金融工程第二版-郑振龙第七章

1、.：.； 布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展在第六章中，我们在一系列假定条件下推导得到了著名的布莱克舒尔斯期权定价公式，在现实生活中，这些假设条件往往是无法成立的，本章的主要目的，就是从多个方面逐一放松这些假设，对布莱克舒尔斯期权定价公式进展扩展。但是我们也将看到，在有些时候，模型在准确度方面确实获得了相当的改良，但其所带来的收益却无法弥补为到达改良而付出的本钱，或是这些改良本身也存在问题，这使得布莱克舒尔斯期权定价公式依然在现实中占据重要的位置。 布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷在实践经济生活中，布莱克-舒尔斯期权定价模型为简便起见，我们后文都称之为BS模型运用得非常广泛，对金融市场具有很大的

2、影响。其三个作者中的两个更是曾经因此获得诺贝尔奖。因此，无论是从商业上还是从学术上来说，这个模型都非常胜利。但是实际模型和现实生活终究会有所差别，对于大多数实际模型来说，模型假设的非现实性往往成为模型主要缺陷之所在，BS公式也不例外。本章的主要内容，就是从多方面逐一放松BS模型的假设，使之更符合实践情况，从而实现对BS定价公式的修正和扩展。BS模型最根本的假设包括：没有买卖本钱或税收。股票价钱服从动摇率和无风险利率为常数的对数正态分布。一切证券都是高度可分的且可以自在买卖，可以延续进展证券买卖。不存在无风险套利时机。在现实生活中，这些假设显然都是无法成立的。本章的后面几节，将分别讨论这些假设放

3、松之后的期权定价模型。1. 买卖本钱的假设：BS模型假定买卖本钱为零，可以延续进展动态的套期保值，从而保证无风险组合的存在和期权定价的正确性。但现实上买卖本钱总是客观存在的，这使得我们无法以我们所希望的频率进展套期保值；同时，实际上可行的价钱，思索了买卖本钱之后就无法实现预期的收益。我们将在第二节中引见一些对这一假设进展修正的模型。2. 动摇率为常数的假设：BS模型假定标的资产的动摇率是一个知的常数或者是一个确定的知函数。这一点在标的资产价钱的实证检验中被否认，期权市场本身反映的隐含动摇率也提出了相反的证据。实践上动摇率本身就是一个随机变量。为理处理这个问题，人们从两个角度来对BS模型进展修正

4、：从期权价钱的隐含动摇率中获取动摇率的信息，来为期权定价；从标的资产市场出发获取动摇率变化过程的信息，对BS公式进展修正和扩展。我们将在第三节和第四节讨论这个问题。3. 不确定的参数：BS模型假设动摇率、利率、股利等参数都是知的常数或是知确实定函数。但现实上它们都不是一个常数，甚至也不是一个时间和标的资产价钱确实定函数，动摇率甚至完全无法在市场察看到，也无法预测。这时可以采取的方法之一是为这些参数的价值确定一个变动区间，从而在最糟糕的情景下为期权定价。我们将在第五节引见这一方法。4. 资产价钱的延续变动：BS模型假定标的资产的价钱是延续变动的，服从对数正态分布。然而在我们的市场中，不延续是常见

5、的：资产价钱经常腾跃，并且经常是向下腾跃。这在对数正态分布的资产定价模型中并没有表达出来：对于正态分布来说，这些忽然变动的幅度太大，发生太过频繁；同时，由于腾跃来得太忽然，这使我们无法单纯依托对数正态分散模型对它们进展动态保值。因此我们需求在模型中思索腾跃的情形，同时我们也需求调查在极端变动的情况下，能够导致的最差结果。我们将在第六节和第七节中对腾跃分散模型和崩盘模型进展分析，讨论这些问题。 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 7 h * MERGEFORMAT MACROBUTT

6、ON MTEditEquationSection2 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 1 h * MERGEFORMAT 第二节 买卖本钱BS期权定价公式的一个重要假设就是没有买卖本钱，在此根底上，BS公式的分析过程要求对股票和期权组合进展延续的调整再平衡，以实现无风险定价战略。在实践生活中，这个假设显然是难以成立的。即使买卖本钱很低，延续的买卖也将导致很高的买卖费用；即使只进展离散的保值调整，但只需进展买卖，投资者就必需承当或多或少的买卖本钱。普通来说，买卖本钱在以下两种情形下是尤其重

7、要的：在一个买卖费用很高的市场中进展保值操作，比如股票市场和新兴证券市场。组合头寸经常需求进展调整。其中包括处于平价形状附近的期权和即将到期的期权，这样的期权的套期比率对标的资产价钱的变动最为敏感，从而导致调整频率较高。所以，买卖本钱在期权价钱确实定当中是不可忽略的部分。因此，人们对存在买卖费用的情形进展了调查，并得到了基于BS公式的一些修正模型。值得留意的是，在美国，主要的证券市场都实行专家Specialists或做市商(Market-maker)制度，因此，这里的买卖本钱主要是指在标的资产买卖过程中发生的买卖价差Bid-offer Spread。买卖本钱的影响分析买卖本钱的存在，会影响我们

