配料问题 运筹学

1、第1卷第1期2013年06月Jun.， 2013配料问题【摘要】【关键词】1问题描述某饲料公司生产肉用种鸡配合饲 料，每千克饲料所需营养质量要求如 表1所示。表1营养成分肉用种鸡国家标准肉用种鸡公司标准产蛋鸡标准代谢能2.72.8Mcal/kgN2.7Mcal/kgN2.65Mcal/ kg粗蛋白135145g/kg135 145g/kgN151g/kg粗纤维=0，j=1，212。根据公司对玉米、小麦、麦麸、米糠、豆饼、菜子饼、鱼粉、槐 叶粉几种原料的要求，在这个问题中 x1=0.4 ，x2=0.1,x3=0.1 ，x4=0.15，x5=0.03， x7=0.05，x8=0.03，因此这个问题

2、 的数学模型可归纳为： minz=0.68*x1+0.72*x2+0.23*x3+0.22* x4+0.37*x5+0.32*x6+1.54*x7+0.38*x83.35*x1+3.08*x2+1.78*x3+2.1*x4+2.4*x5+1.62*x6+2.8*x7+1.61*x8=2.778*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8=13578*x1+114*x2+142*x3+117*x4+402*x5+360*x6+450*x7+170*x8=14516*x1+22*x2+95*x3+72*x4+49*x5+113*x6+10

3、8*x8=5.61.2*x1+1.7*x2+2.3*x3+2.7*x4+5.1*x5+7.1*x6+11.8*x7+2.2*x8+980*x9=2.60.7*x1+0.6*x2+0.3*x3+1*x4+3.2*x5+5.3*x6+63*x7+4*x8+300*x10+400*x11=300.3*x1+0.34*x2+10*x3+13*x4+5*x5+8.4*x6+27*x7+4*x8+140*x10=51000*x12=3.7x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=1；x1=0.4;x2=0.1;x3=0.1;x4=0.15;x5=0.03;x7=0.05

4、;x8=0.03;x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12=0；(2)按照肉用种鸡国家标准，求1千克配合饲料中每种原料各配多少 成本最低。问题用数学模型表示，根 据表C-4中每千肉用种鸡国家标准饲 料所需营养质量要求含量数据和表 C-5中提供的原材料价格数据，每千饲 料所含各种原材料为xj，z表示成本， z= C * X 且 xj=0，j=1，212。 要求成本最低，即为min z=*对，3.35x1+3.08x2+1.78x3+2.1x4+2.4x5+1.62x6+2.8x7+1.61x8=2.73.35x1+3.08x2+1.78x3+2.1x4+2.4

5、x5+1.62x6+2.8x7+1.61x8=13578x1+114x2+142x3+117x4+402x5+360 x6+450 x7+170 x8=14516x1+22x2+95x3+72x4+49x5+113x6+108x8=5.62x1+1.7x2+2.3x3+2.7x4+5.1x5+7.1x6+8x7+2.2x8+980 x9=2.50.7x1+0.6x2+0.3x3+1.0 x4+3.2x5+5.3x6+63x7+4.0 x8+300 x10+400 x11=230.7x1+0.6x2+0.3x3+1.0 x4+3.2x5+5.3x6+63x7+4.0 x8+300 x10+400

6、 x11=4.60.3x1+0.34x2+10.0 x3+13.0 x4+5.0 x5+8.4x6+27x7+4.0 x8+140 x10=0.4， x2=0.1,x3=0.1 ，x4=0.15 ，x5=0.03，x7=0.05， x8=0.03，因此这个问题的数学模型 可归纳为：minz=0.68x1+0.72x2+0.23x3+0.22x4 +0.37x5+0.32x6+1.54x7+0.38x8+23x9+0.56x10+1.12x11+0.42x12x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=1x1=0.4,x2=0.1,x3=0.1,x4=0.15,

7、x5=0.03,x7=0.05,x8=0.03(1)公司采购了一批花生饼，单价是 0.6元/kg，代谢能到有机磷的含量为 (2.4,38,120,0,0.92,0.15,0.17), 求肉用种鸡成本最低的配料方案。当 在新增了一种新的原材料时，要对生 产结构进行调整，变量增加x13约束13条件个数不变。两种肉用鸡配料方案 中的目标函数，仍为min z= cj*xj， 因此两种肉用鸡的配料方案的问题的 数学模型可为：按照肉用种鸡公司标准：minz=0.68x1+0.72x2+0.23x3+0.22x4+0.37x5+0.32x6+1.54x7+0.38x8+23x9+0.56x10+1.12x1

