江苏省专转本统一考试高等数学复习资料总纲(简略版)

1、.c.c高等数学复习提纲-、 极限（一）极限七大题型 1.题型一lim.Prn为（m,n分别表示多项式的曷次）要求：A:达到口算水平；B:过程即“除大”xPn（x）2.题型二limIx-a（a有限）分子而将a带入分母将a带入分子0=0结果：“ 0/0型”用洛比达法则继续计算求值h0直接带入a求出结果就是要求的值.题型三（进入考场的主要战场）lim u xv（x） 注：应首先识别类型是否为为“花”型！xa公式：Jm（11）1二e 口诀：得1得+得框，框一翻就是e。（三步曲）.题型四：等价无穷小替换（特别注意：0） 0（ f是g的同阶）；A:同阶无穷小：期工f - 一，b：等价无分小：pm。一 .

2、 1（ f和g等价）；f - C同阶无分小：lim 一 . 0（ f是g的身阶）.注目-f和g的顺序（2）常用等价替换公式：1sinc LI4e1 1口7* arcsinDLJ2tan卜LI5ln(1 .)口*arcta加口31 cosQ2T6特别补充：sec 12(3)等价替换的的性质：1)自反性： ;2)对称性：若，则 ;3)传递性：若 ,，则 .(4)替换原则：A:非0常数乘除可以直接带入计算；B:乘除可换，加减忌换(5)另外经常使用：M二elnM进行等价替换题型五limf(x)lg(x) 0(f(x) 0,g(x)不存在但有界)X等有界：EM,|g(x)|M 0有界 (sin x,co

3、s x,arcsin x,arccot x,均有界)识别不存在但有界的函数：sinXcosX1，e?.题型六：洛必达法则(极限题型六)，见导数应用：洛必达法则.题型七：洛必达法则(极限题型七)，定积分，见上限变限积分.题型三&题型四的综合(二)极限的应用1、单侧极限(1)极限存在条件！见f (x) A 0 f (x0 0) f (% 0) A左左右右(2)极限的连续性！imj (x)二f(%)即f(x)在x二x0连续力 f(x0-0)= f(x0-0)= f(x。)（3）间断点及分类（难点）把握两个问题：第一，如何找问断点 ；第二，间断点分类（难）A：间断点：定义域不能取值的点B：间断点分类f

4、(%)f（Xo +0）二 f（Xo -0）二 有限一（左导）（右导）f (%)四0f_(x。)lim| x x0 IfQ,）（左支）心车四（右支）0 f (Xo)存在二 f(Xo)二 f_(Xo)1、乘法运算：（uv）二uv -uv（uvw） = uvw_uvw-p uvwc 小、/、一任u uv uv2、除法运算：（-）一 v v（四）复合函数求导（核心容*）1、层次分析（如右“九字诀”，由外向，“遇则则止”）所谓的“则”是+、X、+2、几点性质：九字诀号变号则用则层问乘（二）导数常用公式1c 0721(tan x) sec x 2cos X/ 1 21(cot x) csc X -sin

5、x(secx) tan x secx(cscx) cot x cscx2XnnXn 1,n为常数3aXaXlna,a为常数4XXee5(log a X)ln X -Xln ax1(lg x) Xln108,- v1(arcsin x):71 x2,1(arccos x) / V1 x21(arctan x) 21 X1(arc cot x)21 X6sin x cosx(cos x) sinx（三）导数运算（1）公式 ln x -,推广为：（ln | X |）二1 W XX 1 | X |（2）形如：u（X严利用公式M二e1nM等价替换（3）奇偶性：y f （ x）奇?y偶 y - f（X）偶

6、。y 奇（五）高阶导数1n,xn!n (m)x0(m n)3(n)nsin xsin x 2/(n)n(cosx)cos x 22(n)/、nn1( 1) n!aax b(ax b)n 14/ ax、(n)n ax(e )a e(六)微分基本知识 dy.ydx 注意求的时候要加“dx”.参数方程求导(考试重点) 参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分求电,。dx dxt为中间变量px x(t)标准形式：T y y(t)3、符号型求导f层抽象符号层隐函数求导(必考)y y(x)，一元隐函数y f(x)，一元显函数 uf(x, y),二元显函数题目一般形式是：f(x, y) g(x, y),求曳

