齿轮毕业设计

1、第1章绪论古老的齿轮技术历史可追溯到30005000年以前，几乎和人类文明史同步。通常，齿轮被视为现代工业的象征，出现在庄严的国徽上。随着近代工业革命的兴起，齿轮作为机械设备的重要传动装置，得到了广泛的应用和发展。为了适应高速、重载、小型、轻量以及大传动比和其他运动特性的要求，各种新型的齿轮传动机构不断出现。根据对未来的发展的预测，齿轮制造业在今后几十年里仍将是我国机械行业中的重要组成部分。随着航空、航天、汽车、船舶、铁路机车、冶金、煤矿、工程机械、建筑、起重运输、特种车辆、港口、高科技武器系统、农用机械等诸多行业的飞速发展，齿轮制造业必将迎来更加广阔的发展空间。公元前三百多年，古希腊哲学家亚

2、里士多德在机械问题中就阐述了用青铜或铸铁的齿轮传递旋转运动的问题，而在此之前，中国早已在农业机械和天文观测领域开始大量使用齿轮机构，1674年，丹麦天文学家罗默首次提出用外摆线做齿轮曲线，从而得到运转平稳的齿轮机构。18世纪工业革命时期，齿轮的制造技术得到了飞速的发展，人们开始对齿轮进行大量的研究。1733年，法国数学家卡米发表了齿廓啮合定律。1765年，瑞士数学家欧拉建议采用渐开线作为齿廓曲线。齿轮的研究发展一直追求重载、高速、高精度和高效率，并力求使它的尺寸更小、重量更轻、寿命更长，更经济可靠。研究齿轮的啮合理论和制造工艺，建立可靠的强度计算方法则是提高齿轮承载能力，延长齿轮使用寿命的基础

3、。1.1 齿轮强度计算方法的历史回顾随着齿轮性能的不断提高和各种新型齿轮的陆续出现，研究和计算齿轮强度的理论和方法也在不断推陈出新。从历史上看，齿轮强度的计算一直是用近似公式，已有200余年的时间了。1785年，Walt提出弯曲强度的概念。1881年，Hertz提出计算接触强度的理论公式。1892年10月，Wilfred Lewis在费城工程师俱乐部宣读的论文中首次提出材料力学方法，将齿轮视为悬臂梁，推导出齿根弯曲强度计算公式，并提出齿形系数概念。从此，对于齿轮的设计和制造有了一定的理论指导。为了简述齿轮强度和变形计算的发展，首先必须提到齿面接触应力。由于直齿圆柱齿轮在传动时可近似看成为两弹性

4、圆柱体的接触。关于两弹性圆柱体的接触应力和变形问题，很早就有人研究，到1881年Hertz应用牛顿势函数，得出了两接触间的载荷（接触压力）分布的计算公式；1908年Videky开始把它应用于齿轮齿面接触强度的计算，从而奠定了齿轮齿面接触强度计算的理论基础。1892年，Lewis发展并提出了著名的Lewis公式，他把齿轮轮齿看作为一悬臂梁并提出了一种方法既能计算最大弯曲应力的大小，又能指出其最弱界面。随后有不少学者发现Lewis方法有很多不足，他们在保留Lewis公式结构的基础上作了一些微小的修改而形成了一套更加精确的公式。比如Dolan and Broghamer和Kelly and Pede

5、rsen。所有的这些早期齿根最大弯曲应力计算公式的提出和应用，都是以少量的静载光弹性试验为基础的。1973年，Toshimi Tobe and Nobuo Takatsu把直齿轮轮齿看成为等界面梁来计算动态载荷对轮齿的影响。1918年，Videky将Hertz公式用于齿轮强度计算。此后，德国学者Niemann、美国AGMA以及国际标准化组织都相继提出了各自的齿轮强度计算公式。这些公式虽各有特点，却都是建立在种种假设之上的近似公式。1.2 国内外关于齿轮应力及其相关学科的研究现状和发展趋势 齿轮传动机构的发展趋势目前，动力传动齿轮正朝着高速（圆周速度20200m/s）、高精度（精度等级达到45级