8、进展套期保值的次数和期权价钱：买卖本钱一方面会使得调整次数遭到限制，使基于延续组合调整的BS模型定价成为一种近似；另一方面，买卖本钱也直接影响到期权价钱本身，使得合理的期权价钱成为一个区间而不是单个数值，同时许多实际上值得进展的战略，一旦思索买卖本钱之后，就变得不可行。进一步来看，买卖本钱的影响具有以下两个性质：1.规模效应和买卖本钱差别化。不同的投资者需求承当的买卖本钱是不一样的，买卖规模越大，本钱的重要性程度越低。这就意味着与根本的BS定价公式相悖，现实世界中并不存在独一的期权价值，而是有赖于投资者的详细情况，一样的合约对于不同的投资者具有不同的价值。2.即使是同一个投资者，在调整过程中，

9、持有同一个合约的多头头寸和空头头寸，价值也不同。为什么呢？这是由于买卖本钱对于保值者来说总是一种沉没本钱，无论是多头还是空头，对保值本钱的估计都必需从期权价值中扣除。这样一个投资者会以为多头的价值低于BS公式实际价值，而空头价值那么应高于实际价值。因此，买卖本钱的存在，实践上意味着动态保值不再产生期权价钱的独一平衡，而是会针对每一个投资者的不同头寸都出现一个可行价钱区间。在这个范围内动摇的期权价钱都无法进展套利，由于套利获得的无风险收益将被买卖费用所抵消。当价钱跌到这个区间的下限之外的时候，才存在利用期权多头进展套利的时机，当价钱涨到这个区间的上限之上的时候，才存在利用期权空头进展套利的时机。

10、我们将在后面对买卖本钱模型的描画中进一步论述这些性质。Hoggard-Whalley-Wilmott买卖本钱模型买卖本钱模型最早是由Leland参见H. E. Leland, “Option pricing and replication with transaction costs, Journal of Finance, 40 (1985), 1283-1301.在1985年提出的，他的主要结论是：可以用一个思索了买卖本钱后的动摇率代入BS公式得到期权价钱，这个模型采用的战略和根本结论为后来的买卖本钱研讨奠定了重要的根底，但是具有一定的局限性。基于此，Hoggard，Whalley和参见H

11、. E. Leland, “Option pricing and replication with transaction costs, Journal of Finance, 40 (1985), 1283-1301. 更详细的推导和分析参见T. Hoggard, A. E. Whalley and P. Wilmott, “Hedging option portfolios in the presence of transaction costs, Advances in Futures and Options Research, 7 (1994), 21-35.根本思绪H-W-W模型依然

12、采用推导BS微分方程时的无套利平衡的分析思绪，采用无收益资产的欧式期权组合为代表来进展分析，但是如今的整个组合价值修正为原来的价值减去买卖本钱，而这个买卖本钱的计算那么根据事先确定的保值调整战略和买卖本钱构造进展，由此得到一个新的非线性偏微分方程，即思索了买卖本钱之后的期权定价微分方程。根本假定H-W-W模型的主要假定根本与推导BS微分方程的假设一样，主要变量符号不变，只是做了如下修正，：投资者投资于欧式期权的组合而不仅仅是单个期权；整个投资组合的调整存在买卖本钱，买卖本钱构造假设如下：买卖资产时的买卖本钱正比于所买卖的资产价钱，这样假设买卖股买入时0，卖出时0价钱为的股票，买卖本钱为，其中是

13、取决于投资者个人详细本钱情况的常数；投资者的组合调整战略事先确定：按照规定的时间长度进展调整，即每隔时间进展一次再平衡，这里的不再是无穷小的，不再求趋于0的极限，而是一个固定的很短的时间段；股票价钱的随机过程以离散的方式给出：，其中是一个服从规范正态分布的随机变量；保值组合的预期收益率等于无风险银行存款利率。推导过程1.构造与BS分析类似的无风险组合无风险组合包括一单位价值为的衍生证券组合多头和 为了与业界习惯和本书其它章节一致，我们同时用表示无风险组合中标的资产的数量以及变量的变化，如，请读者留意区分。单位的标的资产空头价值为-。这里，为了消除组合中的不确定性，依然要求。令代表整个投资组合的

14、价值，那么。 为了与业界习惯和本书其它章节一致，我们同时用表示无风险组合中标的资产的数量以及变量的变化，如，请读者留意区分。 2.计算一个时间长度之后的预期组合价值变化 由于需求思索买卖本钱，整个组合价值的变化会相应减少： 7.1 其中由Ito引理求得。我们可以看到， MACROBUTTON MTEditEquationSection2 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 7 h * MERGEFORMAT 实践上这就是第六章中的离散方式再减去一个买卖本钱项。由无风险套利假设，有 7.23.求买卖本钱的预期值要求买卖本钱项，关键在于获得值，即为了保值

15、需求买卖的资产数量。显然：即为经过时间后持有的标的资产数量与期初持有数量之差。运用Ito引理，的主要部分是 7.34.得到期权定价方程将7.1和7.3代入7.2中计算得到我们简称为H-W-W方程：7.4其中是的期望值 推导过程如下：。 推导过程如下：对H-W-W方程的了解我们将H-W-W方程与BS微分方程进展比较，可以发现，在思索买卖本钱问题之后，我们得到了一个类似的偏微分方程，独一的区别在于项。这一项具有非常重要的意义。1. 项在实践中具有深化的金融含义首先，让我们来调查项。我们知道，经过选定适宜的，我们消去了资产价钱变动导致的不确定性，但是由于期权组合价钱对资产价钱的函数是一条曲线而非直线

