信号与系统：第三章-离散系统时域分析

1、第三章 离散系统的时域分析第三章 离散系统的时域分析3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应3.2 单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应 二、阶跃响应3.3 卷积和 一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解 三、不进位乘法 四、卷积和的性质 注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。3.1 LTI离散系统的响应3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程 设有序列f (k)，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为f(k)的移位序列。 仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。1

2、. 差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：3.1 LTI离散系统的响应（1）一阶前向差分：f(k) = f(k+1) f(k)（2）一阶后向差分：f(k) = f(k) f(k 1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2)（5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1

3、 f(k-1) + bm f(k-m)定义：3.1 LTI离散系统的响应2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得n阶差分方程一般形式 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。y(k) + an-1 y(k-1) + a0 y(k-n) = bm f(k)+ b0 f(k-m)3.1 LTI离散系统的响应例1：若描述某LTI系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=2，激励f(k)=2k (k)，求y(k)。解： y(k) = 3

4、y(k 1) 2y(k 2) + f(k) k=2 y(2) = 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 k=3 y(3) = 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 k=4 y(4) = 3y(3) 2y(2) + f(4) = 10 易懂但一般不易得到解析形式的(闭合)解。 3.1 LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m)与微分方程经典解类似：y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解yh(k) 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) =

5、0特征方程 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 即 n + an-1 n 1 + + a0 = 0其根 i( i = 1，2，n)称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根。当特征根为单根时， yh(k)形式： C k当特征根为2重根时，yh(k)形式： (C1k+ C0) k 3.1 LTI离散系统的响应激励f(k)响应y(k)的特解yp(k)F (常数)P (常数)cos( k)或sin( k)2. 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式类似 (r1) 例2：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始条件y(0)=0，y

6、(1)= 1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。 解：特征方程为 2 + 4 + 4=0；特征根1= 2= 2 齐次解： yh(k)=(C1k +C0) ( 2)k3.1 LTI离散系统的响应 特解为 yp(k)=P (2)k , k0代入差分方程：P(2)k + 4P(2)k 1 + 4P(2)k2 = f(k) = 2k ，解得：P=1/4 特解：yp(k)=2k2 , k0 全解为： y(k)= yh+yp = (C1k +C0) ( 2)k + 2k2, k0 代入初始条件解得： C1=1 , C0= 1/4 3.1 LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应 y(k) =

7、yzi(k) + yzs(k) 当激励分解为外部激励和内部状态时 完全响应= 零输入响应+零状态响应 y(j) = yzi(j) + yzs(j) , j = 0, 1 , 2, , n 1设激励f (k)在k=0时接入系统，通常以y(1), y(2) , ，y(n)描述系统的初始状态。 yzs(1) = yzs(2) = = yzs(n) = 0所以 y(1)= yzi(1)，y(2)= yzi(2)，y(n)= yzi(n)利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应初始值 yzi(j)和yzs(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1)3.1 LTI离散系统的响应例3：某LTI离散系统

8、的差分方程 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知激励f(k)=2k , k0，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）零输入响应yzi(k) 满足方程 yzi(k) + 3yzi(k 1)+ 2yzi(k 2)= 0 其初始状态 yzi(1)= y(1)= 0, yzi(2) = y(2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1) yzi(k)= 3yzi(k 1) 2yzi(k 2) yzi(0)= 3yzi(1) 2yzi(2)= 1 yzi(1)= 3yzi(0) 2yzi(1)= 33

9、.1 LTI离散系统的响应方程的特征根: 1= 1 ，2= 2 ，其解为: yzi(k)=Czi1( 1) k + Czi2(2)k 将初始值代入，解得 Czi1=1 , Czi2= 2 所以： yzi(k)=( 1)k 2( 2)k , k0（2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k 1) + 2yzs(k 2) = f(k)=2k , k0初始状态 yzs(1)= yzs(2) = 0递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = 3yzs(k 1) 2yzs(k 2) + 2k , k0 yzs(0) = 3yzs(1) 2yzs(2) + 1 =

10、 1 yzs(1) = 3yzs(0) 2yzs(1) + 2 = 13.1 LTI离散系统的响应分别求齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(1)k + Czs2(2)k + yp(k) = Czs1( 1)k + Czs2( 2)k + (1/3)2k代入初始值求得: Czs1= 1/3 , Czs2=1 yzs(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0 (3) 全响应： y(k) = yzi(k) + yzs(k) y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)P2k3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列定义为若将单位序列响应平移i位，得到

11、单位序列响应的取样性质3.2 单位序列响应和阶跃响应一、单位序列和单位阶跃序列3.2 单位序列响应和阶跃响应单位阶跃序列的定义若将 平移i位，得单位序列与单位阶跃序列间的关系3.2 单位序列响应和阶跃响应二、单位序列响应 由单位序列 (k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应，或简称单位响应，记为h(k)。h(k)=T0, (k) 重点考虑两个基本信号 (k), (k)引起的零状态响应,称为单位序列响应和单位阶跃响应，既反映了系统的本质特性，又可以帮助求解任意信号引起的零状态响应.3.2 单位序列响应和阶跃响应根据差分方程求单位序列响应 例1 已知某系统的差分方程为 y(k) -y

