高中物理选择性必修37.3.1离散型随机变量的均值

1、73离散型随机变量的数字特征73.1离散型随机变量的均值课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征.2.能计算简单离散型随机变量的均值.通过研究离散型随机变量的分布列及其数字特征，进一步提升数学抽象及数据分析素养.新知探究某城市随机抽查了1 000户居民的住房情况，发现户型主要集中在160平方米，100平方米，60平方米三种，对应住房比例为154，能否说该市的户均住房面积为eq f(16010060,3)106.7(平方米)?问题上述情境中的计算是否合理，怎样运算才更合理？提示此种计算显然不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的比例，造成了“被平均”现象，通过本课时

2、的学习我们可以找到正确的计算方法1离散型随机变量的均值或数学期望正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpneq o( ,sup8(n),sdo10(i1)xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平2两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)0(1p)1pp；3离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为P(Xxi) pi，i1，2，n

3、.一般地，下面的结论成立：E(aXb)aE(X)b拓展深化微判断1随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化()提示 随机变量X的均值E(X)是个定值，不随X的变化而变化2随机变量的均值与样本的平均值相同()提示随机变量的均值与样本的均值并非等价，因为样本代表的是部分的情况，不能完全与整体等价3若随机变量X的均值E(X)2，则E(2X)4.()微训练1已知离散型随机变量X的分布列为X123Peq f(2,13)eq f(5,13)eq f(6,13)则X的数学期望E(X)()A.eq f(30,13) B.eq f(27,13) C2 D.eq f(25,13)解析E(X)1eq f

4、(2,13)2eq f(5,13)3eq f(6,13)eq f(30,13).答案A2口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为_解析X2，3.P(X2)eq f(1,Ceq oal(2,3)eq f(1,3)，P(X3)eq f(Ceq oal(1,2),Ceq oal(2,3)eq f(2,3).故E(X)2eq f(1,3)3eq f(2,3)eq f(8,3).答案eq f(8,3)微思考某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按321的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？提示由于平均在每1

5、kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是eq f(1,2) kg、eq f(1,3) kg和eq f(1,6) kg，所以混合糖果的合理价格应该是18eq f(1,2)24eq f(1,3)36eq f(1,6)23(元/kg)这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值. 题型一利用定义求离散型随机变量的均值【例1】袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值解取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P(X5)eq f(Ceq oal(1,4)Ceq oal(3,3),Ceq

6、oal(4,7)eq f(4,35)，P(X6)eq f(Ceq oal(2,4)Ceq oal(2,3),Ceq oal(4,7)eq f(18,35)，P(X7)eq f(Ceq oal(3,4)Ceq oal(1,3),Ceq oal(4,7)eq f(12,35)，P(X8)eq f(Ceq oal(4,4)Ceq oal(0,3),Ceq oal(4,7)eq f(1,35)，故X的分布列如下：X5678Peq f(4,35)eq f(18,35)eq f(12,35)eq f(1,35)E(X)5eq f(4,35)6eq f(18,35)7eq f(12,35)8eq f(1,3

7、5)eq f(44,7)(分)规律方法求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(Xk)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)【训练1】某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为eq f(2,3)，eq f(1,2)，eq f(1,3)，且三道题目之间相互独立求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值解根据题意，设X表示“该嘉宾所

8、得分数”，则X的可能取值为4，1，3，6.P(X4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq f(1,9)，P(X1)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(7,18)，P(X3)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1

9、,3)eq f(7,18)，P(X6)eq f(2,3)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(2,18)eq f(1,9).X的分布列为X4136Peq f(1,9)eq f(7,18)eq f(7,18)eq f(1,9)E(X)(4)eq f(1,9)1eq f(7,18)3eq f(7,18)6eq f(1,9)eq f(16,9)(分)题型二离散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量X的分布列为：X21012Peq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,5)meq f(1,20)若Y2X，则E(Y)_解析由随机变量分布列的性质， 得eq f(1,4)eq f(1,3)e

10、q f(1,5)meq f(1,20)1, 解得meq f(1,6)，E(X)(2)eq f(1,4)(1)eq f(1,3)0eq f(1,5)1eq f(1,6)2eq f(1,20)eq f(17,30).由Y2X，得E(Y)2E(X)，即E(Y)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(17,30)eq f(17,15).答案eq f(17,15)【迁移1】 (变设问)本例条件不变，若Y2X3, 求E(Y)解由公式E(aXb)aE(X)b及E(X)eq f(17,30)得，E(Y)E(2X3)2E(X)32eq blc(rc)(avs4alco1(f(17,30)3eq f(62