16、，这个仅仅对很短的时间间隔成立，随着资产价钱的变化，假设继续维持原先的保值比率，就不再是无风险组合，这时假设不进展调整，就会出现“保值误差。而公式中的，又称为，其含义是期权价钱对标的资产价钱的二阶偏导，就是对保值误差程度的衡量。由于存在保值误差，就需求调整资产头寸，因此很自然地它必然和预期的调整买卖本钱相联络。其次，实践上可以分解为绝对值和资产价钱的乘积，该项中的其他部分都是知的，可以看作一个与详细买卖本钱相关的常数。因此，这整项确实表达了组合调整本钱的影响，是BS公式中没有的。值得留意的是，其中的是依赖于投资者个人特殊情形的常数，因此相应的期权价钱显然将会随着投资者情况的不同而不同。2. 的

17、存在使得H-W-W方程大部分时候是一个非线性方程H-W-W方程的一个重要特点在于它同时适用于单个期权和期权组合，这是它优于Leland模型的主要缘由之一。在不思索买卖本钱的时候，期权组合的价值是单个期权价值的线性加总；但是当存在买卖费用时，这个线性关系就不再成立。这是由于组合中能够存在内部相互保值的景象而无需进展保值操作，这样，计算期权组合时需求思索的买卖本钱会相应减少，从而使得思索了买卖费用之后的单个期权价值之和并不等于整个组合的价值。因此，H-W-W方程是一个非线性的偏微分方程。在这里也可以表达买卖本钱的规模效应性质：组合规模越大，相互保值的能够性越大，从而大大减少买卖费用。H-W-W方程

18、的非线性来源于的绝对值符号。由于是期权价钱曲线的二次偏导，这意味着对于期权的多方来说无论是看涨还是看跌期权，一直存在；相反，期权的空方。因此只需在整个组合中一切S的都是同一符号即同为多头或同为空头的情况下，这个方程才是线性的，否那么就会出现内部自我保值的景象而导致非线性。3. 期权多头和空头价值的不一致性从以上分析可见，对于期权合约的多头和空头而言，假设思索买卖费用，期权的价值会因符号不同而不同。这和我们用直观分析得到的结论一致：调查买卖本钱的情况下，即使是同一个投资者，在套期保值过程中，持有同一个合约的多头头寸和空头头寸，价值也不同。关于这一点，我们会在后面进一步讲解。4. 思索单个普通期权

19、的情形由于单个普通期权的符号确定，所以我们可以去掉绝对值符号，得到更准确的结论。对式7.4进展整理，我们发现，对于单个期权多头，由于，H-W-W方程实践上是一个以7.5为动摇率的BS公式；相反，由于单个期权的空头，H-W-W方程那么化为一个以7.6为动摇率的BS公式。也就是说，思索了买卖本钱之后的单个期权的定价，在BS公式中运用一个修正后的动摇率即可求得。这实践上是Leland模型的根本结论。但是Leland模型只适用于单个简单期权或是一切的符号都一样的情形，因此H-W-W模型可以说是它的推行。式7.5和7.6显示，当处于多头情形时，思索买卖费用后的动摇率要明显小于实践动摇程度。这是由于当资产

20、价钱上涨时，需求卖出部分资产实现保值，卖出资产的买卖本钱降低了因价钱上升而带来的收益，可以了解为动摇程度在一定程度上被降低了。空头时情况正好相反。因此，我们进一步看到，对于同一个投资者而言，同一份期权合约上的多头头寸价值要低于空头头寸的价值。这种在BS公式中运用修正后动摇率的方法也可以推行到期权组合，条件是期权组合中的值必需无论何时何地都总是坚持同一个符号。五买卖本钱和保值频率选择对于单个期权而言，我们可以经过，即用原来动摇率和修正后动摇率得到的期权价值之差算出买卖本钱。对于很小的展开上式得：代入欧式期权的表达式可得预期的买卖费用为其中定义同BS公式。进一步定义7.7当远大于1时，阐明买卖本钱

21、过高，太小，调整过于频繁；假设很小，阐明本钱对期权价值影响很小，选择的时间间隔太长，因此要降低，添加组合保值调整次数，以降低风险。买卖本钱的其他模型H-W-W模型是比较完善的买卖本钱模型，但是其中也存在一些问题，经济学家和实践任务者对此做了进一步的修正。主要问题包括：期权组合中的值不是同一个符号的情形。由于H-W-W模型是非线性的，普通情况下，都运用数值方法为其定价。关于数值方法的运用，我们将在第八章作深化的论述。买卖本钱不是前述的简单构造，而是资产价钱和调整数量的函数的情况。更详细的说，一个最常见的假设就是7.8即买卖本钱包括一个固定本钱，一个与买卖规模成比例的本钱和一个与买卖总价值成比例的

22、本钱。这时相应的微分方程扩展为7.9留意式7.9是非线性的。H-W-W模型的整个组合调整战略是固定的，即按照规定的时间长度进展调整，而不思索这样调整能否最优。而在现实生活中，投资者采取的战略普通都是对价钱变动进展继续的监测，并给定一个风险限制，当头寸变动超越风险限制时才进展保值调整。Whalley & Wilmott1993 A. E. Whalley and P. Wilmott, “Option Pricing with Transaction Costs, MFG Working Paper,Oxford, 1993.和Henrotte(1993) P. Henrott, “Transa

23、ction Costs and Duplication Strategies, Working Paper, Standford University A. E. Whalley and P. Wilmott, “Option Pricing with Transaction Costs, MFG Working Paper,Oxford, 1993. P. Henrott, “Transaction Costs and Duplication Strategies, Working Paper, Standford University7.10当和的变动超越式7.10给定的宽度时，就需求进展