8、1+0.42x12+0.6x133.35x1+3.08x2+1.78x3+2.1x4+2.4x5+1.62x6+2.8x7+1.61x8+2.4x13=2.778x1+114x2+142x3+117x4+402x5+360 x6+450 x7+170 x8+38x13 =135450 x7+170 x8+38x13=14516x1+22x2+95x3+72x4+49x5+113x6+108x8+120 x13=5.61.2x1+1.7x2+2.3x3+2.7x4+5.1x5+7.1x6+11.8x7+2.2x8+980 x9+0.92x13=2.60.7x1+0.6x2+0.3x3+1.0 x

9、4+3.2x5+5.3x6+63x7+4.0 x8+300 x10+400 x11+0.15x13 =300.3x1+0.34x2+10.0 x3+13.0 x4+5.0 x5+8.4x6+27x7+4.0 x8+140 x10+0.17x13=51000 x12=3.7x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13 =1x1=0.4,x2=0.1,x3=0.1,x4=0.15,x5=0.03,x7=0.05,x8=0.03按照肉用种鸡国家标准：minz=0.68x1+0.72x2+0.23x3+0.22x4+0.37x5+0.32x6+1.54x7+0.

10、38x8+23x9+0.56x10+1.12x11+0.42x12+0.6x133.35x1+3.08x2+1.78x3+2.1x4+2.4x5+1.62x6+2.8x7+1.61x8+2.4x13=2.73.35x1+3.08x2+1.78x3+2.1x4+2.4x5+1.62x6+2.8x7+1.61x8+2.4x13=13578x1+114x2+142x3+117x4+402x5+360 x6+450 x7+170 x8+38x13=14516x1+22x2+95x3+72x4+49x5+113x6+108x8+120 x13=5.62x1+1.7x2+2.3x3+2.7x4+5.1x5

11、+7.1x6+8x7+2.2x8+980 x9+0.92x13=2.5 0.7x1+0.6x2+0.3x3+1.0 x4+3.2x5+5.3x6+ 63x7+4.0 x8+300 x10+400 x11+0.15x13=23 0.7x1+0.6x2+0.3x3+1.0 x4+3.2x5+5.3x6+ 63x7+4.0 x8+300 x10+400 x11+0.15x13=4.6 0.3x1+0.34x2+10.0 x3+13.0 x4+5.0 x5+8.4x6+ 27x7+4.0 x8+140 x10+0.17x13=0.4,x2=0.1,x3=0.1,x4=0.15,x5=0.03,x7=0

12、.05,x8=0.03（4）求产蛋鸡的最优饲料配方方 案，在公司配料生产问题中，要求最 优，目标使得公司配料成本最低，使 问题转化为生产1千克的产蛋鸡饲料 的最优方案使得成本最低。根据表格 C-4饲料所需营养质量要求含量数据 和C-5中各种原料的相关数据，变量 为1千克饲料所需各种原料含量xz 为成本，目标函数为min z= cj * xj， z= cj * xj 且 x,=0， j=1，213，变量范围约束 x1=0.4， x2=0.1,x3=0.1 ，x4=0.15 ，x5=0.03，x7=0.05， x8=0.03，这个问题的数学模型为： minz=0.68x1+0.72x2+0.23x

13、3+0.22x4+ 0.37x5+0.32x6+1.54x7+0.38x8+23x9第1期杜成财，王清刚，严茂杰：配料问题+0.56x10+1.12x11+0.42x12酸钙将要涨价，米糠将要降价，价格3.35x1+3.08x2+1.78x3+2.1x4+2.4x5+1.62x6+2.8x7+1.61x8 =2.6578x1+114x2+142x3+117x4+402x5+360 x6+450 x7+170 x8=15116x1+22x2+95x3+72x4+49x5+113x6+108x8=6.81.2x1+1.7x2+2.3x3+2.7x4+5.1x5+7.1x6+11.8x7+2.2x8

14、+980 x9=60.7x1+0.6x2+0.3x3+1.0 x4+3.2x5+5.3x6+63x7+4.0 x8+300 x10+400 x11 =330.3x1+0.34x2+10.0 x3+13.0 x4+5.0 x5+8.4x6+27x7+4.0 x8+140 x10 =31000 x12=3x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12=1x1=0.4,x2=0.1,x3=0.1,x4=0.15,x5=0.03,x7=0.05,x8=0.03变化率都是原价的r %试对两种产品配 方方案进行分析。这个问题为规划中 的价格系数灵敏度分析问题，根据题 意可知