7、，号. dx dx对数法求导 巧用对数的性质，变形式子(七)导数的应用1、切线与法线切线斜率就是在该点的导数值法线斜率X切线斜率=-1 ；2、洛必达法则(极限题型六)()f (x) f (x) lim lim X a g(x)艺 a g(x)条件：1.0,2.后有则前有0注意：.等价无穷小，乘除可换，加减忌换.洛必达法则可重复使用3、函数的单调性与极值、凹凸性、拐点1)“峰”一一极大值；“谷”一一极小值；单调性与极值求解y 0,x Iy ;A:单调性：y 0,x Iy .B:单调性交界点一极值点(判据)C:极值点可疑点(y 0& y不存在)如果 lim f (x)D：渐近线 / m x如果 l

8、im f (x)x a2)函数凹凸性与拐点0.x IA则y A是y f(x)的水平渐近线； ,则x a是y f(x)的垂直渐近线.；y 0,x Iy凸().B:凹凸性交界点且能取值一拐点C：拐点可疑点y 0& y不存在一般求解步骤：(1)求定义域、渐近线；(2)计算 y,y;(3)求y 0, y 0的点和使y,y不存在的点，设为；(4)列表分析;（5）得出结论.4、函数最大值、最小值f（x）连续，x a,b比较：1） f（x） 0, f不存在极值可疑点；2）端点5、函数的实际应用步骤：（1）合理做设，x具有唯一性；（2） y f（x）,建模；（关键点所在）（3）令y 0,x x*（符合实际）；

9、（4） “八字”，唯一驻点，即为所求。三、多元微分学（20+）（一）显函数一阶偏导数-u ux ux（x变，丫常）“求即变”：求哪个，哪个就是变量x-U y 口丫（丫变,*常）y（二）全微分元函数：y f(x),dy y dx此时，可微 可导偏导数存在，且连续二元函数：u f （x, y）,du -udx -udy,此时，可微 x y（三）（高）二阶偏导数2222主要是求-4 -,分别定义为: x x y y x yu(-), x xu(-), x y定条件下，即连续时:u(-), y xu(-). y y（四）二元隐函数求导.cF(x, y, z) 0,一般 z z(x y)FxF,y二阶直

10、接求：z z（x， y）符号型求导（必考）妈妈一元”函数）x（-）,为已知函数（第一类: y2. uf（xy,x 2y）, f为已知函数（第二类）（重点）会画关系图九字诀【例题】u f (xy,2x 3y), f已知.求-u, x解:四、先找路路中乘（1）画关系图（2） “九字诀”不定积分基本知识1.性质：f(x)dx路间加求解f(x);d f(x)dxf (x)dx; dF (x)F(x) C2.基本公式支1x dxx C(n 1)n 17cscxdx In | cot x cscx | C2%xln | x | Cxsecxdx ln | tan x secx | C3x xaaxdx C

11、 ln a81 dx arcsin- CVa2 x2a11x-2dx arctan Caxaa11a x-2dxlnCa x2aa x不dx ln x Jx A Cvx A4exdx ex C5sin xdx cosx Ccosxdx sin x C62sec xdx tan x C2csc xdx cotx C(二)求不定积分的四大方法1、方法一(1)凑常数, ,、1公式：dx d(ax b), a,b均为吊数 a(2)配方见到一元二次方程敏感的想到配方法(3)拆分八311 c(ax b) a(cx d)1r ca ,公式：(ax b)(cx d) bc ad (ax b)(cx d) bc

12、 ad (cx d) (ax b)(4)利用三角函数和差化积和积化和差公式积分2、方法二固定搭配公式(x)f( (x)xdx3、方法三分布积分(1) 一般分布积分公式： udv uv vdu 关键：v是什么？ln 口 arctan 、arcsinV的优先级方向(2)特殊方程法积分法积分时，对如下积分要特别注意:22x2 , sin x . lnxe sin3xdx, e2dx, dx, dx,x x 1sin x2dx, sin(ln x)dx, excos4xdx 等等4、方法四一一变量替换(1) 一次项替换如:ax bdx方法：直接令Taxb t,即xt2 b原项换兀/ 227a xx a