6、以上）、大功率（100030000kw）、高性能、高可靠性（工作寿命，两三年内不必进行维护保养）以及小型化方向发展，这就在设计、加工和热处理等方面对齿轮性能提出了更高的要求，这些要求反过来又促进了齿轮制造业技术的更新和蓬勃发展。如何改善齿轮的受力状态、提高轮齿的承载能力一直是寻找新型齿廓曲线的基本要求和发展方向，所以，对齿廓曲线的理论研究一直是齿轮研究的主要内容和方向。提高齿面硬度，可以降低齿面磨损，从而达到提高轮齿承载能力和传动精度，延长使用寿命和降低加工成本的目的。研究和实践已经表明，硬齿面可以使齿根的弯曲强度和齿面的接触强度都得到提高。目前，我国减速器设计的新标准已经由软齿面改为硬齿面。

7、材料方面，钢材的种类及热处理工艺的好坏将直接影响轮齿的承载能力。对重要齿轮采用真空脱氧技术可以提高材料的韧度，改善其加工性能。除齿轮用钢的冶金质量得到严格控制并开发出多种新牌号钢种外，以塑性和高强度球墨铸铁制造的齿轮，应用范围日渐广泛。加工方面，目前正朝着高速、高效、高精度方向发展。滚切加工通过采用硬质合金滚刀，切削速度已达到300m/min，切削硬度高达300400HBS。采用多头辊刀，既可提高滚切效率，又能减少刀刃的磨损。使用硬质合金前角滚刀进行超硬滚切，并与蜗杆珩齿结合替代磨齿工艺，可以使被加工的齿面没有烧伤和裂纹，从而提高齿面的强度。目前的插齿加工工艺，插切速度已经达到10002500

8、冲程/min，并可以达到56级的加工精度。上述种种发展趋势都要求专业人员必须全面掌握啮合理论、加工原理、强度计算、摩擦润滑、实验检验等方面的知识，并给予足够的重视，才能顺利完成齿轮的研发工作。 创建精确齿轮模型的发展历史自1765年俄罗斯科学院院士欧拉提出使用渐近线作为齿廓曲线的建议以后，数百年来，经过众多国内外科学家锲而不舍的努力，相继提出了多种齿轮强度的计算方法。但是，由于历史条件的限制，迄今为止还没有一种令人满意的、结果精确的齿轮强度计算方法的问世。就现有的各种方法进行比较，有限单元法应该是目前最精确的计算齿轮强度的方法。要利用有限元法求解齿轮强度并获得高精度的计算结果，创建精确的齿轮模

9、型是关键，而建模的关键步骤是创建出精确的齿廓曲线。二十世纪九十年代之前，关于齿轮形状的绘制还停留在二维工程制图的水平上，从绘制的齿形图上根本看不到齿廓曲线的精确形状。进入九十年代以后，随着各种大型CAD软件陆续登陆中国，建立齿轮模型的工作才逐渐开展起来，先是二维模型，然后是三维模型。特别是当高端软件出现之后，已经为建立精确的齿轮模型提供了足够的外部条件。建立齿轮模型遇到的主要问题是，齿廓曲线中的重要组成部分齿根齿形曲线被忽视了，很少被人仔细研究。齿轮强度包括了齿根弯曲强度和齿面接触强度的计算，要想获得更精确、更接近真实值的齿根应力值，对齿根曲面形貌特征的描述就必须精确无误。事实上，齿根齿形曲线

10、在数学上早已被下了准确的定义：齿根齿形曲线是长幅渐开线或长幅渐开线的等距曲线（以滚切加工为例）。然而，一直以来还没有一个像根齿形曲线渐开线曲线方程那样被广泛认可的齿公式，这就为精确建模工作竖起了一道难以逾越的障碍。人们只好用齿根圆角或过渡曲线来称齿根齿形曲线，用平行轮齿对称中线的直线或通过回转中心的径向直线与圆弧组合，来近似齿根齿形曲线。在提出使用精确齿轮模型进行齿轮强度有限元计算之前，这种近似的组合曲线曾经被广泛使用来代替真正的齿根齿形曲线。推导齿根齿形曲线公式理所当然地成为建立精确齿轮模型必须完成的首要任务。共轭曲面原理是上世纪五十年代中期，由我国著名学者、齿轮方面的权威专家、ASME F

11、ellow陈志新教授提出并创立的一种理论，是研究特殊型面几何性质的基础理论科学。七十年代以后，国内相继出现了多个齿轮啮合理论的研究学派。作为一门科学，共轭曲面原理的发展历史至今还不足五十年，但是，它的应用范围却非常广泛，仅仅在齿轮研究领域中的应用，就足以显示这门科学的博大精深。共轭曲面原理为加工各种复杂型面奠定了理论基础，该理论从创立至今一直备受欧、美、日本等西方发达国家的重视。 有限元法在齿轮强度计算中的应用概况及国内外研究现状仙波正庄在其专著中写道：“，本书介绍了迄今为止已发表的，各种具有代表性的齿轮强度计算方法，最后得出的结论是：不管采用哪种方法，只是得到不准确的近似结果，关于更精确的齿