15、cj=cj* r %，在线性规划中 匕的在一定范围内变化，可以保持原配 料方案保持不变，若超过一定范围，公司就要对生产结构和配料方案进行 调整。二、建立问题，输入数据对数学模型求解：1、按照肉用种鸡公司标准求1千克配合饲料中每种原料各 配多少成本最低，建立数学模型并 LINGO求解，有模型可知目标函数和约 束条件，输入到LINGO的主窗体中设 置如图C-1：公司考虑到未来鱼粉、骨粉和碳图C-1然后点击工具条上的按钮即可求出解，图C-2显示求解状态：图C-2求解报告图示C-3：图 C-3第第1卷第1期2013年06月Solution Report - LINGO1按照肉用种鸡国家标准求1千克配合

16、饲料中每种原料各配多 少成本最低。建立数学模型并按照肉用种鸡国家标准求1千克配合饲料中每种原料各配多 少成本最低。建立数学模型并LINGO求解，有模型可知目标函数和约束条 件，输入到LINGO的主窗体中设置如 图 C-4：图C-4然后点击工具条上的 按钮即可求然后点击工具条上的 按钮即可求出解，图C-5显示求解状态:图C-5Global uptirnal solut-ion fLn.incl at- it-eratiLHi:156553693Objective value: ,V ari；azi 1 eValueRflIucelI Cost.XI0.53850300.000000X20.100

17、00000.000000X30.10000000.00U00UX4U.0000000.1446276X.50.7213126E-01o.oonoonX60.3 0U00LI0E-010.00u00uX70.50U00U0E-010.000000X80.30U00U0E-01o.oonoonX90.3233949E-030.00U00UZ1U0.4263719E-010.000000XI10.3270518E-01o.oonoonX120.3 7U00LI0E-020.00U00URo TilS lack or Surp 1 usDual Price1.6553693-l.OOLiOOU2U.0

18、00000-0.52187993U.000000-0.2339449E-U3qio.noouo0.00U00U514.519520.00000060.33292030.00U00U7U.000000-0.2461224E-U18U.000000-0.5 60U00LIE-U294.2474130.00U00U10U.000000-0.1.54LI00LIE-LI211U.0000001.1200002013年062013年06月Journal of Xichang College Natural Science EditionJun., 2013Solution Report - LING01

19、12、原材料结构调整公司采购了一批花生饼,单价是0.2、原材料结构调整公司采购了一批花生饼,单价是0./kg，代谢能到有机磷的含量分别为(2.4,38,120,0,0.92,0.15,0.17 ), 求肉用种鸡成本最低的配料方案肉用种鸡国家标准在调整后方案， 用WinQSB来处理数据如图C-6：图C-6a.Glotoal upt-iinal solut-ion found at-it-eration:UOb j ect.ive value :0.62 3 3 4.53VarioleValueRe clue eel Cost-XI.4932863U. OOOOLiUX20.1OUUUUUU. O

20、OOOLiUX3o.lonnunnu.oooonnX40.504592 IE-01u.oooonnZ50.9109438E-01u.oooonnZ6o.sonnnnriE-oiu.oooonnX70.50LILILILILIE-01U. OOOOLIUX80.3 0IJIJIJIJIJE-01u.oooonnX90.3 9U1.554E-04u.oooonnXI00.1774695E-01u. oooonnZll0.3367414E-01u.oooonnX120.3 7LILILILILIE-02u. OOOOLIURotiJSlack or SurplusDual Price1.623345

21、3-1.oooonn20.onnnnn-0.384717730.1onnnnnu.oooonn410. rinnnnU. OOOOLIU50.onnnnnU.1400426E-U3615.68U73u.oooonn71.013918u.oooonn80.onnnnn-U.24111S.5E-U190.onnnnn-0.437403-5E-U21017.LILILILILIU. OOOOLiU111.9IJIJIJIJIJu.oooonn12o. onrinnnn.875689nE-u313o.oooooo|-U.1049614E-U2140.onnnnnU.6296142150.9328631

22、E-01U . OOOOLIULowerBound : X10WIVariable -XIX2X3X4X5X7X9XI0XIIMinimize0 680 720.230.220.370.321.540.3823.00.561.12Cl3.353.081.782.102.401.622.801.61C278114142117402360450170C378114142117402360450170C41G229572491130108C52.33.46.06.524.18.129.110.6C61.21.72.32.75.17.111.82.2980C70.7O.G0.31.03.25.3634

