《14.2.1 平方差公式》同步练习 2022-2023学年人教版八年级上册数学（Word版含答案）

1、平方差公式同步练习一、选择题。1如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（83212，165232，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A255054B255064C250554D2550242已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（）A4cm2B（2R+4）cm2C（4R+4）cm2D以上都不对3下列运用平方差公式计算，错误的是（）A（b+a） （ab）a2b2B（m2+n2）（m2n2）m4n4C（23x） （3x2）9x24D（2x+1）（2x1）2x214若a2b2，a+b，则a

2、b的值为（）ABC1D25下列各式能用平方差公式计算的是（）A（2x+y）（2y+x）B（x+1）（x1）C（xy）（x+y）D（3xy）（3x+y）二、填空题。6阅读下文，寻找规律，并填空：已知x1，计算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5观察上式，并猜想：（1x）（1+x+x2+xn） 7计算：2008201020092 8若A（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1），则A的个位数字是 9计算： 10计算：（1） ；（2） 三、解答题。11观察探索：（x1）（x+1）x2

3、1（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）根据规律写出第个等式： ；（2）求27+26+25+24+23+22+2的值；（3）请求出22018+22017+22016+22+2的个位数字12通过计算我们知道：（a1）（a+1）a21（a1）（a2+a+1）a31（a1）（a3+a2+a+1）a41（1）请根据以上计算规律填空：（a1）（an+an1+a3+a2+a+1） （2）根据上述规律，请你求出32018+32017+33+32+3+1的个位上的数字13探索（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1

4、）（x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）试写出第五个等式；（2）试求26+25+24+23+22+2+1的值；（3）判断22017+22016+22015+22+2+1的值的个位数字是几14阅读下文件，寻找规律：已知x1，计算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5（1）观察上式猜想：（1x）（1+x+x2+x3+xn） （2）根据你的猜想计算：1+2+22+23+24+22018214+215+210015阅读下面的材料并填空：（1）（1+）1，反过来，得1（1

5、）（1+）（1）（1+）1，反过来，得1（1）（1+） （1）（1+）1，反过来，得1 利用上面的材料中的方法和结论计算下题：（1）（1）（1）（1）（1）（1）平方差公式同步练习参考答案与试题解析一、选择题。1如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（83212，165232，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A255054B255064C250554D255024【分析】由（2n+1）2（2n1）28n2017，解得n252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解【解答】

6、解：由（2n+1）2（2n1）28n2017，解得n252，则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为3212+5232+50525032505212255024故选：D【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键2已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（）A4cm2B（2R+4）cm2C（4R+4）cm2D以上都不对【分析】半径为Rcm的圆的面积是S1R2，若这个圆的半径增加2cm，则其面积是S2（R+2）2，用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可【解答】解：S2S1（R+2）2R2，（R+2R）（R+2+R

7、），4（R+1），它的面积增加4（R+1）cm2故选：D【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是熟悉圆的面积公式3下列运用平方差公式计算，错误的是（）A（b+a） （ab）a2b2B（m2+n2）（m2n2）m4n4C（23x） （3x2）9x24D（2x+1）（2x1）2x21【分析】根据平方差公式，即可解答【解答】解：A（b+a）（ab）a2b2，计算正确，故本选项不符合题意；B（m2+n2）（m2n2）m4n4，计算正确，故本选项不符合题意；C（23x）（3x2）9x24，计算正确，故本选项不符合题意；D（2x+1）（2x1）4x21，故本选项错误；故选：D【点评】本题考查了平方差

8、公式，解决本题的关键是熟记平方差公式4若a2b2，a+b，则ab的值为（）ABC1D2【分析】根据a2b2（a+b）（ab），a+b即可求得ab的值【解答】解：a2b2（a+b）（ab），a+b，ab，故选：B【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点5下列各式能用平方差公式计算的是（）A（2x+y）（2y+x）B（x+1）（x1）C（xy）（x+y）D（3xy）（3x+y）【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法【解答】解：A、（2x+y）（2y+x）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项错

9、误；B、（x+1）（x1）（y+x）（yx），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项错误；C、（xy）（x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项正确；D、（3xy）（3x+y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项错误故选：C【点评】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键二、填空题。6阅读下文，寻找规律，并填空：已知x1，计算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5观察上式，并猜想：（1x）（1+x+x2

10、+xn）1xn+1【分析】根据平方差公式和所给出的式子的特点，找出规律，写出答案即可【解答】解：（1x）（1+x+x2+xn）1xn+1；故答案为：1xn+1【点评】此题考查数字的变化规律，关键是根据平方差公式找出本题的规律，是一道基础题7计算：20082010200921【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可【解答】解：原式（20091）（2009+1）20092200921200921，故答案为：1【点评】本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键8若A（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1），则A的个位数字是5【分析】将A进行化