12、轮强度计算方法，今后一定还会继续不断地研究下去，。”可见，探索新的计算方法任重而道远。直齿轮在啮合过程中，轮齿发生碰撞是不可避免的，它是引起齿轮传动机构产生震动和噪声的主要原因，也是导致轮齿折断和齿面点蚀的重要原因。所以研究冲击载荷作用下的齿轮强度问题是非常必要的。在机械设计中，凡是需要计算零部件的应力、变形、振动动态响应和稳定性分析中都可以采用有限元方法。有限元法以及优化设计、可靠性设计和计算机辅助设计等现代化设计理论正是现代机械设计的常用方法。为了对齿轮有限元分析问题作精确的归类，根据问题的求解性质，有限元的应用领域可分为三类：1）平衡问题不依赖于时间的问题，即稳态问题。对于齿轮的静态分析

13、，此方法适合。2）特征值问题固体力学和流体力学的特征值问题是平衡问题的推广，这是定常态问题，时间因素不明显表示出来。在特征值问题中，除了像平衡问题那样确定相应的稳态参数外，还必须确定某些参数的临界值，例如研究结构和振动系统稳定性时，要设计固有频率和振型，即特征值和特征向量。3）瞬态问题即随着时间变化的问题。这类问题是把时间量纲加入到前面两类问题中，也就是在空间三维参数X,Y,Z参数以外，还有一个时间参数t。如结构动力学和流体力学领域中的瞬时动态分析，研究物体受一个随着时间变化的载荷作用下的动态响应，热传导中研究突变冷热下的动态响应。利用有限单元方法研究齿根应力的工作始于二十世纪六、七十年代。1

14、973年，D.B.Wallace和A.Sering对一个齿轮模型进行了应力、变形和断裂研究，计算了在齿轮轮廓上三个特殊点处作用同一个脉冲载荷时齿根应力随时间的变化规律；1974年，G.Charbert使用二维有限元法对一个齿轮模型进行了齿根应力和挠曲变形的动态有限元分析；1988年，V.Ramamurti和M.Ananda Rao利用二维有限元法和循环对称概念计算了齿根应力随时间的动态变化规律。1989年，M.A.Sireg Arikan和Bilgin和N.Ganesan研究了直齿轮的动载荷与齿根应力的关系。1993年，S.Vijayarangan和N.Ganesan利用三维有限元法计算了一个

15、轮齿在移动线载荷和冲击载荷作用下齿根应力随时间变化规律。1999年，D.Barlam和E.Zahavi利用有限元法对曲面的接触问题进行了研究。国内方面，杨生华利用二维、三维单齿模型和三对轮齿的啮合模型，使用集中力载荷作为加载方式，进行了齿轮强度有限元计算。徐步青针对冲击载荷以及移动载荷作用下的齿轮简化模型，按照集中力载荷和线分布作为加载方式，进行了齿根弯曲作用下的二维、三维有限元计算，并对两种模型的结果进行了比较。陈玲等人利用三齿和五齿模型对汽车以及拖拉机半轴齿轮进行了静、动态相应的有限元分析。1.3 本次毕业设计的意义、主要内容及要做的工作本次毕业设计的主要内容是单个齿轮进行静态的有限元分析

16、。这种分析方法具有很强的实用价值，我们可以根据实际条件模拟物体的各种运动和不同的材料的应力，可以节省材料，提高生产和设计效率。在进行有限元分析之前，先以齿轮渐开线公式为基础，利用高端Pro/E软件创建相对精确的齿轮齿廓曲线，并通过数据接口将模型导入到有限元分析软件中去。利用ANSYS软件拥有的超强的FEM模块，选择二维和三维全齿数模型作为研究对象，将两者结果进行对比，以找到一种更精确的齿轮强度的计算方法。第2章有限元分析的基础理论与ANSYS软件介绍有限单元法（简称有限元法，FEM）被认为是目前最精确的齿轮强度计算方法。它是二十世纪中期才兴起的，集应用数学、力学与计算机科学于一体，相互渗透、综