23、.0300400C80.30.3410 013.05.08 4274.0140C9C1011111111111LowerBound0.40.10.1000.030.050.03000UpperBoundMMM0 150 1MMMMMMVariableTypeContinuousContinuousContinuousContinuousContinuousContinuousContinuousContinuousContinuousContinuousContinuous点击 Solve and Analyze-Solve the结果如图 C-7 示:problem,问题已解决且存在解，求解

24、图C-7第1卷第1期 2013年06月b.肉用种鸡国家标准在调整后方案， 数据如图b.肉用种鸡国家标准在调整后方案， 数据如图C-8：图C-810:05:37TuesdayJune292010DecisionVariableSolution ValueUnit Cost or Profit c(j)Total ContributionReduced CostBasis StatusAllowable Min. c(j)AllowableMax. c(j)1XI0.53850.6800(L36620basic-0.82530.79302X20.10000.72000.07200.1607at b

25、ound0.5593M3X30.10000.23000.02300.3295at bound-0.0995M4X400.220000.1446at bound0.0754M5X50.07210.37000.02670basic0.28900.69856XG0.03000.32000.00960.3059at bound0.0141M7X70.05001.54000.07700.4502at bound1.0898M8X80.03000.38000.01140.5435at bound-0.1635M9X90.000323.00000.00740basic-1.120041.714110X100

26、.04260.56000.02390basic0.19200.634311XII0.03271.12000.03660basic1.02011.542312X120.00370.42000.00160basic-MM13X1300.G00000.4351at bound0.1649MObjectiveFunction(Min.)=0.6554ConstraintLeft Hand SideDirectionRight Hand SideSlack or SurplusShadow PriceAllowableMin. RHSAllowableMax. RHS1C12.7000 =2.70000

27、0.52192.66102.72712C2135.0000 =135.000000.0002129.8678144.64593C3135.0000 =145.000010.00000135.0000M40430.4805 =5.60000.33290-M5.93296CG2.6000 =2.600000.02462.283110.03307C730.0000 =30.000000.005626.729533.03398C89.2474 =5.00004.24740-M9.24749C93.70003.700000.0015011.284G10C101.00001.00000-1.12000.9

28、9241.0109Jun.， 2013第1卷第1期 2013年06月Jun.， 2013All case 31Minimize0.68X1 +0.72X2+0.23X3+0.22X4+0.37X5+0.32X6+1.54X7+0.38X8+23X9+0.56X10+1.12X11 +0.42X12+0.GX13 BJ/ConstraintA/ariableType/BoundMinimize0.68X1 *0.7唇（由0.2虱3而.2 取王又云*1 古职7*。.2 嵌取弓成1云11 +0.42X12+d.GXi 3Cl3.35X1 +3.08X2+1.78X3+2.1X4+2.4X5+1.62

29、X6+2.8X7+1.61X8+2.4X13=2.7C23.35X1 +3.0SX2+1.78X3+2.1X4+2.4X5+1.62X6+2.8X7+1.61X8+2.4X13=135C478X1 +114X2+142X3+117X4+402X5+360X6+450X7+170X8+38X13=145C516X1 +22X2+95X3+72X4+49X5+113X6+108X8+120X13=5.6C71.2X1 +1.7X2+2.3X3+2.7X4+5.1X5+7.1X6+11.8X7+2-2X8+980X9+0.92X13=2_5C80.7X1 +0.6X2+0.3X3+1X4+3.2X5

30、+5.3X6+63X7+4X8+300X10+400X11 +0.15X13=23C90.7X1 *D_6X2+D.3X35X4,3_2X5+5_3X8*63X7+4X8,3(0X10+400X11 +0.15X13=4_6C110.3X1 +0.34X2+10X3+13X4+5X5+8.4X6+27X7+4X8+140X10+0.17X13=0.4, =0.1, =0.L =0, =0, =0.03, =0.05, =0.03, =0, =0, =0, =0, =0, Solve the结果如图 C-9 示:problem,问题已解决且存在解，求解图C-9Jun.， 2013Jun.， 20

