《复变函数、积分变换、矢量分析与场论》教学大纲

1、复变函数、积分变换、矢量分析与场论课程名称：复变函数、积分变换、矢量分析与场论（Complex function Integral Transformation vector analysis Field Theory）课程编码：071026学 分：3分总 学 时：48学时，其中，理论学时：48学时适用专业：地球物理学、勘查技术与工程先修课程：高等数学一、课程的性质、目的与任务复变函数、积分变换、矢量分析与场论是勘查技术与工程、地球物理学本科专业一门重要的学科基础理论课其教学目的是使学生系统地获得复变函数、积分变换、矢量分析与场论中必要的基础理论和常用的运算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能

2、熟练运用积分变换和场论知识解决一些问题，为后继课程和进一步扩大数学知识打下必要的基础其任务是教会学生掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、复级数、留数、傅立叶变换、拉普拉斯变换、场论等基本理论和基本运算能力。二、教学基本要求通过本课程的学习，学生应能在掌握基本知识、基本方法的基础上，能把专业课上遇到的相关问题转化为本课程中相应的模型，并能正确应用相关知识和方法解决问题通过对本课程的学习，要求学生系统地获得复变函数、积分变换和场论的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，具有较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力，为后继课程的学习奠定良好的数学基础。具体要求学生做到：1

3、了解复函数的微积分处理方法；2掌握解析函数的判定定理；3熟练掌握复函数积分定理，柯西积分公式与高阶导数公式；4掌握函数在圆环域内展开成洛朗级数的方法；5熟练掌握留数定理及其应用；6了解Fourier变换的定义，掌握其性质并能应用它们解决一些实际问题；7了解Laplace变换的定义，掌握其性质并能应用它们求解微分方程的定解问题；8知道数量场的梯度及性质，矢量场的散度及物理意义，矢量场的旋度及物理意义，三种重要的矢量场（有势场、管形场、调和场）。了解三度（梯度、散度、旋度）与两量（通量、环量）之间的关系。三、教学内容与学时分配复变函数24学时第一章 复数与复变函数 （4学时）本章重点和难点：复数、

4、复平面、模与辐角的概念；复数的各种表示法及运算；复变函数以及映射的概念。难点是复变函数与二元实函数的关系第一节 复数及其代数运算复数的概念；复数的代数运算。第二节 复数的几何表示复平面；复球面。第三节 复数的乘幂与方根乘积与商；幂与根。第四节 区域区域的概念；单连通域与多连通域。第五节 复变函数复变函数的定义；映射的概念。第六节 复变函数的极限和连续性函数的极限；函数的连续性。第二章 解析函数 （4学时）本章重点和难点：复变函数的导数以及解析函数的概念；连续、可导、解析之间的关系及求导方法；函数可导与解析的判别法；柯西-黎曼方程；初等函数。难点是柯西-黎曼方程的推导第一节 解析函数的概念复变函

5、数的导数与微分；解析函数的概念。第二节 函数解析的充要条件第三节 初等函数指数函数；对数函数；乘幂与幂函数；三角函数与双曲函数；反三角函数与反双曲函数。第三章 复变函数的积分 （6学时）本章重点和难点：复积分定义；柯西-古萨定理；变上限积分函数的性质；复合闭路定理；柯西积分公式及高阶导数公式。难点是共轭调和函数的求法第一节 复变函数积分的概念积分的定义；积分存在的条件及积分的计算法；积分的性质。 第二节 柯西古萨（CauchyGoursat）基本定理第三节 复合闭路定理第四节原函数与不定积分第五节 柯西积分公式第六节 解析函数的高阶导数第七节 解析函数与调和函数的关系第四章 级数 （4学时）本

6、章重点和难点：幂级数收敛的条件；收敛半径的求法；泰勒展开定理及五个基本初等函数的泰勒展开式；洛朗展开定理。难点是在圆环域内把函数展开成洛朗级数第一节 复数项级数复数列的极限；级数概念。第二节 幂级数幂级数概念；收敛圆与收敛半径；收敛半径的求法；幂级数的运算和性质。第三节 泰勒级数第四节 洛朗级数第五章 留数 （6学时）本章重点和难点：孤立奇点的概念及其分类；留数的概念及计算方法；留数定理及计算闭路积分的方法。难点是应用留数计算实积分的围道积分法第一节 孤立奇点可去奇点；极点；本性奇点；函数的零点与极点的关系；函数在无穷远点的性态。第二节 留数留数的定义及留数定理；留数的计算规则；在无穷远点的留