17、合利用的交叉学科。有限元法具有快速、准确、灵活、可靠的分析计算能力，可以模拟各种实际工作条件。与其他方法相比，有限元可以节省大量的人力、物力、财力，是一种经济、简易、方便、快捷的计算方法。2.1 有限元分析法概述 有限元法的概念有限元法最初被用来研究复杂的飞机结构中的应力，它是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机地结合在一起的一种数值分析技术。后来，由于这种方法的灵活、快速和有效性，迅速发展成为求解各领域数理方程的一种通用的近似计算方法。目前，它在许多科学领域和实际工程问题中得到了广泛的应用，因此，在工科院校和工业界受到普遍的重视。在求解工程技术领域的实际问题时，建立基本方程和边界还是比较容易

18、的，但是，由于其几何形状、材料特性和外部载荷的不规则性，很难求得解析解。因此，寻求近似解法就成为了必由之路。经过多年的探索，近似算法有许多种，但是常用的数值分析是差分法和有限元法。差分法计算可给出模型基本方程的逐点近似值（差分网格上的点），但是由于不规则的几何形状和不规则的特殊的边界条件，差分法就难以应用了。有限元分析法把求解区域看作有许多小的节点处相互连接的子域（单元）构成，其模型给出了基本方程的大单元近似值。由于单元可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上有成熟的大型软件系统支持，它已成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值

19、计算方法。 有限元法的基本思想有限元法的基本思想是通过节点或者单元描述，把复杂的结构合理的化分为可以计算的微小的单元，通过有限个单元的组合求出由单元描述的结构整体行为。古代的人们把圆周简化为由有限个直线组成的多边形，可以说是有限元法的最早的应用。有限元法的具体应用可概括为如下几个步骤：1、物体的离散化就是将拟划分的物体假象地分为有限个分区、分块或分块的集合表示原来的物体，籍此建立起单元力学分量与未知分量的关系式，集成结构分析方程式。如图21所示的物体被分割成许多的单元。图2-1 物体的离散化2、挑选形函数或插值函数物体或结构离散化后，用被称为位移模式或位移函数的近似函数对单元内的一些力学量进行

20、描述，单元的位移模式需满足一定的条件。3、确定单元的性质所谓单元的性质就是对单元的力学性质进行描述。一般用单元的刚度矩阵（或柔度矩阵）来描述单元的性质，确立单元节点力与位移的关系。4、组成物体的总性质方程组组成物体的总性质方程组就是由单元刚度矩阵集成表示整个物体性质的总刚度矩阵（或柔度矩阵），从而建立起整个物体已知量点载荷与整个物体的未知量总节点位移或应力的关系。5、解方程组上述所形成的总性质方程组往往数目比较庞大，可能是几十个、几百个、甚至于成百上千万个，对于这些方程组需要运用一定的计算数学方法解出其未知数。6、进一步计算在求得整个结构的未知量后，可进一步求得单元的未知量。在有限元法的物理数

21、学描述中，一般有两种求解微分方程的方法：力法和位移法。由于位移法可以满足动力学的协调性，并且通过借助于与时间有关的位移矢量，可用于动态和非线性问题，同时通过与其它点有关的附加函数可保证满足几何的边界条件，所以有限元法一般都采用位移法求解。由上面的过程还可以看出，用有限元法解决问题工作量很大，不借助于电子计算机的帮助，有限元法的应用是相当困难的。 有限元法发展的概况有限元分析的概念可以追溯到20世纪40年代。1943年，Courant第一次在他的论文中，取定义在三角形分片上的连续函数，利用最小势能函数原理研究了St. Venant的扭转问题。此方法发展很慢，过了近十年才再次有人用这些离散化的概念

22、。1956年，Turner，Clough，Martin和Topp等人在他们的经典论文中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答。他们利用弹性理论的方程求出了三角单元的特性，并第一次介绍了今天人们熟知的确定单元特性的直接刚度法。他们的研究工作随同时出现的数字计算机一起打开了求解复杂平面弹性问题的新局面。“有限元法”这个名称，第一次出现在1960年，当时Clough在一篇平面弹性问题的论文中应用过它。工程师们开始认识了有限元法的功效，此后，有限元法在工程界获得了广泛的应用。到20世纪70年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速地发展起来了，发表的有关论文犹如雨后春笋，期