11、,15).【迁移2】(变条件，变设问)本例条件不变， 若YaX3, 且E(Y)eq f(11,2)， 求a的值解E(Y)E(aX3)aE(X)3eq f(17,30)a3eq f(11,2)，a15.规律方法离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为YaXb，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E(Y)也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)【训练2】已知随机变量X和Y，其中Y12X7，且E(Y)34，若X的分布列如下表，则m的值为()X1234Peq f(1,4)m

12、neq f(1,12)A.eq f(1,3) B.eq f(1,4) C.eq f(1,6) D.eq f(1,8)解析因为Y12X7，则E(Y)12E(X)7，即E(Y)12eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,4)2m3n4f(1,12)734.所以2m3neq f(5,3)，又eq f(1,4)mneq f(1,12)1，所以mneq f(2,3)，由可解得meq f(1,3).答案A题型三离散型随机变量均值的应用【例3】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq f(2,3)和eq f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的

13、研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和均值解记E“甲组研发新产品成功”，F“乙组研发新产品成功”由题设知P(E)eq f(2,3)，P(eq o(E,sup6()eq f(1,3)，P(F)eq f(3,5)，P(eq o(F,sup6()eq f(2,5)，且事件E与F，E与eq o(F,sup6()，eq o(E,sup6()与F，eq o(E,sup6()与eq o(F,sup6()都相互独立(1)记H“至少有一种新产品研发成功”，则eq o(H,

14、sup6()eq o(E,sup6() eq o(F,sup6()，于是P(eq o(H,sup6()P(eq o(E,sup6()P(eq o(F,sup6()eq f(1,3)eq f(2,5)eq f(2,15)，故所求的概率为P(H)1P(eq o(H,sup6()1eq f(2,15)eq f(13,15).(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X0)P(eq avs4al(o(E,sup6() ) eq avs4al( o(F,sup6() )eq f(1,3)eq f(2,5)eq f(2,15)，P(X100)P(eq o(E,sup

15、6()F)eq f(1,3)eq f(3,5)eq f(1,5)，P(X120)P(Eeq o(F,sup6()eq f(2,3)eq f(2,5)eq f(4,15)，P(X220)P(EF)eq f(2,3)eq f(3,5)eq f(2,5)，故所求的分布列为X0100120220Peq f(2,15)eq f(1,5)eq f(4,15)eq f(2,5)均值为E(X)0eq f(2,15)100eq f(1,5)120eq f(4,15)220eq f(2,5)140(万元)规律方法解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列

16、出分布列；(3)利用公式求出相应均值【训练3】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是eq f(1,2).若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助令X表示该公司的资助总额(1)写出X的分布列；(2)求均值E(X)解(1)X的所有取值为0，5，10，15，20，25，30.P(X0)eq f(1,64)，P(X5)eq f(3,32)，P(X10)eq f(15,64)，P(X15)eq f(5,16)，P(X20)eq f(15,6

17、4)，P(X25)eq f(3,32)，P(X30)eq f(1,64).故X的分布列为X051015202530Peq f(1,64)eq f(3,32)eq f(15,64)eq f(5,16)eq f(15,64)eq f(3,32)eq f(1,64)(2)E(X)0eq f(1,64)5eq f(3,32)10eq f(15,64)15eq f(5,16)20eq f(15,64)25eq f(3,32)30eq f(1,64)15(万元).一、素养落地1通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养2求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列

18、，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值3若X，Y是两个随机变量，且YaXb，则E(Y)aE(X)b；如果一个随机变量服从两点分布，可直接利用公式计算均值二、素养训练1袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n1，2，3)现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于()A2 B.eq f(3,2) C.eq f(4,5) D.eq f(7,5)解析由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)eq f(2,5)，P(X1)eq f(1,10)，P(X2)eq f(1,5)，P(X3)eq f(3,10).E(X)0eq f(2,5)1eq

19、 f(1,10)2eq f(1,5)3eq f(3,10)eq f(7,5).答案D2抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的均值为()A0 B.eq f(1,2) C1 D1解析因为P(X1)eq f(1,2)，P(X1)eq f(1,2)，所以由均值的定义得E(X)1eq f(1,2)(1)eq f(1,2)0.答案A3若p为非负实数，随机变量X的分布列为X012Ppeq f(1,2)peq f(1,2)则E(X)的最小值为()A1 B.eq f(3,2) C.eq f(2,3) D2解析由p0，eq f(1,2)p0，得0peq f(1,2)，则E(X)eq f(1,

