数字信号处理：第1章 时域离散信号和时域离散系统

1、第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统1.4 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程1.5 模拟信号数字处理方法1本章重点：1. 掌握时域离散信号的表示方法和典型信号；2. 掌握线性时不变系统的因果性和稳定性概念；3. 掌握系统的输入输出描述法；4. 掌握线性常系数差分方程的解法；5. 了解模拟信号数字处理方法。 2 信号：是一个自变量或几个自变量的函数 例如 f1(n)，f2(n1,n2) 说明： 如果仅有一个自变量，则称为一维信号； 如果有两个及以上的自变量，则称为多维信号。本课程仅学习一维数字信号处理的理论与技术；信号的自变量

2、：有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，我们一般地把信号看作时间的函数。1.1 引言31、信号的分类 模拟信号：时间和幅度都取连续值的信号； 时域离散信号: 幅度取连续值而时间取离散值的信号； 数字信号：幅度和时间均为离散值的信号。2、系统的分类 模拟系统：系统的输入、输出均为模拟信号； 数字系统：系统的输入、输出均为数字信号； 时域离散系统：对时域离散信号进行处理的系统。4 对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 这里n取整数。对于不同的n值， xa(nT)是一个有序的数字序列：,xa(-T),xa(0),xa(T),，该数字序列就是时域离散信号。 实际信号处理中，这些

3、数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。 对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即 x(n)=xa(nT)， -n。 1.2 时域离散信号5 信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如： x(n)=,1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1, 。归纳一下时域离散信号有如下三种表示方法（见书第5页）： 1、用集合符号表示 2、用公式表示 例如：x(n)=

4、sin(n/5),n=-5,-4,4,5。 3、用图形表示 61.2.1 时域离散信号表示方法x(n)=sin(n/5)的波形图1.2.2 常用的典型序列1、单位取样序列(n) -Unit sample sequence (n)n01234561-1-2-3-4 (n)是一个脉冲幅度为1的现实序列。 (t)是脉宽为零，幅度为 的一种数学极限，是 非现实信号。 单位取样序列亦称单位脉冲序列，或时域离散冲激。 7 用单位取样序列(n)表示任意序列(n)n01234561-1-2-3-42(n-1)n01234562-1-2-3-4可以将任意序列表示成单位抽样序列的移位加权和x(n)=3(n-2)n

5、01234563-1-2-3-4(n) +2(n-1)+3(n-2)n01234563-1-2-3-412(其中，x(0)=1, x(1)=2, x(2)=3)82、单位阶跃序列u(n) -Unit step sequence u(n)n01234561-1-2-3-478910 用单位阶跃序列u(n)表示单位取样序列(n)： 用单位取样序列(n)表示单位阶跃序列u(n)：93、矩形序列RN(n) - Rectangular sequence RN(n)n01231N-1 用单位阶跃序列u(n)表示矩形序列RN(n)： 用单位取样序列(n)表示矩形序列RN(n) ：104、实指数序列 Real

6、-valued exponential sequence 当|a|1时，序列发散。 当|a| 1时，序列收敛。 当|a| 1，且a1） x(n/m)为插值序列（m1）33例如：x(n)与x(2n)-2 -1 0 1 2 n12345x(n)135x(2n)-2 -1 0 1 2 n注意： x(n) = x(t)|t=nT 采样间隔为T x(2n) = x(t)|t=2nT 采样间隔为2T，抽样 x(n/2) = x(t)|t=nT/2 采样间隔为T/2，插值 是序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。抽取序列是序列相邻抽样点间补（m1)个零值点，表示零值插值。插值序列348、卷积和

7、 卷积积分是求连续线性时不变系统输出响应的主要方法。 卷积和是求离散线性时不变系统输出响应的主要方法。h(t)x(t)h(n)x(n)351.3 离散时间系统离散时间系统T(运算)x(n)输入序列y(n)输出序列1.3.1 线性系统 概念：满足叠加原理的系统为线性系统。 (1)可加性 设y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n) 如果y1(n)+y2(n)=Tx1(n)+Tx2(n)=Tx1(n)+ x2(n) 说明系统T满足可加性。36(2)比例性(齐次性) 设y1(n)=Tx1(n) 如果 a1y1(n) = a1Tx1(n) =Ta1x1(n) 说明系统T满足比例性或齐次性。综合