23、刊、专著也不断出现，学术交流频繁，可以说进入了有限元法的鼎盛时期。该时期对有限元法进行了全面而深入的研究，涉及的内容有： 有限元法在数学和力学领域所依据的理论； 单元的划分原则、形状函数的选择及协调性； 有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性； 计算机程序设计技术； 向其他各领域的推广。近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶，铁道，石

24、化，能源，科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，主要表现在以下几个方面： 增加产品和工程的可靠性； 在产品的设计阶段发现潜在的问题；经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本；缩短产品投向市场的时间；模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费。到目前为止，有限元法已被应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域；能进行由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题的求解，包括静力和动力问题；能求解流体场。温度场、电磁场等场分析问题的稳态和瞬态问题；还能求解水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。

25、有限元常用术语有限元法的基本思路是“化整为零，积零化整”。它的求解步骤是：将连续的结构离散成有限元多个单元，并在每个单元中设定有限元多个节点，将连续体看作是只在节点处相连接的一组单元的集合体；然后选定场函数的分布规律；进而利用力学中的变分原理建立用以求解的有限自由度问题。求解结束后，利用解得的节点值和设定的插值函数确定单元上以至整个集合体上的场函数。单元可以设计成不同的几何形状以及模拟和逼真复杂的求解域。显然，如果插值函数满足一定要求，随着单元数目的增加，解的精度会不断提高而最终收敛于问题的精确解。从理论上说，无限制地增加单元的数目可以使数值分析最终收敛于问题的精确解，但是这却增加了计算机计算

26、所耗费的时间。在实际工程应用中，只要所得的数据能够满足工程需要就足够了。有限元分析法的基本策略就是在分析的精度和分析的时间上找到一个最佳平衡点。（1）单元 结构的网格划分中的每一个小的块体称为一个单元。常见的单元类型有线段单元、三角形单元、四边形单元、四面体单元和六面体单元几种。由于单元是组成有限元模型的基础，因此，单元的类型对于有限元分析是至关重要的。（2）节点 确定单元形状的点就叫节点。例如线段单元只有两个节点，三角形单元有3个或者6个节点，四边形单元最少有4个节点等。（3）载荷 工程结构所受到的外在施加的力称为载荷，包括集中载荷和分布载荷等。在不同的学科中，载荷的含义也不尽相同。在电磁场

27、分析中，载荷是指结构所受的电场和磁场作用；在温度场分析中，所受的载荷则是指温度本身。（4）边界条件 边界条件是指结构边界上所受到的外加约束。在有限元分析中，边界条件的确定是非常重要的因素。错误的边界条件使程序无法正常运行，施加正确的边界条件是获得正确的分析结果和较高的分析精度的重要条件。 有限元法的分析过程应用有限单元法分析的一般过程流程图如图2-2所示，图中指出了分析过程的主要步骤及其相互关系。图2-2 有限单元法分析的一般流程图有限元分析中各主要步骤的主要工作如下：（1）研究分析结构特点 研究分析所需求解对象的结构特点，包括形状、边界条件、工况、载荷特点；初步建立物理力学模型，包括形状的简

28、化、构件间连接的简化、支承的简化、材料的简化、截面特性的简化、载荷的分析等。这一步工作的好坏对整个计算影响很大。（2）形成有限元计算模型 根据结构特点，确定单元类型，选取节点，形成网格图，同时选定支承及边界条件以及决定载荷的处理，最终形成计算数据文件。这一步既对选择怎样的软件有影响，又受所选软件的限制和制约，因为选定所用的软件后，单元类型、单元数据、节点数据、边界与载荷的处理，以及最终的数据文件都要按软件规定处理。（3）选择有限元软件或编制计算程序 根据结构的计算模型，选择或编制有限元计算软件。选定所用软件后，又要根据软件的要求修改计算模型。（4）上机试算 为了检验计算模型的正确性，同时熟悉所

29、选定的软件，或者考核新编制的程序，一般要进行试算。试算时可在所形成的计算模型上加单位载荷，确认计算结果正确无误后，方可进入下一步。（5）计算模型准确性判别 试算顺利结束后，一定要根据计算模型是否准确，这是关系到有限元分析是否正确无误的关键。最常用的方法是将计算机结果与通过试验测量的结果进行比较，如果两者之间的误差在工程允许的范围之内的，则认为这个计算模型是准确的。判别的其他方法还有，根据理论计算结果（如果存在的话）及常识进行判别，或对同一问题用其他软件计算的结果进行比较。（6）修改计算模型或修改程序 当计算结果误差过大时，应重新修改计算模型，有时甚至要更新计算模型。修改计算模型可从单元的类型、

