《实变函数与泛函分析》教学大纲

1、 实变函数与泛函分析教学大纲前言实变函数是数学科学学院的重要基础课，也是近代数学中最重要，最基本的一个分分支，同时这门课程又是许多后续课程如泛函分析，概率论，微分几何等的基础，泛函分析是数学与信息科学学院高年级学生分析专业方向的选修课程。本课程是一门重要的数学选修课程，作为数学分析和实变函数课程的深化，具有承上启下的作用，是现代数学最重要的入门课程。通过这一课程，使学生了解许多数学问题可以通过赋范线性空间的理论而一般地解决。它一方面为后继课程提供所需的理论基础，同时还为培养学生的抽象思维能力和独立工作能力提供必要的训练。因而该课程是学习其他数学分支与进一步地科研工作的重要基础和工具。设置本课程

2、的目的是：通过本学科的学习，培养学生逻辑思维能力及论证能力，并用所学的知识解决某些数学分析中遗留下的问题，为日后更高阶段的学习，特别是研究生阶段的实分析学习打下坚实的基础。本课程的学习要求是：使学生掌握实变函数与泛函分析的基本概念，基本知识，诸如集合，欧氏空间，Lebesgue测度，Lebesgue可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，空间，空间，Hilbert空间理论，Hilbert空间，Banach空间，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。先修课程要求：学生修完数学分析、高等代数等基础课本课程计划：90学时

3、，5学分，选用教材：王声望，郑维行著，实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社，1998年教学手段：课堂讲授考核方法：闭卷考试教学进程安排表周次学时数教学主要内容教学环节备注15集合及其运算映射与势课堂授课25一维开集、闭集、开集的构造课堂授课35外测度、Lebesgue可测集课堂授课45Lebesgue可测集性质、测度空间课堂授课55Lebesgue可测函数及其性质课堂授课65可测函数列的收敛性质课堂授课75Lebesgue积分及其性质课堂授课85积分序列的极限性质、Fubini定理课堂授课95空间及其性质课堂授课105距离空间的基本概念课堂授课115距离空间中的点集及其上映射课堂授课125距

4、离空间的完备化课堂授课135列紧集及紧集课堂授课145赋范线性空间的基本概念课堂授课155具有基的Banach空间课堂授课165内积空间的基本概念与性质课堂授课175内积空间中的直交与直交系课堂授课185有界线性算子课堂授课第一章集合一、学习目的熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉Rn的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。二、课程内容1集合及其运算集合的表示法；集合的基本运算；一些常用集合的符号；集合序列的上、下限集。2集合的势势的定义，势的性质，势的比较。常见的两类集合的势。连续势及其基本性质,连续统假设,Bernstein定理3一

5、维空间中的点集一维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念。Cantor集的构造，直线上开集与闭集的结构。三、重点、难点提示和教学手段重点：集合的运算、一一映射的概念、集合的势、势的比较、开集闭集的性质、开集的构造、距离的概念难点：Bernstein定理、聚点导集概念、开集的构造、集合的势教学手段：课堂授课+习题课训练四、思考与练习见教材中习题第二章Lebesgue测度一、学习目的掌握外测度的概念，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。二、课程内容1有界开集、闭集的测度及性质有界开集Lebesgue测度定义，有界闭集Lebesgue测度定义，Lebesg

6、ue测度的一些运算性质2 Lebesgue可测集及其性质外测度概念，内测度概念。可测集的性质，可测集经交、并、差运算后的可测性，可数个可测集的交集或并集的可测性、可数可加性以及可测集序列的极限之可测性。3无界点集的测度无界点集的Lebesgue测度定义，Lebesgue测度的平移不变性，不可测集举例三、重点、难点提示和教学手段重点：勒贝格可测集的运算性质，单调可测集列极限的测度，可测集同开集、闭集、型集以及型集之间的关系。难点：可测集概念的引入与可测集的构造教学手段：课堂授课+习题课训练四、思考与练习见教材中习题第三章Lebesgue可测函数一、学习目的熟练掌握可测函数的概念及其基本性质，正确