13、sint/ 22va xx atant/ 22Vx ax asect根据下表进行相应替换:定积分(2)二次项替换替换原理：根据下面两个三角变换得来的22l.sin x cos x 1222.1 tan x sec x(一)定积分计算.N-L公式(牛顿-莱布尼兹公式)f (x)dx F (x) Cbf (x)dx F(b) F(a) F(x).c.c主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算； TOC o 1-5 h z 1 bx (t)(b).变换一一受限a f(X)dX t 1(x)1(a) f (t) (t)dt.(二)定积分性质aab. (1) a f (x)dx 0.(2)

14、b f(x)dx a f(x)dx.若a,b为常数，(b f(t)dt) 0.dx abbb 1.更名:f (x)dxf(t)dtf( )d .aaa Mnbcb.拆分：f (x)dxf (x)dxf(x)dx.aac积分性质的运用：(1)分段函数的定积分(2)函绝对值积分(3)三角函数积分(实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算)a.若f(x)为奇函数，则 f(x)dx 0. a这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。6.变限积分涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七xxg(x) f (t)dt(f(t)dt)xf (x)记住：与 x 没有关系aa推广：(2(x)f(t)d

15、t)x f( 2(x) (x) f( 1(x) (x).1(x)上限带入乘上限求导下限带入乘下限求导(2)洛必达法则 (极限题型七)7广义积分a三种形式：(1) f(x)dx; (2) f(x)dx; (3)f (x)dx.a u解：定义：Fuf (x)dxu a原式A (有限)收敛= ulim FuL或不存在发散(三)定积分应用般出现在综合题的最后一题,题型仅有两种：第一，求面积；第二求旋转体体积(绕x轴，y轴)1.面积(2) “上下型”bSwa 2(x) i(x)dx *对分(y)(y)dcxdSwJ 2(y)i(y)dy * y积分c2.旋转体体积(2) “坐/轴上”（四）二重积分.累次

16、积分b2 (x)公式： dx f(x, y)dya1 (x)ba2 (X)1 (x)f (x, y)dydx.二重积分的计算f (x, y)d 定限；dy ； f (x, y)dx直角坐标系的几何意义:f(x, y)dDf(x, y)dDbdxadcdy2(x)i(x)f(x,y)dy2(y)i(y) f(x，y)dx.二重积分改变次序记住一些不能正序积分的函数：eAx , sin x ,sin - ,sin x-nxx x x 1思路:原累次积分还原重积分改变定限方向新累次积分4.极坐标主要是圆的思想，注意画图，特别注意上限和下限!2()f(x, y)dxdy d r()f (r cos ,

17、 r sin ) rdrD1Jacobi因子六、 常微分方程（ODE（一） 分离变量法.标准型y H(x)G(y)步骤： dy H(x) G(y) -d-H (x)dxdxG(y).变化型 y fd) x核心：令u - x注意：ln | ln| C化简之即：-C(二)一阶线性ODE (重点) 1.标准: y p(x)y j(x),关键是找到 p(x)、q(x);一 +无次号y2.常数变量法:p(x)dxp(x)dxy ( q(x)e dx C) e做题步骤:(1)找到 p(x)、q(x);(2)p(x)dxp(x)dx,计算ep(x)dx e注意：1）积分不要加C;2） ln 口| ,不要“

18、| |符号 .c.c.cp(x)dxp(x)dx(3)市入公式 y ( q(x)e dx C) e(三)三大题型题型1:贝努里方程(Bernoulli)y p(x)y q(x)yn-y n y p(x)y1 nq(x)，即 y n dy p(x)y1 n q(x)dx1 n dydxp(x)y1 n q(x)1 du1 n dxp(x)u q(x)un题型2:积分方程特定条件y(0) 0.【例题】f(x)满足下列方程：f (x)oxf dt =x,求f (x).解：令y(x)|f(t)dt ,则 f(x)y(x) 0一原式即为：y(x)y(x)二x一 、p(x)dx整理N: y ( q(x)e

