chapter 3线性控制系统的数学模型

1、第 3 章线性控制系统的数学模型薛定宇著控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用第二版，清华大学出版社2006CAI课件开发：张望舒 哈尔滨工程大学 薛定宇 东北大学8/12/20221控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用系统的数学模型系统数学模型的重要性系统仿真分析必须已知数学模型系统设计必须已知数学模型本课程数学模型是基础系统数学模型的获取建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型8/12/20222控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用系统数学模型的分类系统模型非线性线性连续离散混合单变量多变量定常时

2、变8/12/20223控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用主要内容线性连续系统的数学模型与MATLAB表示线性离散时间系统的数学模型方框图描述系统的化简系统模型的相互转换线性系统的模型降阶线性系统的模型辨识本章要点简介8/12/20224控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.1 连续线性系统的数学 模型与MATLAB表示3.1.1线性系统的状态方程模型3.1.2 线性系统的传递函数模型3.1.3 线性系统的零极点模型3.1.4 多变量系统的传递函数矩阵模型8/12/20225控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.1.1 线性连续系统数学模型及MATLAB 表示

3、线性系统的传递函数模型 为阶次， 为常数， 物理可实现8/12/20226控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用传递函数的引入 Pierre-Simon Laplace (1749-1827)，法国数学家 Laplace变换 Laplace变换的一条重要性质： 若 则8/12/20227控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用传递函数表示数学方式MATLAB输入语句8/12/20228控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用传递函数输入举例例3-1 输入传递函数模型MATLAB输入语句 在MATLAB环境中建立一个变量 G8/12/20229控制系统计算机辅助设计-MATL

4、AB语言与应用另外一种传递函数输入方法例3-2 如何处理如下的传递函数？定义算子 ，再输入传递函数8/12/202210控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用应该根据给出传递函数形式选择输入方法例3-3 输入混合运算的传递函数模型 显然用第一种方法麻烦，所以8/12/202211控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用MATLAB的传递函数对象8/12/202212控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用传递函数属性修改例3-4 延迟传递函数 ，即若假设复域变量为 ，则8/12/202213控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用传递函数参数提取由于使用单元数组，直接

5、用 不行有两种方法可以提取参数这样定义的优点：可以直接描述多变量系统第 i 输入对第 j 输入的传递函数8/12/202214控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.1.2 线性系统的状态方程模型状态方程模型状态变量 ， 阶次 n ，输入和输出非线性函数： 一般非线性系统的状态方程描述8/12/202215控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用线性状态方程时变模型线性时不变模型 (linear time invariant, LTI)8/12/202216控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用线性时不变模型的MATLAB描述MATLAB 输入方法 矩阵是 方阵， 为

6、矩阵 为 矩阵， 为 矩阵可以直接处理多变量模型给出 矩阵即可注意维数的兼容性8/12/202217控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-58/12/202218控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用带时间延迟的状态方程数学模型MATLAB输入语句其他延迟属性：ioDelay8/12/202219控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.1.3 线性系统的零极点模型零极点模型是因式型传递函数模型零点 、极点 和增益零极点模型的 MATLAB表示8/12/202220控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-5 零极点模型MATLAB输入方法另一种输入方法

7、8/12/202221控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.1.4 多变量系统传递函数矩阵模型传递函数矩阵 为第 i 输出对第 j 输入的传递函数可以先定义子传递函数，再由矩阵定义8/12/202222控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-7 多变量模型8/12/202223控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.2 线性离散时间系统的数学模型单变量系统：差分方程取代微分方程主要内容离散传递函数离散状态方程8/12/202224控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.2.1 离散传递函数模型数学表示 （Z变换代替Laplace变换）MATLAB表示

8、（采样周期 ）算子输入方法：8/12/202225控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-8 离散传递函数，采样周期MATLAB输入方法另一种输入方法8/12/202226控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用离散延迟系统与输入数学模型延迟为采样周期的整数倍MATLAB输入方法8/12/202227控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用滤波器型描述方法滤波器型离散模型分子、分母除以记 ，则8/12/202228控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用MATLAB表示方法例3-98/12/202229控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.2.2 离散

9、状态方程模型数学形式注意兼容性MATLAB表示方法8/12/202230控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用离散延迟系统的状态方程数学模型MATLAB表示方法8/12/202231控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.3 方框图描述系统的化简单环节模型前面已经介绍了实际系统为多个环节互连，如何解决互连问题，获得等效模型？主要内容控制系统的典型连接结构节点移动时的等效变换复杂系统模型的简化8/12/202232控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.3.1 控制系统的典型连接结构系统串、并联串联传递函数 并联传递函数8/12/202233控制系统计算机辅助设计-M