8、(1)、(2)，得到叠加原理的一般表达式：说明：(1)叠加原理的一个直接结果是零输入产生零输出。(2)在证明一个系统是否为线性系统时，应证明系统既 满足可加性，又满足比例性。37例：验证下面的系统是否为线性系统：y(n)=4x(n)+6方法一：验证系统是否满足叠加原理。 可加性分析：若：x1(n)= 3，则：y1(n)=43+6=18 x2(n)= 4，则：y2(n)=44+6=22而：x3(n)= x1(n)+x2(n)=7 ，有：y3(n)=47+6=3440得到：y1(n)+ y2(n)=18+22=40得证：由于该系统不满足可加性，故其不是线性系统。方法二：利用线性系统的“零输入产生零

9、输出”的特性验证。 因为当x(n)=0时，y(n)=60，这不满足线性系统的“零输入产生零输出”的特性，因此它不是线性系统。381.3.2 时不变系统(移不变系统) 概念：若系统的响应与激励加于系统的时刻无关，则该 系统为时不变或移不变系统。 即：若有y(n)=Tx(n)，则y(n-m)=Tx(n-m)成立。例：证y(n)=4x(n)+6是移不变系统。证：y(n-m)=4x(n-m)+6 Tx(n-m)=4x(n-m)+6 y(n-m)=Tx(n-m) 该系统是移不变系统说明：乍一看该例，似乎y(n-m)和Tx(n-m)很容易就得 到了一样的结果，而实际上它们是通过不同的途 径得到的。y(n-

10、m)是将y(n)=4x(n)+6表达式中的所 有出现n的地方用n-m去替换；而Tx(n-m)是将所 有x函数的自变量替换为自变量n-m。39例：验证以下两个系统的移不变特性。(1)因为y(n-k)与Tx(n-k)相同，所以该系统是移不变系统。说明：在该例题中可以清楚地看到，y(n-k)和Tx(n-k)是 从两条不同的途径得到了相同的结果。 m=m-k，m从-n m应从-kn-k由于-是很大很大的，所以-k就相当于-40(2)因为y(n-k)与Tx(n-k)不相同，所以该系统不是移不变系统。说明：从上面两个类似的例题中，我们除了知道移不变系统的 证明方法外，还可以学习到一些基本的换元方法。 m=

11、m-k，m从0n m应从-kn-k41例：验证系统y(n)=nx(n)的移不变特性。法一：用概念Tx(n-k)=nx(n-k)y(n-k)=(n-k)x(n-k)因为y(n-k)与Tx(n-k)不同，故不是移不变系统。法二：找反例设：x1(n)=(n)，则Tx1(n)=n(n)=0 x2(n)=(n-1)，则Tx2(n) =n(n-1)= (n-1) 可以看出，当输入移位(n)(n-1)时，输出并不是也移位了，而是0(n-1)，故不是移不变系统。42 概念：同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性时不变系统。 LSI(Linear Shift Invariant)System 线性时不变离

12、散时间系统 表征：单位抽样(冲激)响应h(n)： 当输入为(n)时，系统的输出用h(n)表示。 h(n)=T(n) 卷积： 当一个系统是LSI系统时，它的输出y(n)可以用输入x(n)与 单位抽样响应h(n)的卷积来表示。 y(n)=x(n)*h(n)1.3.3 线性时不变系统(时域离散线性时不变系统)T(n)h(n)43 证明：在前面我们学过，任一序列x(n)可以写成：系统的输出为： 说明：注意在证明y(n)=x(n)*h(n)的过程中用到了线性和移不 变的特性，这说明只有LSI系统才有上式。离散卷积或线性卷积，常用符号“*”表示：44线性卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先

13、在变量坐标轴m上画出x(m)和h(m)，将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-m)。 (2)移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 45例已知x(n)和h(n)分别为：和a为常数，且a1，试求x(n)和h(n)的线性卷积。 计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。 46解参看图，分段考虑如下：(1)对于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m) n47图解说明

14、0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1) n0n-6mh(n-m)n0(2) 0n4n-6mh(n-m)n0448(3) 4n6n-6mh(n-m)n046n-6mh(n-m)n06(4) 610n-6mh(n-m)n04(2) 0n4n-6mh(n-m)n04图解说明49(2)在0n4区间上n-6mh(n-m)n040mx(m)450(3)在4n6区间上n-6mh(n-m)n0460mx(m)451(4)在6n10区间上n-6mh(n-m)n06100mx(m)452综合以上结果，y(n)可归纳如下：53卷积结果y(n)如图所示 6ny(n)100454例设有一线性时不变系统