7、理解并掌握可测函数列几种不同收敛的概念，了解鲁金定理，知道可测函数同连续函数之间的关系二、课程内容1可测函数的定义及其性质可测函数的定义及等价条件，连续函数与简单函数皆可测，可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性，可测函数同简单函数列的关系。2可测函数的收敛性叶果洛夫定理，依测度收敛，依测度收敛与几乎处处收敛互不包含的例子，勒贝格定理，黎斯定理，依测度收敛极限的唯一性。3可测函数的构造鲁金定理（两种形式）三、重点、难点提示和教学手段重点：可测函数定义及等价条件，可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性，依测度收敛与几乎处处收敛的关系，鲁金定理。难点：叶果洛夫定理，黎斯定理，鲁金定理教学手段：课堂

8、授课+习题课训练四、思考与练习见教材中习题第四章Lebesgue积分一、学习目的正确掌握积分的定义及其基本性质，牢固掌握并能熟练应用积分的Levi定理，Fatou定理，Lebesgue控制收敛定理，掌握乘积测度和重积分的概念，熟练掌握Fubini定理。二、课程内容1积分的基本概念及性质简单函数、非负函数、一般函数积分存在与可积的定义，勒贝格积分的单调性与绝对可积性2积分的极限定理勒贝格控制收敛定理，勒贝格逐项积分定理，列维渐升函数列积分定理，法都引理，可积函数积分区域可列可加性。3L积分与R积分的比较区间上有界函数黎曼可积的充分必要条件，黎曼可积是勒贝格可积的联系与关系4重积分和Fubini定

9、理可测集的乘积的测度，可测集的测度用截口的积分表示，非负函数的积分系，富比尼定理。三、重点、难点提示和教学手段重点：勒贝格积分的性质，积分极限定理难点：勒贝格积分的性质及其应用教学手段：课堂授课+习题课训练四、思考与练习见教材中习题第五章,空间一、学习目的了解空间的定义及其意义，熟悉中的收敛概念，掌握几个常用的重要不等式，了解的完备性，的可分性。二、课程内容1中的概念L范数, Holder不等式,Minkowski不等式。2的收敛性依范数收敛的定义，依范数收敛与几乎处处收敛的关系，空间的完备性，空间的可分性3空间内积概念，Bessel不等式,Riesz-Fisher定理三、重点、难点提示和教学

10、手段重点、难点：的收敛性、Holder不等式和L空间.。教学手段：课堂授课+习题课训练四、思考与练习见教材中习题第六章距离空间一、学习目的理解距离空间、稠密集、可分空间、连续映照、紧集、列紧、距离空间完备性概念，熟悉几种常见的度量空间，了解这些空间的性质，掌握不动点定理。二、课程内容1距离空间的基本概念距离空间定义，常见的几种距离空间，距离空间收敛的概念。2距离空间中的点集及其上的映射几类特殊的点集，空间的稠密性，可分距离空间，距离空间上的连续映射。3完备度量空间空间完备性概念，常见几种空间的完备性，第一及第二类型集，距离空间的完备化。4列紧集及紧集列紧集及紧集的概念、全有界集、不动点定理。三

11、、重点、难点提示和教学手段重点：压缩映照原理、距离空间、空间的完备性可分性难点：稠密集、可分空间、缩映照原理教学手段：课堂授课+习题课训练四、思考与练习见教材中习题第七章 赋范线性空间与内积空间一、学习目的熟悉线性空间、赋范线性空间的概念及性质，认识一些常见的赋范线性空间；了解Banach空间及内积空间的基本概念与性质。二、课程内容1赋范线性空间的基本概念线性空间的基本概念，线性相关与线性无关，线性空间的同构，赋范线性空间的概念及例子，等距同构，赋范线性空间的直接和。2具有基的Banach空间线性空间的维数、基，具有基的Banach空间，有限维赋范线性空间。3内积空间的基本概念与性质内积空间的定义及例子，内积空间的特征。4内积空间的直交与直交系直交与直交分解，内积空间中的标准直交系，标准直交系的完备，内积空间的可分，Schmidt直交化三、重点、难点提示和教学手段重点：Banach空间及内积空间的基本概念与性质,内积空间中的标准