24、组合的调整和再平衡。Whalley & Wilmott发现，一个思索了和形如7.8的买卖本钱构造的微分方程为这同样是一个依赖于值的微分方程，是对BS微分方程的非线性修正。 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 3 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 7 h * MERGEFORMAT 动摇率浅笑和动摇率期限构造BS公式的另一个重要假设是：标的资产的动摇率是常数。在现实世界中，这个假设显然是无法成立的。虽然我们无法直接在市场中观测到资产动摇率的大小，然而任何处于市

25、场中的投资者都可以明显觉得到这一点，对资产价钱时间序列数据的统计检验更进一步证明了资产价钱动摇率并非常数。换一个角度来看，假设动摇率是常数，那么对于标的资产一样的一类期权，无论其执行价钱或到期时间有多大的差别，从它们的期权价钱中推导出来的隐含动摇率都应该是大致一样的，否那么就意味着期权市场存在着套利时机。更详细地说，隐含动摇率高的期权价值相对被高估，可以做空；隐含动摇率低的期权相对被低估，可以做多，从而获得无风险收益。从实际上说，这种套利行为的大量存在会使得不同期权种类所对应的隐含动摇率差别消逝。但是，人们却发现这种差别一直存在，显然，不同的执行价钱和不同的到期时间对应不同的隐含动摇率，这一景

26、象似乎是客观存在的，而非市场偶尔性错误定价的结果。也就是说，动摇率并非常数，因此BS公式得到的期权价钱并不完全符合现实。更详细地说，人们经过研讨发现，运用期权的市场价钱和BS公式推算出来的隐含动摇率具有以下两个方向的变动规律：隐含动摇率会随着期权执行价钱不同而不同，这个规律被称为“动摇率浅笑Volatility Smiles；隐含动摇率会随期权到期时间不同而变化，这叫做动摇率期限构造Volatility Term Structure。经过把动摇率浅笑和动摇率期限构造放在一同，实践从业人员构造出一个动摇率矩阵Volatility Matrices，它是我们调查和运用动摇率变动规律的根本工具之一。

27、一、动摇率浅笑对具有一样标的资产和到期日，但执行价钱不同的期权价钱隐含动摇率进展比较，我们就可以绘出一个隐含动摇率对执行价钱的变化曲线。普通来说，这条曲线经常呈现形如图7.1的外形，象是一个浅笑的表情，动摇率浅笑因此而得名。显然，动摇率浅笑很直观地通知我们，执行价钱不同，也就是说，当期权分别处于平价、实值和虚值形状时，即使其他条件全都一样，标的资产的隐含动摇率也并不一样。为了解释这一广泛存在的景象，人们提出了一些实际，由于动摇率浅笑的详细外形会随着标的资产的不同而不同，而这些外形往往可以在标的资产价钱的概率分布中得到解释，因此最具压服力的是“分布实际。该实际以为， BS定价模型假设标的资产价钱

28、服从对数正态分布，但市场并不这样以为，市场分布和BS 分布之间的差别导致了动摇率浅笑的出现。普通说来，动摇率浅笑有以下两种常见方式：1.货币期权的动摇率浅笑对于货币期权而言，隐含动摇率经常呈现如7.1所示的近似U形。也就是说，平价期权的动摇率最低，而实值和虚值期权的动摇率会随着实值或虚值程度的增大而增大，两边比较对称。这一动摇率浅笑对应着如图7.2中实线所描画的概率分布，为了与虚线表示的BS对数正态分布相区别，我们把它叫做隐含分布。留意，这两个分布具有同样的均值和规范差，但是隐含分布比BS分布尖峰胖尾。我们可以从如下分析中看到这两个图是相互一致的。先思索一个深度虚值的货币看涨期权，执行价钱很高

29、，为，当且仅当汇率上升到高于时，这个期权才会被执行，图7.2显示隐含分布中价钱大于的概率显然大于BS分布的概率。因此，隐含概率分布意味着更高的期权价钱，从而得到更高的隐含动摇率。这显然符合图7.1中较高的执行价钱对应较高的动摇率的景象。然后再思索一个深度虚值的货币看跌期权，价钱是较低的，只需当标的资产价钱下降到低于时，这个期权才会被执行。图7.2同样显示，低于的概率大于正态分布的情形。因此，我们可以预期隐含分布会得到一个更高的价钱从而得到更高的隐含动摇率。由于PCP公式的得到与资产价钱概率分布无关，假设和分别代表期权的市场价值而和分别代表从BS公式得到的实际期权价值，那么，我们可以同时得到：

30、两式相减得到由于PCP公式的得到与资产价钱概率分布无关，假设和分别代表期权的市场价值而和分别代表从BS公式得到的实际期权价值，那么，我们可以同时得到： 两式相减得到可见，具有一样的标的资产和到期日的欧式看涨期权和欧式看跌期权，它们的实际价钱和市场价钱之间的差别是等同的，这意味着它们所适用的隐含动摇率将是一样的。所以以上两种情形同样适用于以为执行价钱的深度实值货币看跌期权和以为执行价钱的深度实值货币看涨期权。 图7.1 货币期权的动摇率浅笑 图7.2 货币期权的对数正态分布和隐含分布研讨发现，货币期权的动摇率浅笑符合我们对汇率数据的实证结果。实证数据同样阐明，汇率的极端变化要比对数正态分布所描画

