数列知识点总结

1、仅供个人参考数列知识点总结1.等差数列的定义与性质定义：an1ad(d为常数)，aan1dnn1等差中项：x，A，y成等差数列2Axy2前n项和Sa1nann2nann11dForpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse性质：a是等差数列n(1)若mnpq，则aaaa；mnpqa(2)数列2n1,a,a2n2n1仍为等差数列，S，SS，SS仍为等差数n2nn3n2nb列，公差为n2d；(3)若三个成等差数列，可设为ad，a，ad(4)若a，b是等差数列，且前n项和分别为S，T，则amnnnnmS2m1T2m1(5)a为等差数列S

2、an2bn(a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函nnS(数)。的最值可求二次函数San2bn的最值；或者求出a中的正、负分界项，即：nnn当a0，d0，解不等式组na0n11a0可得S达到最大值时的n值;当a0，d0，由n1an10a0n可得S达到最小值时的n值.)n，有(6)项数为偶数2n的等差数列anS2nn(aa)n(aa12n22n1)n(aann1)(a,a为中间两项)nn1SS偶奇nd，SS奇偶anan1.，有(7)项数为奇数2n1的等差数列an不得用于商业用途仅供个人参考S2n1(2n1)a(a为中间项)，SSnn奇偶a，nSS奇偶n.n1a2.等比数列的定义与性质定义：a

3、n1q(q为常数，q0)，anna1qn1.(q1)11q由S求a。(an)S1,n1例1：数列a，aa2n5，求aa212222nn解n1时，a215，a1421等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy.na(q1)1前n项和：Sa1qnn性质：a是等比数列n(1)若mnpq，则aaaamnpq(2)S，SS，SS仍为等比数列,公比为qn.n2nn3n2n3求数列通项公式的常用方法SS,n2n1nnn111nn11an2时，a222111122na2n5na111aa212222n1n12n15a2，a2n1，a2n1(n2)2nn得：nn114(n1)a，a4，求a3n1练习数列a

4、满足SSnnn151nS注意到an1Sn1S，代入上式整理得Sn14，又S4，S是等比数列，n1nn34n1故a4,n1故S4n。n2时，aSSnnn不得用于商业用途n1n34n1,n2仅供个人参考由递推公式求an(1)累加法(an1af(n)形式)n例2：数列a中，a1，a3n1an1nn1n2，求an解：n2时，n1累加得ana133aa3n1nn1aa3n2n2aa32123n13(3n11)2an12(3n1)(2)累乘法(an1f(n)形式)an例3：数列a中，a3，n1，求aan1ann1nnaa，n又a3，a23nan解：23aa12anan1a12n1111n3n.(3)构造新

5、数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列)取倒构造(an1等于关于an的分式表达)n12aa2例4：a1，an1n，求ann，解：由已知得：a2a2aaa2n1nnn1na2111111为等差数列，1，公差为，1n1n1，ann1111111a2a221na2n同除构造例5：a1,a1n13a3n,求a。nn不得用于商业用途解：对上式两边同除以3n1，得a，则n为等差数列，1仅供个人参考n1n3n1n333n33a1aa1，公差为，n(n1)，a3333331a11nn3nnnn3n1。)n1，令bn，则有2n例6：a1,a2a3n1，求a。nn1n1解：对上式两边同除以2n1，得an12n1

6、an(2n32nab2()21()n13(1)n9，累加法可得bb，又b1242822bn1n3n1n11331322a1,则()n，即n()n,a2n。4282n42884bna31531553n例7：a1,aa1nn12aann10,求a。n20，即2，则an解：对上式两边同除以aann1，得1an1aaannn111111，公差为2，12(n1)2n1，aaa为等差数列，111nn12n1。取对构造(涉及a的平方)n3a2,求a.例8：a3,a1n1nn解：对上式两边取对数，得lgan1lg3a2，由对数运算性质得lgann12lgalg3n两边同时加lg3，整理得lgan1lg32(l

7、galg3),即lg3ann12lga,则lg3a为nn公比为2的等比数列，由此推知a通项公式。n等比型(常用待定系数)例9：a1,a1n13a2,求a。nn解：待定系数法设上式可化为如下形式：an1k3(ak)，整理可知2k2，n则k1，原式可化为a不得用于商业用途n1a13(a1)，则1为公比=3的等比数列，由此nn仅供个人参考推知a通项公式。n例10：a2,a1n14a3n1，求a。nn解：待定系数法设上式可化为如下形式：an1k(n1)b4(aknb)，整理n3k3可知，得k1,b0，原式可化为a3bk1为公比=4的等比数列，由此推知a通项公式。n提公因式a12a,求a。例11：a1,

8、a1n1nnnn1a(n1)4(an)，则nnn解：上式变形为aaaa1，等号左边提公因式得aan1nnnnn11a1，n1,两边取倒数得,1，为公差1a1a1nan1aa11111nnaa1a1ann1nn1n为1的等差数列，由此推知a通项公式。n例12：a2,a3,2a12n13aann1(当n2)，求a。n解：上式变形为2an12aaannn1,2an1ananan1，令bann1a，则n2n12221bbnb，为首项b1,公比为1的等比数列，b1n1，aa1n1；n1nn1n例13：求和123n由累加法可求得a通项公式。n4.求数列前n项和的常用方法(1)分组求和(分组后用公式)111

9、12482n。解：原式=123n11111111(123n)(248n24822n)n(n1)=211(12n2112)112nn(n1)2(2)裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.)不得用于商业用途常用：1()；n1n。；仅供个人参考1111111n(n1)nn1n(n2)2nn2nn1(3)错位相减(通项可表示为等差乘等比的形式)例14：S12x3x24x3nxn1求Snn。解：S12x3x24x3nxn1nxSx2x23x34x4n1xn1nxnn1xS1xx2xn1nxnn1x21x，x1时，S123nnn1x1时，Sn1xnnxnn2练习求数列的前n项

10、和S。(答案：S22nnnnn22n)相加2Sna1ana2an1a1an(4)倒序相加(前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.)Saaaan12n1nSnanan1a2a15.求数列绝对值的前n项和(根据项的正负，分类讨论)ab例15：已知数列的通项a112n，ba，求的前n项和T。nnnnnnaa解：设数列的前n项和为S，9,公差d2,S9nn(n1)(2)10nn2nn1n2n5时，TaaaaaaS10nn2n12n12nnn5时，a5S2Taaaaan1256naaaaa1567SSn5n2SS50(10nn2)n210n505nTn210n50,n5n10nn2,n5。不得用于商业用途仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurf