《现代控制理论基础》梁慧冰 孙炳达 1. 线性系统的状态空间描述修改

1、第一章线性系统的状态空间描述1本章主要内容1.1 状态空间分析法1.2 状态结构图1.3 状态空间描述的建立1.4 化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式1.5 由状态空间求传递函数1.6 离散时间系统的状态空间描述1.7 状态矢量的线性变换2系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述 传递函数 系统的内部描述 状态空间描述3 1、外部描述 经典控制理论中，系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。 经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入-输出关系的传递函数，基于传递函数设计SISO系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得

2、出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。 但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。 42、内部描述 由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、MIMO系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法：状态空间分析法。51.1 状态空间分析法状态空间分析法例子状态变量和状态

3、矢量状态空间和状态空间描述6一、状态空间分析法例子1、R-L-C电网络系统 解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程 选7 为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵方程： 8一、状态空间分析法例子2、机械系统的状态空间描述 外力 位移根据牛顿力学原理令-弹性系数阻尼系数9动态方程如下10状态空间描述为： 11二、状态变量和状态矢量状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆系统在 t=t0时输入的时间函数 ，那么，系统在t=t0的任何瞬间的行为 就完全确定了。最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用n阶微分方程描述的含有n个独立变

4、量的系统，当求得n个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于n，必有变量不独立；若少于n，又不足以描述系统状态。12 状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。13状态矢量：把 这几个状态变量看成是矢量 的分量，则 称为状态矢量。记作：或：14状态空间：以状态变量 为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻t ，状态向量 是状态空间的一个点。状态轨迹：以 为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨

5、迹。三、状态空间和状态空间描述15状态空间描述 用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程组即为状态空间描述。状态空间描述是状态方程、输出方程的组合： （1）状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。 （2）在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系称为输出方程。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。 由于n阶系统有n个独立状态变量，于是状态方程是n个的一阶微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具有非唯一性，所选取的状态变量不同，状态空间描述也不同，故系统的状态空间描述也具有非唯一性。 16 在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变

6、量为阶跃函数，即u的导数为零。SISO线性定常连续系统，其状态变量为 ，则一般形式的状态空间描述写作： (1-8) (1-9)式中常系数 ； 与系统特性有关。 SISO线性定常系统的状态空间描述：17方程（1-8）、（1-9）可写成矩阵形式： 输入矩阵，n1列矩阵。式中： n维状态矢量系统矩阵，nn矩阵。 ：输出矩阵，1n行矩阵），d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。 18MIMO线性定常系统（r个输入，m个输出）的状态空间描述状态空间描述为：19写成矩阵形式有：其中：2021常用符号：系统框图：系统框图：注:负反馈时为注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器比例器

7、加法器22线性时变系统状态空间描述：其中：23241.2 状态结构图状态空间描述的结构图绘制步骤：画出所有积分器；积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；用箭头将这些元件连接起来。25例1-1 画出一阶微分方程的状态结构图。状态结构图微分方程：26系统系统271.3 状态空间描述的建立建立状态空间描述的三个途径：1、由系统框图建立2、由系统物理或化学机理进行推导3 、由微分方程或传递函数演化而得28一、由系统框图建立状态空间描述例1-4：系统框图如下：关键：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换等效变换如下：2

8、9图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）：则有：写成矩阵形式：30系统31二、由系统机理建立状态空间描述步骤：1)根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程；2)选择有关的物理量作为状态变量；3)导出状态空间表达式。32状态变量的选取原则系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）33电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输入量，uA为输出量的状态空间表达式。例1-6 图L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1解：1) 选择状态变量 两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态变

9、量，且两者是独立的。342）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：整理得：353）状态空间表达式为：36例1-7试列出在外力f作用下，以质量 的位移 为输出的状态空间描述。解：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：质量块受力图如下：37则有：及：将所选的状态变量代入上式并整理出状态方程得：输出方程：状态方程：38写成矩阵形式：=432100100001xxxxy391.4 化输入-输出描述为状态空间描述 及其几种标准形式 对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，称此状态空间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不同，其状态空间

10、描述也不同，故其实现方法有多种。 为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为最小实现。 本节先研究SISO系统。40线性定常系统的状态空间表达式为n阶SISO控制系统的时域模型为：可实现的条件： mn系统的传递函数为：41当系统传递函数中m=n时，即应用长除法有42式中 是直接联系输入、输出量的前馈系数， 是严格有理真分式，其系数用综合除法得其状态空间描述为(1-44) (1-45) 式中A