31、的更经常出现。这是由于一种资产的价钱为对数正态分布需求两个条件：第一，资产动摇率为常数；第二，资产价钱变动延续平滑，没有腾跃。但是在现实中，汇率价钱的变化并不满足这两个条件。汇率的动摇率不是常数，而且汇率经常出现腾跃。这两个缘由导致了极端情况变得更有能够出现。实践上许多金融资产价钱都具有以上两个特征，从而使得它们对应的隐含动摇率也经常呈现“动摇率浅笑，只是它们往往同时也遭到其他要素的影响，使动摇率的外形发生了相应的变化，如我们将在下面引见的动摇率偏斜。需求留意的是，价钱的腾跃和动摇率的随机性对动摇率浅笑的影响还会因时间而改动。离到期时间越远，腾跃和随机动摇率对动摇率浅笑的影响都会降低，由于时间

32、越长，腾跃和随机动摇所呵斥的效果越能够被“平均化，从而在价钱的分布中几乎看不到，因此到期日越远，动摇率浅笑越不明显，隐含动摇率越接近常数。2.股票期权 股票指数期权也具有类似特征。 股票指数期权也具有类似特征。股票期权的动摇率浅笑那么呈现另一种不同的外形，如图7.3所示。有时被叫做“动摇率偏斜Volatility Skew，看起来象一个偏斜了的浅笑。当执行价钱上升的时候，动摇率下降，而一个较低的执行价钱所隐含的动摇率那么大大高于执行价钱较高的期权。也就是说，这时，动摇率曲线的外形不再象货币期权那么对称，而是向右下方偏斜的。股票期权的动摇率浅笑对应着图7.4给出的隐含分布。与虚线的对数正态分布相

33、比，隐含分布左尾更大，这意味着一个执行价钱为的深度虚值看跌期权或深度实值看涨期权价钱会偏高，从而有较高的动摇率；同时隐含分布的右尾更小，这意味着一个执行价钱为的深度虚值看涨期权或深度实值看跌期权价钱会偏低，从而动摇率较低。这显然符合7.3的动摇率浅笑曲线。图7.3 股票期权的动摇率浅笑偏斜 图7.4 股票期权的对数正态分布和隐含分布股票期权之所以会有偏斜的动摇率浅笑，一个能够的解释与股市的“崩盘有关。偶尔发生的崩盘事件深化影响了投资者的心思，投资者很担忧一个类似于1987年10月的暴跌再次发生，因此市场对价钱变化的概率估计是不对称的，即价钱显著下跌的能够性远远大于显著上升的能够性，这导致了隐含

34、动摇率的偏斜。二、动摇率期限构造除了动摇率浅笑，期权买卖者还经常运用动摇率期限构造。这是指其他条件不变时，平价期权所对应的隐含动摇率随到期日不同所表现出来的变化规律。普通来说，不同的标的资产所表现出来的期限构造详细外形会有所不同，但它们大都具有以下两个特点：1.从长期来看，动摇率大多表现出均值回归Mean-reverting。即到期日接近时，隐含动摇率的变化较猛烈，随着到期时间的延伸，隐含动摇率将逐渐向历史动摇率的平均值接近，呈现均值回归景象。2动摇率浅笑的外形也遭到期权到期时间的影响。大多时候，期权到期日越近，动摇率“浅笑就越显著，到期日越长，不同价钱的隐含动摇率差别越小，接近于常数。因此，

35、为了消除时间要素对动摇率浅笑的影响，一些买卖者把动摇率浅笑定义为因此，为了消除时间要素对动摇率浅笑的影响，一些买卖者把动摇率浅笑定义为。其中为剩余到期时间，为资产相应的远期价钱。由于，运用这个公式意味着用来表示执行价钱与资产价钱之间的关系，即期权的平价、实值或虚值形状，再除以一个，从而使得资产的隐含动摇率对时间的依赖程度大大降低，更好地反映执行价钱对动摇率的影响。三、动摇率矩阵把动摇率浅笑和动摇率期限构造结合在一张表里，可以得到任何执行价钱和任何到期时间的期权所对应的隐含动摇率，就构成了动摇率矩阵。如表7.1所示动摇率矩阵的一个方向是执行价钱，另一个方向是间隔 到期的时间，矩阵中的内容是从BS

36、公式中计算得到的隐含动摇率。在恣意给定的时辰，该矩阵中的某些期权在市场中有买卖，从而这些期权的动摇率可以直接从它们的市场价钱中计算出来，其他的点那么可以用线性插值法确定。当必需为某个新的期权定价时，买卖人员就从矩阵中寻觅适当的动摇率。例如，当为一个执行价钱为1.05的9个月期权定价时，买卖人员将在13.4和14.0之间进展线性插值，得到适宜的动摇率为13.7，这个动摇率将在BS公式或二叉树定价方法我们将在第九章讨论这一方法中运用。剩余有效期执行价钱0.900.951.001.051.10一个月14.213.012.013.114.5三个月14.013.012.013.114.2六个月14.11

37、3.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8两年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0表7.1 动摇率矩阵四、动摇率浅笑和动摇率期限构造的意义和运用动摇率浅笑和动摇率期限构造的存在，证明了BS公式关于动摇率为常数的根本假设是不成立的，至少期权市场不是这样预期的。因此放松动摇率为常数的假设，成为期权实际开展的一个重要方向。目前主要有两种不同的战略：1.从期权市场出发的改良战略，即依然以BS模型为根底，但同时假定期权市场曾经认识到真实的动摇率函数，思索不同期权市场和期权种类所对应的动摇率矩阵，运用隐含动摇率信息对BS公式作