10、ATLAB语言与应用串、并联状态方程模型串联系统的状态方程并联系统的状态方程8/12/202234控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用串、并联系统的MATLAB求解若一个模型为传递函数、另一个为状态方程，如何处理？将二者变换成同样结构再计算基于MATLAB的计算方法串联 注意次序：多变量系统并联优点，无需实现转换8/12/202235控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用系统的反馈连接反馈连接正反馈负反馈8/12/202236控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用状态方程的反馈等效方法其中若8/12/202237控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用反馈连接的

11、MATLAB求解LTI 模型符号运算 (置于sym目录)8/12/202238控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-10 8/12/202239控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-11控制器为对角矩阵8/12/202240控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用8/12/202241控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.3.2 节点移动时的等效变换考虑模型难点：A点在回路间，移至输出端8/12/202242控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用节点移动8/12/202243控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.3.3 复杂系统

12、模型的简化例3-12 原系统可以移动新支路模型8/12/202244控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用得出8/12/202245控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-13 电机拖动模型 8/12/202246控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用 信号单独输入得出另一个传递函数8/12/202247控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用最终得出传递函数矩阵8/12/202248控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.4 系统模型的相互转换前面介绍的各种模型之间的相互等效变换主要内容连续模型和离散模型的相互转换系统传递函数的获取控制系统的状态方

13、程实现状态方程的最小实现传递函数与符号表达式的相互转换8/12/202249控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.4.1 连续模型和离散模型的相互转换连续状态方程的解析阶采样周期选择8/12/202250控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用这样可以得出离散模型记则可以得出离散状态方程模型MATLAB函数直接求解8/12/202251控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用还可以采用Tustin变换（双线性变换）例3-14 双输入模型，8/12/202252控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用输入模型、变换8/12/202253控制系统计算机辅助设计-MAT

14、LAB语言与应用模型8/12/202254控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-15 时间延迟系统的离散化MATLAB求解零阶保持器变换变换结果8/12/202255控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用Tustin变换数学表示其他转换方法FOH 一阶保持器matched 单变量系统零极点不变imp 脉冲响应不变准则8/12/202256控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用离散模型连续化对前面的变换求逆Tustin反变换MATLAB求解 (无需 )8/12/202257控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-16 对前面的连续状态方程模型离散化，对结

15、果再连续化，则 可以基本上还原连续模型8/12/202258控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.4.2 系统传递函数的获取已知状态方程两端Laplace变换则8/12/202259控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用因此可以得出传递函数难点基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好结果由零极点模型，直接展开分子分母用MATLAB统一求解8/12/202260控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-17 多变量模型，求传递函数矩阵8/12/202261控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.4.3 控制系统的状态方程实现由传递函数到状态方程的转换

16、不同状态变量选择，结果不唯一默认变换方式，采用MATLAB函数G可以是传递函数、状态方程和零极点模型适用于有延迟的、离散的或多变量模型8/12/202262控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-18 连续多变量模型状态方程获取8/12/202263控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用得出的状态方程模型ioDelay矩阵8/12/202264控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用该模型可以转换回传递函数矩阵得出的转换结果8/12/202265控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用均衡实现 （banlanced realization）由一般状态方程输入输出

17、关系显著程度不明显，需要进一步变换均衡实现是一种很有用的方式用MATLAB直接求解得出均衡实现的模型得出排序的 Gram 矩阵8/12/202266控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.4.4 状态方程的最小实现例3-19 观察传递函数模型未见有何特殊求取零极点模型8/12/202267控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用得出结果相同位置的零极点，可以对消问题：状态方程如何处理？MATLAB解决方法8/12/202268控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-20 多变量模型不能直接看出是否最小实现8/12/202269控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言

18、与应用MATLAB求解8/12/202270控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.4.5 传递函数与符号表达式的相互转换传递函数到符号表达式表达式到传递函数置于sym目录下8/12/202271控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.5 线性系统模型降阶用低阶模型近似高阶模型和最小实现不同最早由Edward J. Davison提出(1966)主要内容 与Routh算法时间延迟模型的 近似带有延迟的最优降阶算法状态空间的降阶算法8/12/202272控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.5.1 降阶算法 与 Routh 降阶算法原始模型寻求降阶模型假设8/12

19、/202273控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用展开原模型其中时间矩量 可以递推求出若已知状态方程模型8/12/202274控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用时间矩量的MATLAB求解 降阶思想：保留前 时间矩量8/12/202275控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用对比系数，则8/12/202276控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用这样可以得出8/12/202277控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用 降阶求解函数8/12/202278控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-21 原始模型Pad 近似结果8/12/2022

