双曲线的简单几何性质（三）

1、PAGE 第八章圆锥曲线方程二双曲线8.4.3双曲线的简单几何性质（三）教学目标（一）教学知识点直线与椭圆的位置关系（二）能力训练要求1深化双曲线的性质.2提高分析问题、解决问题的能力.（三）德育渗透目标1事物之间既有联系又有区别的辩证观点.2学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法.教学重点直线与双曲线的位置关系.教学方法师生共同讨论法.通过具体问题的分析与讨论，使学生认识到直线与双曲线的位置关系的处理方法不同于直线与椭圆的位置关系的处理方法，更进一步认识到和根与系数关系是在一元二次方程的基础上才能探讨的，并使学生从中体会数形结合思想与等价转化思想的应用.教具准备幻灯片两张第一张：题组一（记

2、作8. 4. 3A）第二张：题组二（记作8. 4. 3B）教学过程复习提问师能归纳出直线与椭圆的位置关系问题的一般处理方法吗？生对于直线与椭圆的位置关系，一般通过解直线方程与椭圆方程所组成的方程组的解的个数进行讨论：有两组不同实数解（0）时，直线与椭圆相交；有两组相同实数解（0）时，直线与椭圆相切；无实数解（0）时，直线与椭圆相离.师将直线与椭圆的位置关系问题转化成直线与椭圆方程所组成的方程组的解的个数问题处理时，大家要从中体会其中的等价转化思想及数形结合思想的渗透.复习巩固训练题组一（幻灯片8. 4. 3A）1当m取何值时，直线l：yxm与椭圆9x216y2144相切、相交、相离？2求直线和

3、椭圆x23y26有公共点时，的取值范围（0）.师请同学们仔细观察思考题组一的两个问题，能不能将你们的解题方法与思路叙述一下呢？（学生思考、归纳，一般学生能叙述如下）生对于含参数的直线方程与椭圆方程，研究直线与椭圆的位置关系时，常常使用一元二次方程的判别式，去寻找参数的取值范围.师将以上方法与思路应用于具体解题中，完成问题1、2的求解过程.（学生练习，教师巡视、查看）生1解：由将代入得9x216(xm)2144.25x232mx16m21440.576m214400.当0，即m5时，直线与椭圆相切.当0，即5m5时，直线与椭圆相交.当0，即m5或m5时，直线与椭圆相离.2解：由将其代入椭圆方程中

4、得直线与椭圆有公共点， 当变为y2，此时直线与椭圆相离.当直线与椭圆有公共点时，的取值范围为新课讨论师对于直线与双曲线的位置关系问题，该如何解决呢？结合以下题目，我们进行讨论研究.题组二：（幻灯片8. 4. 3B）1已知直线l：yk(x1)，双曲线x2y24，试讨论实数k的取值范围.（1）直线l与双曲线有两个公共点.（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点.（3）直线l与双曲线没有公共点.2若相切？师请同学们观察思考题组二与题组一问题的区别与联系，并叙述解决以上问题的方法与思路.（生深入思考，师巡视，生可能有以下回答）.生甲题组二与题组一问题的本质一样，题组二是关于含参数的直线与双曲线方程，所以

5、研究直线与双曲线的位置关系时，可以使用一元二次方程的判别式去寻找参数的取值范围，即由方程组消元得到的一元二次方程出发，0直线与双曲线有两个公共点，0直线与双曲线有一个公共点，0直线与双曲线无公共点.师生甲的叙述正确吗？为什么？（生继续思考）生乙生甲的看法不正确.题组二是直线与双曲线的位置关系，我发现将直线方程yk(x1)代入x2y24中得到的方程（1k2）x22k2xk240并不一定是一个一元二次方程，而题组一中直线方程代入椭圆方程消元所得方程一定是一个一元二次方程.师生乙发现了题组二与题组一的最本质的区别，这是能否正确解决题组二的关键所在.请大家动手解决问题！（有了刚才生甲、生乙的分析，大部

6、分同学对本题的思路清楚了，并可以解得如下）（以下生答，师板书）1解：由消去y，得（1k2）x22k2xk240.（1）当1k20即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行，以上方程化为2x5，只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个交点.（2）当1k20时，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2).（i）且k1时，直线与双曲线有两个公共点；（ii）时，直线与双曲线只有一个公共点；（iii）时，直线与双曲线无公共点.综上所述，当时，直线与双曲线有两个公共点.当时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当时，直线与双曲线无公共点.师通过以上题组二问题1的分析与解答，不难得出直线与双曲线

7、有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.请同学们练习题组二的问题2.（生练，师查看并进行个别辅导，有了问题1的分析，大部分学生都能正确解答）2解：由令4.当时，直线与双曲线相切.师分析了上述具体例子之后，请大家归纳出一般情况下解决直线与双曲线位置关系的解法.（学生结合前面直线与椭圆的位置关系的解法及题组二问题1的解法不难归纳如下）生一般地，设直线l：ykxm(m0)，双曲线C：联立以上两个方程得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.（1）当b2a2k20，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点.（2）当b2a2k20，即时，(2a2mk)24(b2a2k

8、2)(a2m2a2b2).（i）0直线与双曲线有两个公共点，直线与双曲线相交.（ii）0直线与双曲线有一个公共点，直线与双曲线相切.（iii）0直线与双曲线没有公共点，直线与双曲线相离.课堂练习过点（0，3）的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程.解：设直线l的方程为ykx3，将其代入双曲线化简整理，得(34k2)x224kx480.当34k20时，(24k)24(34k2)(48)576k2768k2576192k25760，k23，即k时，直线与双曲线只有一个公共点.当34k20，即k时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线也只有一个公共点.所求直线l的方程为y课时小结本节课

9、我们讨论了两个综合题，同学们要从中学会分析问题、解决问题的方法，并从中受到解综合题的启示，通过多练习，提高自已的综合能力.课后作业目标与检测P844、5，P85能力训练1、2、3.板书设计8. 4. 3双曲线的简单几何性质（三）例4直线与曲线位置关系的判定方法例5例6弦长公式练习小结备课资料参考例题例已知l1、l2是过点P（，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2x21各有两个交点，且分别为A1、B1和A2、B2.（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值.消元分析：本题涉及了两个基本问题：一是直线与双曲线相交于两点的判定问题，二是直线被

10、双曲线截得的弦长问题（连结曲线上两点的线段叫曲线的弦）.前一个问题的思想是：直线与双曲线相交于两点方程组一元二次方程有两个不等的实根判别式0；后一个问题的通常解法是不求交点坐标，当方程组经过消元化为一元二次方程后，利用一元二次方程根与系数的关系来解答，即(其中k为直线的斜率).解：（1）据题意，l1、l2的斜率都存在，因为l1过点P（，0），且与双曲线有两个交点，故方程组有两个不同的解.在方程组中，消去y，整理得 若10，直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.故10，即k11.方程的判别式为1（2）24（1）（21）4（31）.设l2的斜率为k2，因为l2过点P（，0），且与双曲线有两个交点，故方程组有两个不同的解.在方程组中消去y，整理得（1）x22x210. 同理有10， 24(31).因为l1l2，所以有k1k21，于是l1、l2与双曲线各有两个交点的充要条件是（2）双曲线y2x21的顶点为（0，1）、（0，1），取A1（0，1）时，有k1(0)1.解得 ，代入方程得x24x30.设l2与双曲线的两个交点的坐标为A2（x1，y1）、B2(x2，y2)，则x