7、数。第三节 留数在定积分计算上的应用三角函数有理分式的积分；有理分式的积分；有理分式与三角函数乘积的积分。积分变换 14学时第一章 傅里叶变换 （8学时）本章重点和难点：傅氏积分定理；傅氏变换及其逆变换的概念；的概念和性质，傅氏变换的线性、位移、积分以及微分性质，卷积的概念及卷积定理。难点是傅氏变换的应用第一节 Fourier积分 第二节 Fourier变换Fourier变换的概念；单位脉冲函数及其Fourier变换；非周期函数的频谱。 第三节 Fourier变换的性质线性性质；位移性质；微分性质；积分性质；乘积定理；能量积分。第四节 卷积与卷积定理第五节 Fourier变换的应用微分、积分方

8、程的Fourier变换解法；偏微分方程的Fourier变换解法。第二章 Laplace变换 （6学时）本章重点和难点：拉氏变换及其逆变换的概念；拉氏变换的线性、相似、积分、位移以及延迟性质；反演积分公式及计算像原函数的方法；卷积的概念及卷积定理。难点是线性微分方程（组）的拉氏变换解法第一节 Laplace变换的概念问题的提出；Laplace变换的存在定理。第二节 Laplace变换的性质线性性质；微分性质；积分性质；位移性质；延迟性质。 第三节 Laplace逆变换第四节 卷积卷积的概念；卷积定理。第五节 Laplace变换的应用微分、积分方程的Laplace变换解法；偏微分方程的Laplac

9、e变换解法。矢量分析与场论10学时第一章 矢量分析 （2学时）本章重点和难点：矢性函数、矢端曲线的概念；矢性函数极限及连续性概念；矢性函数的导数与积分的求法。难点是导矢的几何意义与物理意义第一节 矢性函数矢性函数的概念；矢端曲线；矢性函数的极限和连续性。第二节 矢性函数的导数与微分矢性函数的导数；导矢的几何意义；矢性函数的微分；矢性函数的导数公式。第三节 矢性函数的积分矢性函数的不定积分；矢性函数的定积分。第二章 场论 (7学时)本章重点和难点：数量场的梯度及性质；矢量场的散度及物理意义；矢量场的旋度及物理意义；三种重要的矢量场（有势场、管形场、调和场）。难点是三度（梯度、散度、旋度）与两量（

10、通量、环量）之间的关系第一节 场场的概念；数量场的等值面；矢量场的矢量线。第二节 数量场的方向导数和梯度方向导数；梯度。第三节 矢量场的通量及散度通量；散度。第四节 矢量场的环量及旋度环量；旋度。第五节 几种重要的矢量场有势场；管形场；调和场。第三章 哈密顿算子 (1学时)本章重点和难点：哈米尔顿算子WRHamilton的记号及运算规则；用算子进行一些简单的计算及证明四、大纲说明本大纲适用于地球物理学和勘查技术与工程本科专业教学总学时数为48学时，理论讲授48学时，课堂教学以马柏林、李丹衡、晏华辉主编、复旦大学出版社出版的复变函数与积分变换(2008年修改版)，谢树艺编、高等教育出版社出版的矢量分析与场论（2012年第四版）为主要教材；王绵森编、高等教育出版社出版的复变函数（2008年），东南大学数学系张元林编、高等教育出版社出版积分变换（2012年第五版）为主要参考书，按照本大纲的内容进行教学。本课程的内容涉及高等数学课程的知识。五、教学参考书教材:1 马柏林，李丹衡，晏华辉复变函数与积分变换M修改版上海：复旦大学出版社，2008年.2 谢树艺矢量分析与场论M第四版北京：高等教育出版社，2012年.参考书：1 王绵森复变函数M北京：高等教育出版社，2008年.2 张元林积分变换M第五