20、2)p2eq f(1,2)eq f(3,2)p1.故选A.答案A4随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的均值为_解析抛掷一枚骰子所得点数X的分布列为X123456Peq f(1,6)eq f(1,6)eq f(1,6)eq f(1,6)eq f(1,6)eq f(1,6)所以E(X)1eq f(1,6)2eq f(1,6)3eq f(1,6)4eq f(1,6)5eq f(1,6)6eq f(1,6)(123456)eq f(1,6)eq f(21,6)eq f(7,2).答案eq f(7,2)5袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n1，2，3，4)个现从袋中任取一

21、球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、均值；(2)若YaX4，E(Y)1，求a的值解(1)X的分布列为X01234Peq f(1,2)eq f(1,20)eq f(1,10)eq f(3,20)eq f(1,5)X的均值E(X)0eq f(1,2)1eq f(1,20)2eq f(1,10)3eq f(3,20)4eq f(1,5)eq f(3,2).(2)E(Y)aE(X)41，又E(X)eq f(3,2)，则aeq f(3,2)41，a2.基础达标一、选择题1已知离散型随机变量X的分布列为X101Peq f(1,2)eq f(1,6)eq f(1,3)则E(2X1)()A.eq f(1

22、,2) B.eq f(1,3) C.eq f(2,3) D.eq f(3,4)解析E(X)1eq f(1,2)0eq f(1,6)1eq f(1,3)eq f(1,6)，E(2X1)2E(X)12eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)1eq f(2,3).答案C2已知某一随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)6.3，则a的值为()Xa79Pb0.10.4A.4 B5 C6 D7解析根据分布列的性质可知b0.10.41，所以b0.5.又E(X)a0.570.190.46.3，所以a4.答案A3设随机变量X的分布列如下表，且E(X)1.6，则ab等于()X0123P0.1Ab0.

23、1A.0.2 B0.1 C0.2 D0.4解析由0.1ab0.11，得ab0.8.又由E(X)00.11a2b30.11.6，得a2b1.3，解得a0.3，b0.5，则ab0.2.答案C4某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是()A0.2 B0.8 C1 D0解析因为P(X1)0.8，P(X0)0.2，所以E(X)10.800.20.8.答案B5随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(Xk)akb(k1，2，3，4)，E(X)3，则ab等于()A10 B5 C.eq f(1,5) D.eq f(1,10)解析易知E

24、(X)1(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即30a10b3.又(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即10a4b1，由，得aeq f(1,10)，b0.答案D二、填空题6已知某一随机变量X的分布列如下表：X3b8P0.20.5a且E(X)6，则a_，b_解析由0.20.5a1，得a0.3.又由E(X)30.2b0.58a6，得b6.答案0.367某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X1234P0.50.20.20.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元若Y表示经销一件

25、该商品的利润，则E(Y)_元解析由题意可知Y可以取100，150，200，分布列如下Y100150200P0.50.40.1E(Y)1000.51500.42000.1130(元)答案1308某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验若此人每次试验成功的概率均为eq f(2,3)，则此人试验次数X的均值是_解析试验次数X的可能取值为1，2，3，则P(X1)eq f(2,3)，P(X2)eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(2,9)，P(X3)eq f(1,3)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3

26、)f(1,3)eq f(1,9).所以X的分布列为X123Peq f(2,3)eq f(2,9)eq f(1,9)所以E(X)1eq f(2,3)2eq f(2,9)3eq f(1,9)eq f(13,9).答案eq f(13,9)三、解答题9盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止求：(1)抽取次数X的分布列；(2)平均抽取多少次可取到好电池解(1)由题意知，X取值为1，2，3.P(X1)eq f(3,5)；P(X2)eq f(2,5)eq f(3,4)eq f(3,10)；P(X3)eq f(2,5)eq f(1,4)eq f(1

27、,10).所以X的分布列为X123Peq f(3,5)eq f(3,10)eq f(1,10)(2)E(X)1eq f(3,5)2eq f(3,10)3eq f(1,10)1.5(次)，即平均抽取1.5次可取到好电池10在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？解设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0，5，25，100.依题意，可得X的分布列为X0525100Peq f(391,400)eq f(1,50)eq f(1,500)eq f(1,2 000)所以E(X)0eq f(391,400)5eq f(1,50)25eq f(1,500)100