38、相应的调整运用。我们前面所引见的从动摇率矩阵中获取适宜的动摇率就是属于这一战略。运用这一战略时要非常小心，由于期权市场的隐含动摇率具有一定的局限性：1这一隐含动摇率能够是市场供求的影响结果而不完全是市场对动摇率的预期，而我们难以对供求关系推进的和市场预期推进的动摇率加以区分；2我们无法保证市场中的一切参与者都采用同一个定价模型。假设市场运用的模型差别很大，动摇率矩阵也将不同，阐明市场对动摇率的认识是不同的。这时我们运用BS公式倒推出来的隐含动摇率就能够具有误导性。3动摇率矩阵实践上反映的是期权市场对于未来动摇率的瞬时预期，和我们目前察看到的实践动摇率能够很不一样，而且这一预期不一定会实现，甚至

39、几天之内就会发生变化。因此，在改良战略中我们运用BS模型具有一定的限制条件。市场买卖者主要利用它来协助 我们了解与BS模型相对应的隐含动摇率的瞬时情形，并且为流动性差的期权比如我们后面将引见的奇特期权定出与买卖活泼的常规期权一致的市场价钱。这时我们必需在买卖奇特期权的同时用这些买卖活泼的期权进展相应的套期保值，才干降低模型错误的风险。2. 创新战略。对于那些对动摇率变动很敏感的期权，仅仅运用改良战略能够具有较大的风险，这时一些买卖者倾向于采用新的模型来为期权定价。这些创新战略的主要思绪是：改动BS模型动摇率为常数的根本假设，普通是从标的资产市场数据出发，建立动摇率的模型，使之反映真实情形，在此

40、根底上计算期权的价值。这就是我们在下一节将论述的内容。后面我们将会看到，这些模型的结果往往都会和动摇率浅笑和期限构造相呼应，这进一步向我们证明了研讨隐含动摇率矩阵的重要性。第四节 随机动摇率一、随机动摇率模型在现实世界中，动摇率显然并非常数，而且无法直接在市场上观测到，人们甚至发现动摇率是无法预测的。在很多情况下，象股价这样的要素并不能完全解释动摇率的变化。因此，有必要思索更普通的方法，即将作为随机变量，建立随机动摇率模型。到目前为止，为随机动摇率建模的文献曾经相当多，其普通模型为：其中和的相关系数为。这时对函数和的选择很重要，它不仅关系到动摇率确实定，也对期权定价有重要影响。在为期权定价过程

41、中，随机动摇率也同样可以采用BS方程所运用的无套利定价过程，只是这时候，在期权组合中，由于期权的价钱函数由变为，这时不仅需求份的标的资产以消除带来的不确定性，还需求参与份的另一种期权以消除带来的不确定性，即，在此根底上再进展相应的分析，为期权定价。当然这时的模型往往非常复杂，经常无法得到解析解。因此，虽然这些复杂的模型更接近现实，但BS公式依然运用广泛，尤其在它的一些假设影响不是很大的时候。下面我们引见其中一些较为有名的动摇率模型。Hull和White思索了普通的和特殊的随机动摇率模型，其中一个股票风险中性的随机动摇率模型为其中、和是常数，和都是维纳过程，那么是股票的方差率，即动摇率的平方。显

42、然方差率本身是一个随机过程，并以的速度回归到程度。Hull和White把这个模型得到的期权价钱同运用BS公式得到的价钱进展了比较，其中BS公式中运用的方差率是期权存续期间预期的平均方差率。他们发现：随机动摇率确实会引起定价的偏向，而动摇率和资产价钱之间的相关性在其中相当重要。1. 当动摇率是随机的，且与股票价钱不相关时，也就是和不相关时，情形比较简单，欧式期权的价钱是BS价钱在期权有效期内平均方差率分布上的积分值，即欧式看涨期权的价钱为 详细内容参见J. C. 详细内容参见J. C. Hull and A. White, “The Pricing of Options on Assets wi

43、th Stochastic Volatilities, Journal of Finance, 42 (June 1987), 281-300.这里的是方差率在期权有效期内的平均值；是运用和BS公式计算出的期权价钱，为的函数；那么是在风险中性世界中的概率密度函数。Hull和White发现BS公式倾向于高估平价或接近平价的期权价钱，低估深度实值和深度虚值期权，这和上一节中动摇率浅笑方式一致见图7.1。2. 在股票价钱和动摇率相关的情况下，这个随机动摇率模型没有解析解，只能运用数值方法得到期权价钱。当动摇率和股票价钱负相关时，得到的结果类似于股票期权的动摇率偏斜方式见图7.3；当它们之间是正相关时

44、，结果正好相反，BS模型倾向于低估虚值看涨期权而高估虚值看跌期权。3. 动摇率随机性质的影响，也会因到期时间的不同而不同。我们在上一节曾经提到，有效期越长，随机动摇率对动摇率浅笑的影响越不显著，由于随机变化会在长期中平均化。但是随机动摇率对定价偏向绝对值的影响那么正好相反，时间越短，随机动摇率引起的定价偏向绝对值越小但是对于深度虚值期权而言，这个偏向用百分比衡量时能够是很大的。二、GARCH模型另一个广泛运用的动摇率模型是广义自回归条件异方差模型Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, GARCH。1. GARCH(1