31、13第1卷第1期 2013年06月3、求产蛋鸡的最优饲料配方方案有模型可知，目标函数为 minimization，变量数12个，约束条 件9,变量类型为continuous，设置 问题属性如图C-10：图 C-10输入数据，图C-11：Jun., 2013Jun., 2013第1卷第1期 2013年06月点击 Solve and Analyze-Solve the problem,问题已解决且存在解，求解 结果如图C-12和C-13示，“the problem is infeasible ，这个问题 没有最优的配料方案，只能根据公司 的实际情况而选择相应的满意方案来 进行：Infeasible

32、solution!Make any ofthe followingRHS changesand solve theproblem again.07-03-2010 10:22:58ConstraintDirectionRight Hand SideShadow PriceAdd More Than This To RHSAdd Up To This To RHS1匚1=2.65000.2535-0.23990.07992C2=151.00000M38.55543C3=6.80000M3.17765C5=6.00000.0229-1.776821.76016C6=33.00000M6.66137

33、C7=3.00000M16.10858C83.00000.0001-3.000022.20429C91.00000.5600-0.0222M4、价格系数灵敏度分析公司考虑到未来鱼粉、骨粉和碳酸钙 将要涨价，米糠将要降价，价格变化 率都是原价的r %试对两种产品配方方 案进行分析。a.肉用鸡按公司标准问题在WinQSB 分 析 结 束 后， Results-Sensitivity Analysisof OBJ可以的到如图C-14：第1卷第1期2013年06月Jun.， 201307-03-2010 10:30:10Decision VariableSolution ValueReduced Co

34、stUnit Cost or Profit C(j)Allowable Min. C(j)Allowable Max. C(j1XI0.538500.6800-0.82530.79302X20.10000.16070.72000.5593M3X30.10000.32950.2300-0 0995M4X400.14460.22000.0754M5X50.072100.37000.28900.69856X60.03000.30590.32000.0141M7X70.05000.45021.54001.0898M8X80.03000.54350.3800-0.1635M9X90.0003023.00

35、001120041.714110XI00.042600.56000.19200.634311X110.032701.12001.02011.542312XI20.003700.4200-MM图中鱼粉，骨粉，碳酸钙和米糠的价 格c. (j=7, 10, 11, 4)满足使得最 优解不变的大小变化范围分别为： 0.0898, +8), 0.1920,0.6343,1.0201,1.5423 ,0.0754, +8)；四种原料的价格分别变化时，不影响 原配料方案的r%波动的允许范围为： Q当且仅当鱼粉涨价时，变化率满足 r%=0%，又有c7的没有最大限，说明鱼 粉的价格的涨价情况下的价格变化率 可以

36、没有限制的波动，均不会使得原 有的原料配方方案不会发生变化； 当且仅当骨粉涨价时，变化率满足 r%=0%，有 c10的最大限为 0.6343，r% 的最大不使公司原有的最优配料方案 发生变动的值为 (0.6343-0.56)/0.56*100%=13.27%， 即0%=r%=0%的同时要满足变化率是的c11 的最大限为 1.5423 ， 即 0%=r%=37.71%，当r%在这个范围内 波动时，原配方不会变化，若在这个 范围之外，公司就要对配料方案进行 调整；当仅米糠降价时，价格变化率的最 大值应不超过(0.22-0.0754 ) /0.22=65.73%，当 0%=r%=65.73%时， 米

37、糠降价不会影响公司的原配料方 案，变化率超过这个范围时，就需要 对配料方案进行调整才满足市场需 求；若市场中四种原料价格同时变动 时，且变化率为r%则，有 可 以得出当r%得波动范围在 0%=r%Sensitivity Analysis of OBJ可以的到如图C-15：第1卷第1期 2013年06月07-03-2010 10:46:33Decision VariableSolution ValueReduced CostUnit Cost or Profit C(j)Allowable Min. C(j)AllowableMaK. C(j)1r X1 10.493300.68000.5078

38、0.86232X20.10000.13730.72000.5827M3X30.10000.14670.23000.0833M4X40.050500.22000.1 G580.33605X50.091100.3700-2.25240.41126X60.03000.18980.32000.1302M7X70.05000.61901.54000.9210M8X80.03000.34700.38000.0330M9X90.0000023.00008.3559105.174910X100.017700.5600-2.57180.674411XII0.033701.12000.96755.350712X120.003700.4200-MM图中鱼粉，骨粉，碳酸钙和米糠的价 格c. (j=7, 10, 11, 4)满足使得最 优解不变的大小变化范围分别为： 0.9210,+8)，-2.5718,0.6744,0.9675,5. 3507,0.1658,0.3360；