30、节点与单元的划分和边界条件等着手。对自编程序，可以检查、分析程序的每一步骤，特别要注意数据的传递等，确保程序各方面无任何错误。如果使用的是普通软件，则可以用过验证题、使用手册等途径进一步熟悉程序，理解输入、输出数据的确切含义。（7）正式计算以及计算结果整理 若结构的计算模型判别为是准确的，则可施加各工况载荷进行正式计算。计算完成后，要对计算结果进行整理，已得到结构的应力图、变形图或振型图等。（8）结构设计方案的判别 根据整理得到的计算结果，如应力图、变形图等，来判断设计是否合理。若得出结构的薄弱区域或者是强度富裕区域等设计不合理之处，可对结构进行修改，并修改相应计算模型，重新计算。若设计方案合

31、理，则输出最终较佳的设计方案。从使用有限元程序的角度讲，有限单元法分析又可分成三大步，如图2所示。图2-3 有限元分析的三个步骤前处理实际上是对计算对象划分网格、形成计算模型的过程，包括单元类型的选择、节点和单元网格的确定、约束载荷的移置等。求解则是在形成总刚度方程并进行约束处理后求解大型联立线性方程组、最终得到结点位移的过程，解方程组的方法有很多种，通用软件根据其自身特点选用一、两种方法。后处理则是对计算结果的处理和数据的输出，包括各种应力、位移或振型的整理，形成等应力线、变形图、振型图等。前处理根据计算目的，前处理时将联系的实际结构转化为理想的数学模型，用离散化的网格代替，并最终形成计算数

32、据文件。对每一个所分析的结构构件都必须给出下列信息：节点空间位置（坐标值），单元信息（包括单元类型、组成节点号、截面特征），结构的材料特征参数，边界条件或约束信息，各类载荷。在构成离散化模型时，为了使模型较合理，还必须遵循以下原则：在不影响计算精度的前提下，尽量简化计算模型以减少计算时间和存储容量；选择合理的单元类型；在所关心的区域加密计算网格；在编排节点时，尽量减少相关单元的节点号之差，减少带宽，以减少数据存储量。求解求解时将前处理得到的有关单元信息输入计算，运行有限元程序，进行分析计算。后处理有限元分析是一种大规模的科学计算，计算势必产生大量的数字信息。只有在对这些计算输出信息进行仔细分析

33、、理解之后，才有可能掌握计算中出现的情况和问题，才有可能获得对被分析对象的认识和见解。有限元分析输出的计算结果，包括以下三个基本类型：节点类数据 直接给出模型节点处的结果（应力、位移、内力、温度值等）。单元类数据 给出单元节点处或内部指定处的结果（各种应力分量、应力组合、等位线等）。整体类数据 通过对某些单元结果求和得到整个总体模型参数，通常用以检查模型的有效性或特定分析的精度等。随着计算机技术的飞速发展，有限元的计算能力和图形处理能力都得到了很大提高，不但在工作站上，而且在微型计算机上都能够实现以下功能，使人们可以立即对计算机结果用图像方式进行研究、分析，以获得正确结论。具有二维乃至三维显示

34、功能；具有对图形进行交互缩放的功能，因为计算域往往很大，人们有时只关心局部区域；可以动态地显示结果随时间的变化情况；可使结果包含浓淡过渡的彩色色谱，准确显示足够多的细节，如位移分量、位移总量、应力分量、应力的结合、塑性区、等位线等，使人们能直观、清晰地定性或定量地获取部分区域或某些点上的某些物理量的值。能实现实时交互地随视点位置变更而显示图形，这是增强结果显示三维效应的最好的办法。能交互地修改颜色对照表，并实时地改变图形颜色。除此之外，后处理中一般还包含在当前流行的各种绘图仪和打印机上实现图形硬拷贝输出的驱动软件，以及与多种CAD系统（如AutoCAD，Pro/E，Solidwork等）、IE

35、GS国际图形交换系统和Microsoft Word等字处理和桌面办公系统进行数据文件直接交换的接口，成为一种开放式系统。今后，随着上述功能的进一步增强，有限元分析模块将自然嵌入、衔接在CAD系统中，从而为工程技术人员实现真的、完全的计算机辅助设计提供更理想的前景。2.2 有限元平面问题的基础理论 基本未知量和基本方程的矩阵表示在有限元法中，为了简洁地表示各个基本量以及它们之间的关系，也为了便于应用计算机进行实际计算，广泛采用矩阵表示和矩阵运算。在平面问题中，物体所受的体积力可用矩阵表示为p= （2-1）式中上标T表示矩阵转置。同样，物体所受的表面力可用矩阵表示为p=p p （2-2）一点的位移