11、简，确定出个位数字即可【解答】解：A（21）（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1）（221）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1）（241）（24+1）（216+1）（232+1）（2161）（216+1）（232+1）（2321）（232+1）2641，212，224，238，2416，个位上数字以2，4，8，6循环，64416，个位上数字为6，则A个位数字为5，故答案为：5【点评】此题考查了平方差公式，以及尾数特征，弄清题中的规律是解本题的关键9计算：2【分析】在原式的前面添上2，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果【解答】解：22+2+2

12、+2+2+2+2故答案为：2【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，解决问题的关键是在原式的前面添上2，便于运用平方差公式10计算：（1）3；（2）399【分析】（1）先化成指数相同的幂相乘，再利用积的乘方的性质的逆用计算即可；（2）先写成20与的和与差的积，再根据平方差公式进行计算【解答】解：（1）（）100（3）101，（）100（3）100（3），（3）100（3），3；（2）原式（20+）（20），400，399【点评】本题考查了积的乘方的性质的逆用和平方差公式，整理成性质和公式的形式是解题的关键三、解答题。11观察探索：（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（

13、x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）根据规律写出第个等式：（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61；（2）求27+26+25+24+23+22+2的值；（3）请求出22018+22017+22016+22+2的个位数字【分析】（1）根据探索材料规律写出第个等式；（2）把27+26+25+24+23+22+2变形为2（26+25+24+23+22+2+1），再根据探索材料规律得到原式2（21）（26+25+24+23+22+2+1），依此即可求解；（3）把22018+22017+22016+22+2变形为2（22017+22016+22+2+1），再

14、根据探索材料规律得到原式2（21）（22017+22016+22+2+1），得出原式220192，研究22019的末尾数字规律，进一步解决问题依此即可求解【解答】解：（1）第个等式是：（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61；（2）27+26+25+24+23+22+22（22017+22016+22+2+1）2（21）（26+25+24+23+22+2+1）2（271）282254；（3）22018+22017+22016+22+22（22017+22016+22+2+1）2（21）（22017+22016+22+2+1）2（220181）220192，21的个位数字是2，22的个位

15、数字是4，23的个位数字是8，24的个位数字是6，25的个位数字是2，2n的个位数字是以2、4、8、6四个数字一循环201945043，所以22019的个位数字是8，220192的个位数字是6故答案为：（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61【点评】此题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题12通过计算我们知道：（a1）（a+1）a21（a1）（a2+a+1）a31（a1）（a3+a2+a+1）a41（1）请根据以上计算规律填空：（a1）（an+an1+a3+a2+a+1）an+11（2）根据上述规律，请你求出32018+32017+3

16、3+32+3+1的个位上的数字【分析】（1）通过计算先找到规律，根据规律得结论；（2）先把32018+32017+33+32+3+1乘以（31）变形为（1）中规律的形式，计算出结果再找到3n的个位数字变化规律，得结论【解答】解：（1）由以上计算规律可知：（a1）（an+an1+a3+a2+a+1）an+11；故答案为：an+11；（2）32018+32017+33+32+3+1（31）（32018+32017+33+32+3+1）（320191）因为313，329，3327，3481，35的个位数字为3，36的个位数字为9，37的个位数字为7，38的个位数字为1所以32019的个位数字是7所以

17、原式的个位数字是3【点评】本题考查了多项式乘以多项式，特殊数的个位数字特点题目难度较大解决本题的关键是把（2）变形为（1）的规律通项13探索（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）试写出第五个等式；（2）试求26+25+24+23+22+2+1的值；（3）判断22017+22016+22015+22+2+1的值的个位数字是几【分析】（1）利用规律得出第五个等式即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；（3）原式变形后，利用得出的规律计算得到结果，即可做出判断【解答】解：（1）第五个等

18、式（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61；（2）原式（21）（25+25+24+23+22+2+1）271127；（3）原式（21）（22017+22016+22015+22+2+1）220181，则个位上数字是413【点评】本题考查了多项式乘多项式，尾数特征，规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键14阅读下文件，寻找规律：已知x1，计算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5（1）观察上式猜想：（1x）（1+x+x2+x3+xn）1xn+1（2）根据你的猜想计算：1+2+22+23+24+22018214+215+2100【分析】（1）依据变化规律，即可得到（1x）（1+x+x2+x3+xn）1xn+1（2）依据（1）中的规律，即可得到1+2+22+23+24+22018的值；将214+215+2100写成（1+2+22