45、,1)模型简介GARCH模型又可以分为多种，其中最常见的是GARCH(1,1)模型：7.11其中、和都为常数，且，为恒定的长期平均股票方差率。，即n时辰收益率对收益率均值的离差，可以看作是关于方差率的最新信息。从式7.11可以看出，该模型意味着在n时辰的方差率是三个要素的加权平均：恒定的长期平均方差率、前一时期的方差率和关于方差率的最新信息。由于只建立在最新一期和估计值的根底上，因此被称为GARCH(1,1)。更普通的GARCH(p,q)模型那么从最近p期的和最近q期的信息中估计方差率。采用的方式，用最大似然估计法估计三个参数、和，可以进一步得到和的值，并可计算出特定时辰动摇率的大小。例7.1

46、 假设我们从每日买卖数据中估计出GARCH1,1模型为：这阐明，。根据，我们可以算出；进一步由于，。也就是说模型中得到的长期平均日方差率为0.0002，那么每日动摇率就为1.4%。假设曾经估计出第n-1天的为0.016，为0.01，那么因此，第n天动摇率的估计值就为每天即1.53。2.不同时期的权重分布对式7.11的右边反复的迭代过程，可以得到 7.11这阐明在恣意给定的时辰，方差率又可以看作是一个常数加上一切过去的的加权和。时辰的分配的权重为，即随着时间往前推移，分配的权重是以速率指数下降的，越早的数据权重越小。这里的被称为衰减率Decay Rate。比如，假设，那么的重要性就只需的90，而

47、的重要性更进一步下降到的81。时间间隔 当前越近的数据，权重越大，这是符合实践的。3.运用GARCH(1,1)模型预测未来的动摇率经过适当的变换，我们可以将式7.12写作由于，可得未来动摇率的预期值为由于我们设定，随着的添加，以上式子中的最后一项会越来越小，这意味着方差率会呈现出向的均值回归，这和我们前面所讨论的随机动摇率模型具有类似的特点，也正是我们在动摇率期限构造中曾经讨论过的性质。假设，阐明长期平均方差率不起作用，未来预期动摇率等于目前的动摇率程度；假设，的权重为负，动摇率是均值偏离的而非均值回归的，无法进展最大似然估计，这时需求转向其他的模型来解释和估计动摇率。第五节 不确定的参数思索

48、了红利收益率的BS方程可以写作。在这个抛物形偏微分方程中，包括了两个变量和，三个参数，和。BS方程假定这些都是知的，但现实世界并没有那么完美。即使是看起来很简单的和，也需求思索诸如买卖价差、非买卖日等的影响，更不用说每个期权合约各自还有其特有的参数如执行价钱X，边境程度等条件。在这些变量和参数里面，和的不确定性是最强的，因此，现实生活当中存在着这样的问题：当参数价值是不确定的时候，如何为期权定价？我们可以运用的一个方法是为这些参数再确定一个模型，将其与标的资产价钱结合起来运用，比如我们之前引见的关于随机动摇率的模型。但这种方法也有其缺陷：一旦我们引入新的模型，我们还需求再思索新模型的正确性，以

49、及更多参数的不确定性。由于实践上只需期权到期的时候，我们才干真正知道这些参数的正确值和遵照的途径，再复杂精细的预测模型也有错误的风险。因此，Avellaneda, Levy, Paras和Lyons等人 参见M. Avellaneda, A. Levy and A. Paras, “Pricing and Hedging Derivative Securities in Markets with Uncertain Volatilities, Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 73-88; M. Avellaneda and A. Paras, “

50、Managing the Volatility Risk of Derivative Securities: the Lagrangian Volatility Model, Applied Mathematical Finance, 3 (1995), 21-53; T. J. Lyons, “Uncertain Volatility and the Risk-free Synthesis of Derivatives, Applied Mathematical Finance 参见M. Avellaneda, A. Levy and A. Paras, “Pricing and Hedgi

51、ng Derivative Securities in Markets with Uncertain Volatilities, Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 73-88; M. Avellaneda and A. Paras, “Managing the Volatility Risk of Derivative Securities: the Lagrangian Volatility Model, Applied Mathematical Finance, 3 (1995), 21-53; T. J. Lyons, “Uncertain

52、Volatility and the Risk-free Synthesis of Derivatives, Applied Mathematical Finance, 2 (1995), 117-133.不确定的动摇率我们先假设动摇率位于的范围内。然后我们依然沿用BS模型的无套利组合方法，构造一个价值为的期权多头，并用份标的资产对其进展保值。这样组合的价值为。我们依然假设，即使未知，我们依然可以得到组合的价值变化为。从这里开场，这个方法和传统的BS模型有了微妙的区别。由于我们只知道的范围，所以无法得到期权价值的特定值。但是我们可以计算出最糟糕的情况下的期权价值。其方法是在给定的动摇率范围内取

53、组合价值的最小值，并使之等于无风险收益。这样我们就可以计算出我们手中持有的期权至少值多少。这显然是符合投资者的心思和实践情况的。用数学公式表示为： 。那么，在求最小值的时候要运用哪一个动摇率呢？察看上式中的动摇率项，它和期权的相乘。因此，的取值要取决于的符号。当是正的时候，我们选择下限，当为负的时候，我们选择上限。这是由于期权多头的都大于零，投资者当然会选择最小的动摇率得到最低的价值；而期权空头的都小于零，投资者会选择最大的动摇率，使其卖空的价值最大，意味着损失最大。总之，期权价值下限满足 7.13其中， 且 。我们也可以计算出期权价值上限， 其中，。但这次。因此我们可以计算出期权的能够价值区