11、、b、c由实现方式确定，其形式不变，唯输出方程中需增加一项 43微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）： 一、传递函数中没有零点时的实现系统的传递函数为：441.）选择状态变量 若给定初始条件 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即： 令:1、标准I型452.）化为向量矩阵形式： 状态方程为: 输出方程为:46注：状态变量是输出y及y的各阶导数系统矩阵A特点：主对角线上方的元素为1，最后一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，称为友矩阵或相伴矩阵。3.）画系统结构图： 472、标准II型1.）选择状态变量 若给定初始条件 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即： 令

12、:482.）化为向量矩阵形式： 状态方程为: 输出方程为:49注：标准I型的A、b阵和标准II型的A、c阵互为转置的关系，即：50二、传递函数中有零点时的实现不失一般性，微分方程形式：状态变量选择原则： 使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。51设系统传递函数为：应用长除法有1、标准I型其中：52（1）能控I型引入中间变量z，以u作为输入、z作为输出的不含输入导数项的微分方程，即 (1-17)53定义如下一组状态变量(1-18)可得状态方程：54输出方程为其向量-矩阵形式为式中55（2）能观测I型1.）选择状态变量式中系数 是待定系数.整理(2)式得:由结构图可以看出:56联立(3)式和

13、(4)式，即可求得状态空间表达式为：输出方程:状态方程:A仍然是友矩阵从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了2.）求思路:由式(2)可以看出，将y表示成u的各阶导数和x的形式，并代入 原始微分方程式(1)中 ，根据u及其各阶导数的系数相等的原则求解：57由式(2)可以得到下式：在结构图中增加一个中间变量：令由式(5)和式(6)可求得：(7)58将式(5)和式(7)代入原始微分方程式(1)中，根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：为便于记忆，将上式写成：592、标准II型与标准I型相同，标准II型也分为能控II型和能观II型。能观II型与能控I型互为对偶。能控II型与能

14、观I型互为对偶。603、约当标准型不失一般性，讨论此系统：也有一个q重极点：分析：既有互异极点：实现方法： 整理得61（1）对于互异极点部分：令拉氏反变换可得：系数 为待定系数，其中 ，采用留数定理计算：62（2）对于重极点部分：令则：联立上两式得：拉氏反变换可得：联立(1)、(2)、(4)可得：63由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：64xnxq+1x11x12x1qy(t)u(t)+-1-q+1-n-1-1 c11 c12 c1qcq+1 cn约当标准型状态结构图651.5 由状态空间求传递函数传递函数矩阵的引入：1）SISO系统，用传递函数G(s)描述，W(s)是一个元素；2）M

15、IMO系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵W(s) ，W(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；66状态空间描述：一、求传递函数矩阵根据传递函数定义，对上式进行拉氏变换，并令 ，得式：整理上式得：67注意矩阵求逆定义传递函数矩阵：说明：1）dim(W(s)=mr，其中dim()表示的维数。m是输出维数，r是输入维数。2）W(s)的每个元素的含义：表示第i个输出中，由第j个输入变量所引起的输出和第j个输入变量间的传递关系。3）同一系统，不同的状态空间表达式对应的W(s)是相同的。68例1 求由 所表述系统的W(s)解：根据矩阵求逆公式：由传递函数矩阵公式得：69求得：求得传递

16、函数阵为：701.6 离散时间系统的状态空间描述 完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出量等都是离散信息； 局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分离散化； 为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定采样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值。711、由差分方程或脉冲传递函数建立动态方程 经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里先从单输入-单输出系统入手研究。SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为：式中 表示

17、 时刻， 为采样周期； 为 时刻的输出量， 为时刻 的输入量； 是与系统特性有关的常系数。(1) 72对式(1)进行 变换，整理为 称为脉冲传递函数。显见式(2)与式(1-43)在形式上是相同的，故连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适用的。例如，引入中间变量 ，则有(2) (3) 初始条件为零时，离散函数的 变换关系为73定义如下一组状态变量：于是 (4) (5) (6) 74利用 反变换关系由式(4)式(6)可得动态方程(8) (7) 75其矢量-矩阵形式为76简记为 式中 为友矩阵， ， 是可控标准形。由式(1-43)可见，离散系统状态方程描述了 时刻的状态与 时刻的状态、输入量

18、之间的关系；离散系统输出方程描述了 时刻的输出量与 时刻的状态、输入量之间的关系。 (1-43) 77线性定常离散系统的一般结构图如图1-26所示，图中T为单位延迟器，其输入为 时刻的状态，其输出为延迟一个采样周期的 时刻的状态。 (9) 与连续系统的情况相类似，单输入-单输出线性定常离散系统的动态方程的形式可推广到多输入-多输出系统，有78例 1-10 离散系统的差分方程为试写出该离散系统的一个状态空间描述 。解 由差分方程写出相应的脉冲传递函数 ：于是直接写出它的一个状态空间描述（标准I型）为这里 ， ， ， ， 79含义：如果P是一个非奇异阵，则将 变换称为线性非奇异变换。1.7 状态矢