36、可用矩阵表示为=u v （2-3）一点的应变分量可用矩阵表示为= （2-4）一点的应力分量可用矩阵表示为= （2-5）由几何方程，式（2-4）所表示的应变分量可以写成= （2-6）弹性力学中，平面问题可划分为平面应力问题和平面应变问题。对于弹性力学的平面应力问题，物理方程可用矩阵形式表示为： （2-7）式中E、分别为弹性模量和泊松比。上式可简化为 （2-8）其中D= （2-9）称为平面应力问题的弹性矩阵。对于平面应变问题，物理方程也可以用式(2-8)将式(2-9)所示的弹性矩阵D中的E换成，换成。 单元分析以下对平面应力问题中的三角形单元进行分析，建立单元刚度矩阵。1 节点位移图21所示弹性体

37、用三角形单元进行离散以后，取任一单元进行分析，其节点i,j,m按逆时针方向排列。每个节点位移在单元平面内有两个分量： (i,j,m) （2-10）式中为节点沿x轴和y轴方向的位移分量。记号表示其它节点的位移可以按下标i,j,m轮换得到。一个三角形单元有3个节点，共有6个节点位移分量，它们可用矩阵表示为 = （2-11）2 位移模式假设单元体中任意一点的位移分量是x,y的函数，选择最简单的线性函数作为位移模式，即：u=+x+y v=+x+y （2-12）式中为待定常数，可以由单元的结点位移确定。设结点i,j,m坐标分别为，结点位移为。将它们代入式(2-12)中，有 （2-13） 联立求解上述公式

38、左边的3个方程，可以求出待定系数为 （2-14）式中A为三角形单元ijm的面积，A （2-15）为使求得面积的值为正值，结点i,j,m的次序必须是逆时针转向，至于将哪个结点作为起始结点i,则没有关系。将式(2-14)代入(2-12)的第一式，整理后得 （2-16a）同理可得 （2-16b）式中 (i,j,m) （2-17）如令 (i,j,m) （2-18）则位移模式(2-16)可以简写为 （2-19）式中 是坐标的函数，反映了单元的位移形态，因而称为位移函数的形式函数，其形式将在下面进一步讨论。由式(2-19)和（2-3）单元中一点的位移可用结点位移表示为下列矩阵形式 （2-20）式中N称为单

39、元形函数矩阵，其维数为2x6，进一步可写为分块形式 （2-21）其中子矩阵 （i,j,m） （2-22）式中I为2阶单位矩阵。根据形函数的定义式(2-18),容易证明形函数具有以下性质:形函数在结点上的值等于1,在其他结点上的值等于0；在单元任意一点，三个形函数之和等于1；在三角形单元边界i,j上一点（x,y）,有形函数公式形函数在单元上的面积分和边界ij上的线积分公式为 （2-23）式中为边ij的长度。3 单元应变和应力 有了单元的位移模式，就可以应用几何方程求得单元的应变。将式(2-16)代入式(2-6)，得到应变和结点位移的关系式 （2-24）上式简写为 （2-25）式中B为单元应变矩阵

40、（又称为几何矩阵），其维数为3x6。它可以写成分块形式 其中子矩阵 (i,j,m) （2-26）式(2-24)是用结点位移表示的单元应变的矩阵方程。由于与x,y无关，都是常量，因此B矩阵也是常量。单元中任一点的应变与结点位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元。在平面问题的物理方程式（2-7）中，将式（2-25）代入，得 （2-27）上式也可写成为 （2-28）这就是应力与结点位移的关系式。其中S称为单元应力矩阵，并且 S=DB （2-29）因为D是3x3矩阵，B是3x6矩阵，因此S也是3x6矩阵，它可写成分块的形式： （2-30）由于（2-9）所表示的平面应力问题的弹性矩阵

41、，以及由式（2-26）所表示的应变矩阵，可得式（2-30）中应力矩阵的子矩阵 （2-31）对于平面应变问题，只要将上式中的E换成，换成，就得到应力矩阵的子矩阵 （2-32）由于三角形单元中的D、B矩阵都是常数矩阵，所以S矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形单元内的应力分量也是常量。当然，相邻单元的E、A和一般是不完全相同的，故他们将具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在着应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速减小，有限元法的解答将收敛与正确解答。4 刚度矩阵设三角形单元结点力向量为，则可写成= （2-33）由虚位移原理得 （2-34）式中，“*”表示虚设状态，t为厚度。上式