12、(k-1)-2y(k-2)= f(k)求单位序列响应h(k)。 解 根据h(k)的定义 有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) (1) h(1) = h(2) = 0（1）递推求初始值h(0)和h(1) 将方程(1)移项为 h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) + (k) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1 3.2 单位序列响应和阶跃响应(2) 求h(k) 对于k 0， h(k)满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0 特征方程 ( +1) ( 2) = 0 所以 h(k

13、) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0 h(0) = C1 + C2 =1 h(1)= C1+2C2 = 1 注意：这时已将h(0)的值代入，因而方程的解也满足 k=0。解得 C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0或 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k) 3.2 单位序列响应和阶跃响应 例2：若方程为： y(k) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2) 求单位序列响应h(k) 解： h(k)满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)= (k) (k 2)因为包含 (k 2)

14、，因而不能认为k0时输入为零。可根据线性系统的叠加特性求解。令只有 (k)作用时,系统的单位序列响应h1(k) ,它满足 h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)= (k) 初始状态 h1(-1) =h1(2)=0; 令只有 (k-2)作用时,系统的单位序列响应h2(k) ,它满足 h2(k) h2(k 1) 2h2(k 2)= (k 2) 初始状态 h2(0) =h2(1)=0;3.2 单位序列响应和阶跃响应根据线性时不变性， h(k) = h1(k) +h2(k) h2(k)= h1(k 2) h(k) = h1(k) h1(k 2) =(1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (

15、k) (1/3)( 1)k 2 + 2/3)(2)k2 (k 2) 3.2 单位序列响应和阶跃响应三、阶跃响应g(k)=T (k), 0由于， (k) = (k) (k 1) = (k) 所以，h(k) =g(k) (k2k1 )两个常用的求和公式：3.2 单位序列响应和阶跃响应例. 求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)和阶跃响应g(k)。解：（1）列写差分方程，求初始值由加法器的输出可列出系统的方程为整理得：(2) 系统的单位序列响应3.2 单位序列和单位序列响应(3) 求 g(k)根据阶跃响应的定义，它应满足方程由递推得：容易求得其特解为：于是，得：解法I3.2 单位序列和单位序列响应

16、代入初始值得：于是，系统的阶跃响应：由上式可解得：3.2 单位序列和单位序列响应考虑到k0，得：解法II由级数求和公式得：3.3 卷积和1、卷积和的定义已知定义在区间（ ，）上两个函数 f1(k)和f2(k)，则定义和 为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k) = f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量，结果仍为k 的函数。 3.3 卷积和一、卷积和3.3 卷积和若有两个序列f1(k)与f2(k)，如果序列f1(k)是因果序列，即有f1(k)=0，k0，则卷积和可改写为：若有两个序列f1(k)与f2(k)，如果序列f2(k

17、)是因果序列，即有f2(k)=0，k i，则卷积和可改写为：如果序列f1(k)与f2(k)均为因果序列，则卷积和可写为：3.3 卷积和例2：求例1：求3.3 卷积和2、序列的时域分解任意离散序列f(k) 可表示为 f(k)=+f(-1) (k+1) + f(0) (k) + f(1) (k-1) +f(2) (k-2) + + f(i) (k i) + 任意信号引起的零状态响应的求解3.3 卷积和3、任意序列作用下的零状态响应yzs(k)f (k)根据h(k)的定义： (k) h(k) 由时不变性： (k -i)h(k -i)f (i) (k-i)由齐次性：f (i ) h(k-i)由叠加性：

18、f (k)yzs(k)卷积和3.3 卷积和例3：f (k) = a k (k), h(k) = b k (k) ，求yzs(k)。解： yzs(k) = f (k) * h(k)当i k时， (k - i) = 0这种卷积和的计算方法称为解析法。3.3 卷积和二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元： k 换为 i得 f1(i)， f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转 f2(i) 右移k f2(k i)（3）乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和： i 从 到对乘积项求和注意：k 为参变量,为一个函数的平移量。下面举例说明。3.3 卷积和例4：f1(k)、 f2(k)如图

19、所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？解：（1）换元（2） f2(i)反转得f2( i)（3） f2(i)右移2得f2(2i)（4） f1(i)乘f2(2i)（5）求和，得f(2) = 4.5f2(i )f2(2i)3.3 卷积和三、不进位乘法求卷积f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。如k=2时f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + 例5 f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0 f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0=+f1(-1)

20、f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2) + + f1(i) f2(k i) + 3.3 卷积和f1(1) ， f1(2) ， f1(3)f2(0) ， f2(1)f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0) f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1) + f1(3) f2(1) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(1) f2(0)f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0

21、)， f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 排成乘法3.3 卷积和例6 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=03 ， 4， 0， 62 ， 1 ， 5解15 ，20， 0， 303 ， 4， 0， 66 ，8， 0， 12+ 6 ，11，19，32，6，30求f(k) = f1(k)* f2(k)f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30 k=1注：教材上还提出一种列表法，本质是一样的。3.3 卷积和四、卷积和的性质1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.证明： (仅证明交换律，其它类似。)2. 复合系统的单位序列响应3.3 卷积和3. f(k)* (k) = (k) * f(k) =f (k) ， f(k)* (k k0)