54、间，但是我们通常不会去运用价值上限，计算上限的价值在于：对于同一份合约来说，它的多头和空头价值区间在数值上是相等的，只是最好和最差情景要颠倒过来而已。因此我们只需求计算多头最大价值，就可以得到空头的价值下限。值得留意的是，在这个模型中，我们又一次遇到了H-W-W买卖本钱方程中出现的非线性问题。多头和空头的价值不同，并且都是由于的符号不同产生的。相应地也就出现了单个期权和期权组合的区别。由于多头和空头之间可以相互抵消，因此假设期权组合中的的符号不同，期权组合的价值并不等同于单个期权的价值之和。只需对单个期权或是的符号一直一致的期权组合而言，这个方程才是线性的。二、不确定的利率不确定利率的处置思想

55、非常类似。假设无风险利率位于之间，我们的投资组合还是，同样设定组合的收益率等于无风险利率，可以得到。这时我们察看到是和相乘，因此我们发现给出最低和最高期权价值的要取决于组合的符号。更详细的说，最差的情况下，假设我们的组合有一个正的价值，那么利率应取最高值r+；假设有一个负的价值，利率应取最低值r-。缘由在于假设，意味着，即我们在期权上有一个正的投资卖空标的资产的收入缺乏以支付期权多头价钱，利率越高越不利。这样，我们选择的利率将依赖于的符号。相应的方程为其中，期权价值上限的方程也可以用上述方法很容易地推导出来。三、不确定的红利收益率我们把红利问题限制在它独立于资产价钱的情况下。我们主要引见延续支

56、付红利的情况下，其推导过程很类似。假设股利率位于，那么对于最糟糕的情况，我们只需解出即可。其中， 显然这是由于红利问题与标的资产市场中需求进展的套期保值数额 显然这是由于红利问题与标的资产市场中需求进展的套期保值数额有关。四、模型的扩展和深化了解1. 可以把上述结果结合起来构成一个动摇率、利率和红利率都不确定的模型。2. 同样的思想也可以被运用到基于多个标的资产的投资工具上，这类投资工具价值依赖于标的资产之间的相关关系。相关关系是一个特别难以计算或预测的东西，此时不确定性扮演了一个重要的角色，可以运用同样的方法。3. 在这些不确定参数的模型中，一个主要的思绪是：思索最悲观的情况，假设最糟糕的结

57、果，并相应地为合商定价。这么做，只需我们的参数区间不被突破，就可以保证永远不会损失。4. 我们需求再次强调，在本节中得到的一切偏微分方程都是非线性的，需求对多头和空头进展区别。解析解只在特殊情况下存在，而这些情况都要求动摇率、利率和股利所分别对应的变量、和是一致符号的。这种情况下，模型就退化成简单的BS公式，其参数对应相应的上下限价值。由于模型的非线性，因此期权组合的价值未必等于单个期权价值之和，并且由此得到一个很重要的结论：一份合约的价值取决于组合中的其他合约。5. 不确定参数模型的一个重要缺陷在于：假设参数或者是相关关系区间过大，往往会导致预测的价钱区间过宽。这时这个模型就没有什么实践意义

58、。但是我们前面所提到的模型非线性可以协助 我们减少这个区间，我们可以在组合中参与相关的期权多头或空头，减少参数不确定性带来的影响，从而减少定价范围。第六节 腾跃分散过程实践生活中充分的证听阐明，许多金融变量，无论是股票价钱、汇率还是利率，都不服从对数正态随机散步过程，而这正是BS公式也是几乎一切金融学文献的重要假设。这一假设隐含以为资产价钱变化的途径是延续的，这种延续性允许我们构造一个包含资产与期权的瞬时无风险组合，从而为期权的定价提供了一个出发点。但在现实生活中，忽然的腾跃Jump发生的次数比拥有一个合理动摇率的对数正态分布所预测的要多得多，短期来看这种变化是不延续的，我们无法经过动态保值的

59、方法躲避这种腾跃带来的风险。因此，将腾跃引入到原先的分散方程 BS方程可以转换为工程学中的热分散方程方式，并进一步求解，因此常被称为“ BS方程可以转换为工程学中的热分散方程方式，并进一步求解，因此常被称为“分散方程。在本节中我们主要讨论由Merton提出的腾跃分散模型The Jump Diffusion Model。所谓的腾跃分散过程是普通的途径延续的分散过程和一个在随机时辰发生腾跃的腾跃幅度也是随机的腾跃过程的结合，显然这种变化过程更能反映现实价钱途径，对应的模型那么可以以为是思索资产价钱有不延续的腾跃时对BS公式的推行。资产价钱所遵照的腾跃分散过程除了运用原先的延续布朗运动来反映延续分散

60、过程之外，我们还需求引入泊松过程来描画资产价钱的腾跃：其中，部分是资产价钱不发生腾跃时所服从的延续分散过程，其变量定义如前，其中的和都是不发生腾跃时的动摇率和收益率。方程的后半部分是对腾跃过程的描画。其中的为泊松过程，定义为。即在一个很小的时间间隔里的一个腾跃的概率为。叫做泊松过程的强度。模型中普通假设在布朗运动和泊松过程之间没有相关关系。在随机时辰，假设发生一个腾跃即时，那么立刻到达。比如假设，那么资产价钱会立刻下跌10。我们还可以进一步假设本身也是一个随机变量，和布朗运动及泊松过程分别独立。另外，各次腾跃对应的幅度也是相互独立的。运用Ito引理，我们可以得到价钱对数遵照的腾跃分散过程为二、