15、，其单位取样响应为解：分段考虑如下：(1)对于n0；(2)对于0n N；(3)对于nN。55(2)在0nN 区间上56(3)在nN 区间上(1)(2)(3)y(n)57例设有一线性时不变系统，其3142x(m)m01234215h(m)m10234解：m0-2-3-4-11h(-m)58-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-2ny(n)-1120-2345665241322103142x(m)m0123459对有限长序列相卷，可用竖乘法注：1. 各点要分别乘、分别加且不跨点进位； 2. 卷和结果的起始序号等于两序列的其始序号之和。60线性移不变系统的性质 1、交换律y(n

16、) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n)h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)等效于 2、结合律x(n)*h1(n)*h2(n) = x(n)*h1(n)*h2(n)= x(n)*h2(n)*h1(n) = x(n)*h1(n)*h2(n) h1(n)x(n)y(n)h2(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)三者等效61 3、分配律x(n)*h1(n)+h2(n) = x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)h1(n)+h2(n)x(n)y(n)两者等效h1(n)x(n)y(n)h2(n)62例：x(n)=u(n)，h1(n)=(

17、n)-(n-4)，h2(n)=anu(n)，求： y(n)=x(n)*h1(n)* h2(n) 解：63 结果： 0 n0 1 n=0 y(n)= 1+a n=1 1+a+a2 n=2 an+an-1+an-2+an-3 n3 说明：641.3.4 因果性和稳定性因果系统1、定义 因果系统是指：某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前 的输入的系统。即：n=n0时的输出y(n0)只取决于nn0的输入x(n)|nn0的系 统为因果系统，否则为非因果系统。例：判断下面的系统是否为因果系统。(1) y(n)=nx(n)是(2) y(n)=x(n+2)+ax(n)不是(3) y(n)=x(n3)不是(4

18、) y(n)=x(-n)不是(5) y(n)=x(n)sin(n+2)是652、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是： h(n)=0，n0证：充分条件若n0时，h(n)=0，有： 从上式看出，y(n0)只与m n0时刻的x(m)有关，这满足因果系统的定义我们将n0，x(n)=0的序列称为因果序列n-m0,h(n)0 m=n66 必要条件(反证法) 若已知一系统是因果系统，但当nn 时的一个x(m)值有关，而这又与设定的另一个条件：因果系统相矛盾，所以说明设定条件有误。mnn-m0mnn-m0 注意：当利用该性质验证一个系统为因果系统时，应首先 确定系统是LSI系统，并求出其单位冲激响应h(

19、n)。671、定义 稳定系统是指：有界输入产生有界输出的系统。 即： 如果|x(n)|M ，则有： |y(n)|P 。2、一个LSI系统是稳定系统的充分必要条件是：单位抽样响应 绝对可和。证明：充分条件：若|h(n)|q ，且|x(n)|M 则y(n)为：1.3.4 因果性和稳定性稳定系统68即证：若|h(n)|q ，且|x(n)|M ，存在： |y(n)| 1的稳定性。证：设x(n)有界，|x(n)|A -A x(n) A a-A |y(n)| aA 当x(n)有界时，y(n)也有界，故为稳定系统。例：一个LSI系统的 h(n)=anu(n)，讨论其因果性和稳定性。 因果性：因为：当n0时，

20、h(n)=0，所以该系统为因果系统。 稳定性：当|a|1时系统稳定，当|a|1时系统不稳定。72例：一个LSI系统的 h(n)=-anu(-n-1)，讨论其因果性和稳定性。 因果性：因为：当n1时系统稳定，当|a|1时系统不稳定。731.4 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程1、形式：常系数：是指方程中a0、a1、a2、 、aN和b0、b1、b2、 、bM为常数。阶数： y(n)项中变量序号的最高值与最低值之差。线性： y(n-k)与x(n-m)项都只有一次幂，且不存在相乘项。该“线性”与线性系统的“线性”含义不同742、常系数差分方程的求解： 经典解法：类似于模拟系统求解微分方程

