厦门高等代数课程电子课件第10章双线性型

1、第十章 双线性型对偶空间1定义:设V是数域K上n维线性空间,线性空间 V*=线性映射f :V K 称为V的对偶空间.命题:设e1, , en是数域K上n 维线性空间V的一组基,定义线性映射fi :V K, ej ij,则f1, , fn是V*的一组基,称为e1, , en的对偶基.推论:dimV* = dimV.对偶空间2设映射: V*V K, = f (x), 则： (1). = 0, 对任意的 xV f = 0. (2). = 0, 对任意的 fV* x = 0.固定f V*,则是V上的线性函数.固定xV,则 是V*上的线性函数.命题:设:V (V*)*, x , 则是线性空间同构, 即V

2、 (V*)*.对偶空间3 定义:设U, V是数域K上有限维线性空间， : UV 是线性映射, 定义*: V*U*, f f ,则 *是线性映射, 称为的对偶映射.对偶空间4定理:设U, V, W是数域K上有限维线性空间, : U V, : V W是线性映射, 则 (1). = , 对 xV, fV*. 若线性映射 : V* U*满足 = , 则 (2). (3). 若U = V, Iv为恒等映射, 则I* = Iv*为恒等映射. (4). 单映射 满映射. (5). 满映射 单映射. (6). 同构 同构. (7). .双线性型1定义:设U,V是数域K上有限维线性空间, 若映射 g: UV K

3、 满足以下条件: (1). 对任意 x, y U, z V, k K, g( x + y, z ) = g( x, z ) + g( y , z ), g( kx, z ) = kg( x, z ). (2). 对任意 x U, y, z V, k K, g( x, y + z ) = g( x, y ) + g( x, z ), g( x, ky ) = kg( x, y ).则称g是U与V上双线性函数,也称双线性型.注1:V*V K 是双线性型.注2:设g是双线性型,固定z V, 则g( , z)是U上线性函数. 固定 x U, 则 g( x, )是V上线性函数.双线性型2设U,V分别是数

4、域K上m维和n维线性空间, e1,em与v1,vn分别是U与V的基,g: UV K是双线性型. 令A=(g(ei,vj)mn若xU, yV, 设则注:取定U,V的基条件下,U与V的双线性型 Kmn.双线性型3设g: UV K 是双线性型, e1, , em与e1, , em是U的基, v1, , vn与v1, , vn是V的基, 且(e1, , em) =(e1, , em) C(v1, , vn) = (v1, , vn) D设g在基e1, , em与v1, , vn 下矩阵为A, 在基e1, , em与v1, , vn下矩阵为B, 则B = CAD. 因此,g在不同基下的表示矩阵是相抵的.

5、矩阵A的秩称为g的秩.定理:设 g: UV K 是双线性型, 则存在U的基e1, , em与V的基v1, , vn,使得g( ei, vj ) = ij 1i, jrg( ei, vj ) = 0 其它其中r = 秩(g).非退化双线性型1定义设g: UV K 是双线性型,令L = uU | g( u, y ) = 0, 对任意yV,R = vV | g( x, v ) = 0, 对任意xU.则L, R分别是U, V的子空间, 分别称为g的左子空间和右子空间.注:若dimU = m, dimV = n, 秩(g) = r, 则 dimL = m r, dimR = n r.非退化双线性型2定义

6、:双线性型 g:UV K 称为非退化的, 如果g的左子空间和右子空间均为零.定理:双线性型 g:UV K 为非退化的 dimU = dimV = 秩(g)推论:双线性型g:UV K为非退化的 g在U与V的任意基下的矩阵均是可逆阵.非退化双线性型3设g:UV K 是非退化双线性型. 固定xU, g(x, -)是V上线性函数, 作映射:U V*, x g(x, -), 则是线性空间的同构. 若将x与g(x, -)等同起来, 则U成为V*, 这时有 = g(x, y).类似地, 将V与U*等同起来, 即存在线性空间同构 : V U*, 使 = g(x, y).定理:设gi: UV K , i=1,2, 是非退化双线性型, 则存在U的可逆线性变换与V上可逆线性变换, 使对所有xU, yV, 有g2(x), y ) = g1(x, y), g2(x, (y) = g1(x, y).非退化双线性型4定义:设gi: UV K, i=1,2, 是非退化双线性型, 是V的线性变换, 如果存在U上的线性变换 *, 使对任意xU, yV, 有