和反变量，则两

31、项可合并为一项，消除其不同的因子，合并后的项为这两项的公因子。例：某四变量函数中包含m6,m7,m14,m15,则用代数法化简时写成： 而在卡诺图中，这四项几何相邻，很直观，可以把它们圈为一个方格群，直接提取其公因子BC，如图所示：二、用卡诺图化简逻辑函数的步骤1 . 首先将逻辑函数变换为与或表达式。2 . 画出逻辑函数的卡诺图。3 . 将2n个为1的相邻方格分别画方格群，整理每个方格群的公因子，作为乘积项。4 .将整理后的乘积项加起来，就是化简后的与或式。卡诺图化简实例在画包围圈时必须注意： （1）包围圈越大越好；（2）包围圈个数越少越好；（3）同一个“1”方块可以被圈多次（A+A=A）；（

32、4）每个包围圈要有新成分；（5）画包围圈时，先圈大，后圈小；（6）不要遗漏任何“1”方块。例1：利用图形法化简函数解：1 .先把函数Z 填入四变量卡诺图，如图。2.画包围圈。从图中看出，m(6,7,14,15)不必再圈了，尽管这个包围最大，但它不是独立的，这四个最小项已被其它四个方格群全圈过了。3.提取每个包圈圈中最小项的公因子构成乘积项，然后将这些乘积相加得到简化的与或表达式：例2：利用图形法将下式化为最简与或逻辑式解：1.首先将函数Z填入四变量卡诺图。2.画方格群。3.整理每个方格群的公因子作为乘积项。4.将上一步骤中各乘积项加起来，得到最简与或函数式为：例3：函数Y的卡诺图如图所示，求其

33、最简与或式解：1.在图中将0圈为方格群，写出反函数 的表达式2.将 取反求原函数。得：四、具有无关项的逻辑函数及其化简无关项的含义：有些n变量的逻辑函数，并不一定与2n个最小项都有关系，有时它仅与其中一部分有关，而与另一部分无关。这部分不论是“0”还是“1”均与逻辑函数的逻辑值无关。这些最小项称为无关最小项，也称随意项、约束项，用 d 表示。具有无关项的逻辑函数称为有约束条件的逻辑函数。例如：8421BCD码，只有00001001十种输入组合有效，其余六种10101111不能出现，也就是说，它们与8421BCD码无关。无关项在卡诺图化简函数中的应用。例：化简具有约束项的函数：解：首先将m项、d 项填卡诺图，其余位置填0，如图所示。然后按规则画方格群，整理出化简后的函数式为：因为约束项是不会出现的项，或是对函数值无影响的项，所以将其取为0 还是取为1 都可以。在卡诺图中，无关项所对应的小方格内填 或 。注： 卡诺图中的无关项“”既可当作1也可当作0来对待，画方格时可以把“”包括在里面。其原则仍然是相邻最小项构成方格最大、方格群数目最少为好。但要注意方格群中必须包含有效最小项，不能全是无关项，而且，只要按此原则把1圈完，有些无关项不是非得用不可。这样得到的各乘积项既具有独立性又最简化。卡诺图作为简便可