19、 dx C) e题型3:二阶线性ODE(1)齐次方程(y py+qy 二0(p、q为常数)y py+qy 二0(p、q为常数)yT2;yf ;yf.特性方程即：p1 + q 0,解出土1、% (补充：土.:b2 4ac2aC1ex-C2eA2x1、八2为互异实根C Ce胪Czxeel|x(C1 cos 3x - C2 sin xx)(2)非齐次方程标准型：y”-py+qy 二ex(Pm(x)cosQn(x)sin jx)m, n为曷次.关键是读参数：ft,J, m,n,u, k, l.求解过程：y _ Py Fy = f1) ypyqy 二 0y+p1+q二0解出、卜得y.2)读参数 ft,；

20、5, m,n .仁 f (x)u二Qtij. k.1、中与u相等的个数.l maxm,n可设特解方程：y* 二xkex(P(x) 6os Jx+Qi(x)*sinJx)i 二0ABi 二1ax-bcx-dl 二2ax2 - bx-c2&x -b*-Ci代入y .y，原方程，确定系数 TOC o 1-5 h z *3) y - y f y .【例题】解常微分方程：y-y-2y二3e2x.一- 2x解：yy-2y_3ey|y|2y=0,即-.0,一/2._y 二_.3e2x= e2x (一)(草稿纸上做)ft ,0,m , nMMMMu ., k ., l . max m, n .;y 二x1，e

21、2x(Acos(0，x) Bsin(0，x) = Axe2x(草稿纸上做)*y.;*y.将y*带入y|y|2y=0,解出系数A二.人 一 * y 二 y - y 二七、 级数(一)定义a0 a1 a2 . an . an n 0Sna0ala2.an收敛的必要条件lim an0nJ S有限 收敛 nim Sn.或不存在发散第一部分an(an 0)判别图莱布尼1.交错S1)n2.an 一3.脚,4 . 0（2）绝对收敛与条件收敛的判别0(绝对收敛条件收敛注：1 ） |bn收敛。bn收敛，且为绝对收敛.2） |bn段散力bn可能收敛（为绝对收敛），也可能发散识别过程： . .n加绝对值 i An（

22、3）级数的几点性质（an 二bn）二anRbn1）收士收一收；2）收土发一发；3）发十发一？第二部分幕级数收敛，且为绝对收敛 an .1发散一莱布尼兹法则，条件收敛1.收敛域和收敛半径a_ an(X|Xo)nan；Xo（中心点或展开点）.级数对称性：1.一收朝里皆收；2.一发朝外均发。|X2XoX1X2.收敛半径：r；公式：R.iim-i an | 1.收敛区间（收敛域）如(Xo - R, x - R)收敛,XoRXoXo - R将Xo R带入原级数找解，看能否取到2.幕级数的展开1）公式 1： eX 二X：!，式x,.12)公式2:-11xn,QxG；点二(-1)nXn,(| X(1)3）逐

23、项微分，逐项积分()an(X-Xo)n)(an(X-Xo)n)an(X-Xo)n)dXXan(X-Xo)ndX)注：不改变收敛区间，改变端点八、空间解析几何1.矢量的积 a alia2j。e2口2a22a3(2) 积：a b |a|b|cosa1bl a2b2O2.矢量的叉积ijkaa2a3b1b2bx/%,2QOMM 2(x2 ,y2,r2),a b(二)平面方程0A(x X0)例如：2x 3y 5z 0,n _,_,_B(y y。) c(z zo)2.直线标准型(点斜式)九、 证明题综述(18+)(一) 介值定理(零点定理)定理条件：f(x) a,bk(a,b),使得f( ) 0;f(a)

24、|f (b) 0汪忠：1. f(a) f(b) 0, a,b;a,b,使得 f( ) 0;2. f(a) f(b) 0,(a,b).1.f(a)|f(b) 0.解题要点：A: f(x)是什么？B:a,b是什么?.解答过程要规，工整罗尔定理(Roller)定理条件：f(x) a,bf(x)在(a,b)可导 (a,b),使得 f( ) 0;f f(b)题型解释：.一般是证明“必有一个正根或负根”解题步骤：A:利用介值定理证明根的存在性；B:利用反证法，证明根的唯一性。.证明某表达式的零点在什么之间例如：(1) f(x)在(，)可导，证明f(x)的两零点之间必有f(x) f(x)的零点.(2 )f(x)在(，)可导，证明在f