20、79控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-22 反例零极点模型求取稳定模型8/12/202280控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用Pad 近似不稳定降阶模型Pad 不能保证降阶模型的稳定性不稳定降阶模型可能得出稳定降阶模型8/12/202281控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用Routh 降阶方法与实例Routh算法（较烦琐，从略）8/12/202282控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用Routh算法的最大特色：稳定系统降阶后能保证降阶模型稳定性例3-23 仍考虑稳定模型8/12/202283控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.5

21、.3 时间延迟模型的 Pad 近似纯延迟的Pad近似方法近似函数纯滞后逼近8/12/202284控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用编写 MATLAB 函数其中 r/m 任意选择可以选择 0/m ，以避免非最小相位模型8/12/202285控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-24 纯延迟模型MATLAB求解拟合结果8/12/202286控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-25 已知带有延迟的线性模型可以得出近似模型8/12/202287控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.5.4 带有时间延迟系统的 次最优降阶算法降阶模型的降阶效果误差定义

22、ISE准则8/12/202288控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用原模型降阶模型降阶误差定义8/12/202289控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用参数向量误差MATLAB实现（从略）调用格式8/12/202290控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-26 对给出的传递函数进行降阶研究可以给出下面的语句得出的降阶模型为8/12/202291控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-27 已知高阶模型可以给出如下命令得出的降阶模型8/12/202292控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.5.4 状态方程模型的降阶算法均衡实现模型的降阶

23、算法8/12/202293控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用MATLAB求解函数例3-28 8/12/202294控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用基于 Schur 均衡实现模型的降阶算法MATLAB求解函数例3-29 高阶传递函数思路：先转换成状态方程，再降阶8/12/202295控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用模型输入与降阶Schur 降阶模型8/12/202296控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用最优 Hankel 范数的降阶模型近似MATLAB求解函数例3-30 仍采用前面模型8/12/202297控制系统计算机辅助设计-MATLAB语

24、言与应用降阶算法综述状态方程方法不能任意选择分母分子阶次，而很多传递函数方法可以降阶效果比较，下章给出时域响应比较频域响应比较降阶模型的应用仿真应用（用途越来越小）控制器设计应用8/12/202298控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.6 线性系统的模型辨识模型辨识由已知实测数据获得系统模型的方法实测数据时域响应数据、频率响应数据主要内容离散系统辨识方法辨识信号生成多变量系统辨识离散系统在线辨识8/12/202299控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.6.1 离散系统的模型辨识离散传递函数模型对应的差分方程模型8/12/2022100控制系统计算机辅助设计-MATL

25、AB语言与应用已知实测信号输入输出由数据可以得出8/12/2022101控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用矩阵形式定义残差最小指标最小二乘解8/12/2022102控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用系统辨识工具箱求解T 为结构体变量，T.a, T.b, tf(T)当然由前面的公式也能直接求解8/12/2022103控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-31 实测数据8/12/2022104控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用基于MATLAB的求解8/12/2022105控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用数学形式辨识模型的提取还可以写成

26、8/12/2022106控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用还可以由下面语句求解辨识结果8/12/2022107控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用直接辨识方法辨识结果辨识界面：ident8/12/2022108控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.6.2 离散系统辨识信号的生成问题：什么样信号激励系统，辨识效果最好？有丰富频率信息的信号最好，如 PRBS伪随机二进制序列 pseudo-random binary sequence频率丰富值为可重复构建MATLAB直接生成8/12/2022109控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用例3-32 生成63个

27、点的PRBS信号辨识效果残差明显减小8/12/2022110控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用连续系统的辨识可以考虑的方法 连续频率拟合方法，不惟一 离散方法，再转换成连续模型例3-33 8/12/2022111控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用正弦信号激励辨识结果问题原因：输入频率单一8/12/2022112控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.6.3 多变量离散系统的辨识离散传递函数矩阵模型其中例3-348/12/2022113控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用MATLAB求解8/12/2022114控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与

28、应用得出的高阶模型应该最小实现辨识结果8/12/2022115控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用3.6.4 离散系统的递推最小二乘辨识在系统运行过程中实时获取系统参数，而不是象前面介绍的方法那样一次性获得模型，适合于变参数模型的实时控制广泛应用于自适应控制渐近地逼近参数真值这里介绍算法，仿真研究将在后面介绍8/12/2022116控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用递推最小二乘辨识传递函数模型差分方程模型待辨识参数8/12/2022117控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用递推初值 和加权矩阵输入输出数据向量递推公式8/12/2022118控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用本章要点小结线性连续系统可以用传递函数、状态方程和零极点形式描述，多变量系统可以由状态方程和传递函数矩阵来描述。在MATLAB下提供了