21、的方法，要求 齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。 由于计算复杂，较少使用。 递推(迭代)法：简单、适于用计算机进行求解。但只能 得到一系列数值解，不易得到封闭式(公 式)解答。 变换域法：将差分方程变换到z域求解。 卷积法：由差分方程求出系统的h(n)，再与已知的x(n) 进行卷积，得到y(n)。75例：用迭代法求解差分方程求单位抽样响应h(n) 设系统差分方程为：y(n)-ay(n-1)=x(n)，求h(n)。 h(0) = ah(-1)+(0) = 0+1 = 1 h(1) = ah(0)+(1) = a+0 = a h(2) = ah(1)+(2) = a2+0 = a2解：设x(n

22、)=(n)，对因果系统，有：y(n)=h(n)=0，当n0。 h(n) = ah(n-1)+0 = an+0 = an.迭代 故系统的单位抽样响应为：h(n)=anu(n)。这个系统显然是因果系统，当|a|0。可写出另一种递推关系：y(n-1)=a-1y(n)-x(n) h(0) = a-1h(1)-(1) = 0 h(-1) = a-1h(0)-(0) = -a-1 h(-2) = a-1h(-1)+(-1) = -a-2 h(n) = a-nu(-n-1).迭代 该系统的单位抽样响应为：h(n)=-a-nu(-n-1)。这个系统显然不是因果系统，但它的差分方程与前一题相同。77另外：一个常

23、系数线性差分方程，只有当边界条件选择合适 时，才相当于一个线性移不变系统。例：设系统差分方程仍为：y(n)-ay(n-1)=x(n)A、当边界条件为y(0)=1时，为非线性、移变系统B、当边界条件为y(0)=0时，为线性、移变系统C、当边界条件为y(-1)=0时，为线性、移不变系统证：(这里只证明A，B和C留给大家课后思考证明。)78令：x2(n)=(n-1)， y2(0)=1y2(1) = ay2(0)+x2(1) = a+1y2(2) = ay2(1)+x2(2) = a2+ay2(n) = ay2(n-1)+x2(n) = an+an-1 y2(n) = anu(n)+ an-1u(n-

24、1) x1(n)和x2(n)为移位关系，但y1(n)和y2(n)不是移位关系，故不是移不变系统。令：x1(n)=(n)， y1(0)=1y1(1) = ay1(0)+x1(1) = ay1(2) = ay1(1)+x1(2) = a2 y1(n) = ay1(n-1)+x1(n) = an y1(n) = anu(n)79前面已经证明： 当 x1(n)=(n) 时，y1(n) = anu(n) 当 x2(n)=(n-1) 时， y2(n) = anu(n)+ an-1u(n-1)令：x3(n)=(n)+(n-1)， y3(0)=1y3(1) = ay3(0)+x3(1) = a+1y3(2)

25、= ay3(1)+x3(2) = a2+ay3(n) = ay3(n-1)+x3(n) = an+an-1 y3(n) = anu(n)+ an-1u(n-1) 当x3(n)=x1(n)+x2(n)时，y3(n)y1(n)+y2(n)， 所以，该系统也不是线性系统。80差分方程表示法的一个优点是： 可以直接得到系统的结构，这里的结构是指将输入变换成输出的运算结构。例：差分方程： y(n)=b0 x(n)-a1y(n-1) 该差分方程所表示的结构为：z-1x(n)b0-a1y(n) 从图中可以看出需要多少个加法器、乘法器和延迟单元。81连续时间信号离散时间信号采样内插信号经过采样以后，将发生一些

26、什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；经过采样后信号内容会不会有丢失；如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。 1.5 模拟信号数字处理方法821.5 模拟信号数字处理方法抽样：利用周期性抽样脉冲序列p(t)，从连续信号xa(t)中 抽取一系列的离散值，得到抽样信号，用 表示。A/D： 再经幅度量化编码后得到数字信号。抽样器：相当于一个电子开关，开关每隔 T(采样间隔)秒闭合 一次，使时间离散。理想抽样：闭合时间无限短。实际抽样：闭合时间为 秒，但： s/2 -2s -s 0 s2s1/T 0 h1/T 由于各周期延拓分量产生的频谱互相交叠，使抽样信号的频谱产生混叠现象。92采样定理： 若要从抽样后的信号中不失真的还原出原信号，则抽样频率