19、量的线性变换线性非奇异变换：特点：叠加原理齐次性条件用途：通过线性非奇异变换，可以将状态方程变成对角线或约当标准型。80一、系统状态方程的非唯一性含义：同一系统的不同状态变量可以通过线性变换 互相得到。两组状态变量的关系：其中：P不同则得到不同的 。81例1-12：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性考虑系统 为：非奇异变换后 1）若选择非奇异变换阵P为： 结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性2）若选择非奇异变换阵P为： 对角线矩阵82对于系统矩阵A，若存在一非零向量 ，使得：二、系统特征值的不变性和特征矢量则：矩阵A的特征值（A特征方程的根）矩阵A的特征方程矩阵A的特征矩阵

20、矩阵A对应于特征值 的特征矢量矩阵A的特征多项式使 ，则称 为A的对应于 的特征矢量.设 为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量 ， 由定义可知：831）一个n维系统的 方阵A，有且仅有 n 个独立的特征值。特征值及传递函数阵的性质：3）对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。2）A为实数方阵，则其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。 系统2: 特征多项式 ， 传递函数阵 系统1: 特征多项式 ， 传递函数阵 则： 且 其中： 845）若系统矩阵A具有形式：则其特征多项式为：特征方程为：4）设 为系统矩阵A的特征值, 是A属于特征值的特征矢量。当 两两相异时， 线性无关，因此由这些

21、特征矢量组成的矩阵P必是非奇异的。85特征矢量的计算：1）先求出系统矩阵A的所有特征值。2）对于每个特征值，计算其特征矢量。 注意：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为86 时特征矢量： 时特征矢量：例1-13： 求下列矩阵A的特征矢量。解：1)计算特征值 A的特征方程为：A的特征值： , ，2）计算特征矢量 时特征矢量：87三、状态空间描述变换为约当标准型1、A阵为任意形式（1）特征值无重根时状态方程化为对角线标准型的步骤：1）先求出系统矩阵A的所有特征值。2）对于每个特征值，计算其特征矢量。并由此组成非奇异变换阵T。 3）由变换矩阵P和矩阵A，B，C求出 ，其中对角阵 可以由特征值直接写

22、出，只需求出 即可。 88定理1： 对于线性定常系统 ，如果A特征值 互异，则必存在非奇异变换矩阵T，通过变换 ，将原状态方程 化为对角线规范形式 。其中： 证明： 1）找非奇异变换阵由特征值性质 4)知，由A特征矢量构成的矩阵 是非奇异的，故可以选择T为变换阵。892）求上式两端左乘 得：证毕！特征值定义90例 线性定常系统 ，其中： 将此状态方程化为对角线标准型.当 时， 2)确定非奇异矩阵P 解:1)求其特征值:91取:当 时，取:同理当 时， 得:923）求对角线标准型为：93（2）特征值有重根时1）、具有重特征根，但A独立的特征矢量的个数仍然为n个：由线性代数矩阵的对角化可知，此时，

23、仍能变换成对角线标准型。2）、具有重特征根，且A独立的特征矢量的个数小于n个：这种情况下，不能变换成对角线标准型。故引入约当标准型。要进行线性变换，需增加广义特征矢量，构成P变换阵注意：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为943）、约当矩阵定义：约当块：约当矩阵： 由约当块组成的准对角线矩阵。其中： 是约当块块数，等于 独立特征矢量的个数。 即每个约当块有且仅有一个线性独立的特征矢量。说明：由此可以看出，对角阵是一种特殊形式的约当矩阵。95说明：对角线矩阵：各状态变量间是完全解耦的。约当型矩阵：各状态变量间最简单的耦合形式，每个变量之多和下一个变量有关联。条件：约当块阶数 等于特征值重数的条件：对应该重特征值的独立特征矢量的个数为1个。每个独立特征矢量对应一个约当块。例如：当某个重特征值的重数为3，而对应于该特征值的独立特征矢量 数为2时，约当块块数为2。 此时：说明：某个重特征值可能对应多个约当块。96其中：4）、变换矩阵Q的确定：讨论的前提： 每个重特征值只对应一个独立特征矢量的情况，只有一个约当块。 假设系统有 个特征值。则：97关键：要确定T，必须推导出 ，目的是确