42、可改写成=（2-35）由于虚位移是任意的，故得， （2-36）式中，A为三角形单元面积，,称为单元刚度矩阵。 整体分析前面从结构中取出一个典型的三角形单元进行了单元分析，再把各个单元组合成结构，进行整体分析。首先不考虑的集体支撑情况，由结点位移求解点力时，转换关系可写成： （2-37）式中，K称作整体刚度矩阵，它可由单元刚度矩阵按刚度集成法得到。然后引入支撑条件和受力情况，便可解方程组，求出结点位移，进一步可求出应力。2.3 有限元三维机械应力问题的基础理论对于弹性连续体，设其零应力状态的温度为T0，线性热膨胀系数为，杨氏弹性模量为E，泊松比为，剪切弹性模量为G，弹性连续体上的一微元体，其沿x

43、1,x2,x3方向上的体力为X1,X2,X3，边界上受力为，工作温度为T，则弹性体应满足以下方程： （2-38）其中 其中，为弹性模量，分别为应力矩阵、总应变矩阵和热应变矩阵。弹性体的边界条件为位移边界条件、力边界条件和混合边界条件：位移边界条件为 （i=1,2,3） （2-39）力边界条件为（i=1,2,3） （2-40）混合边界条件之给定边界上部分力分量和部分位移分量，针对具体问题，利用（2-39）、（2-40）两式来表达。由虚位移原理得 （2-41）式中，S1为力边界区域，S2为位移边界区域，Fni为力边界上力张量。虚位移原理式（2-41）可表达为变分形式 （2-42）令： （2-43）

44、其中U为应变能密度，满足称为许可位移下受力弹性系统的总势能函数。由虚位移原理得到最小势能原理，对于给定的弹性力学问题，在一切许可位移场中，真解使系统的总势能取最小值，且使总势能取极小值者必为真解，其数学表达为 =0 （2-44）有限元法研究三维弹性问题，现将所研究的弹性体分割为一系列的单元体，单元可以是四面体、五面体或六面体，按单元给出结构的势能函数为 （2-45）单元内任意一点的位移又单元各节点的位移唯一确定。即： （2-46）其中ne为该单元边界上的节点数，Ni是形函数，将式（2-46）带入式（2-45），根据最小势能原理式（2-44）经过一系列推导，可得到有限元法的基本方程 （2-47）

45、其中F称为总刚度矩阵，称为总结点位移矩阵，F成为总载荷矩阵。2.4 ANSYS软件概述ANSYS软件是一个功能强大而灵活的大型通用有限元分析软件。它融结构、热、流体、电磁、声学于一体，广泛应用于核工业、铁道、石油化工、机械工程、航空航天、土木工程、汽车交通、能源、电子、国防、地矿、水利、日用家电等工业及科学研究领域。该软件提供了一个不断改进的功能清单，具体包括：结构高度非线性分析、电磁分析、计算流体动力分析、优化设计、接触分析、自适应网格划分、大应变/有限转动功能以及利用ANSYS参数设计语言（APDL）的扩展宏命令功能。基于Motif的菜单系统使用户能够通过对话框、下拉式菜单和子菜单进行数据

46、输入和功能选择。进行产品设计时，使用ANSYS软件对产品性能进行仿真分析，可以发现产品问题，降低设计成本，缩短设计周期，提高设计的成功率。ANSYS软件是现代产品设计中高级的CAD/CAE软件之一，它能与大多数的CAD软件实现数据共享与交换，如Pro/E，NASTRAN，Algor，I-DEAS和AutoCAD等。由CAD软件生成的模型能与ANSYS软件共享数据接口的文件格式有Pro/E，Unigraphics，CADDS，IGES，SAT和Parasolid等。2.4.1 ANSYS发展过程1970年，John Swanson博士洞察了计算机辅助工程商品化的发展，于是创建了ANSYS公司，总

47、部设于美国宾西法尼亚州的匹兹堡，目前它是世界CAE行业最大的公司。30年来，该公司把握了有限元软件发展的方向，使其在同行业中一直处于领先地位。ANSYS软件的最初版本于今天的版本相比已有很大的区别，当时，它仅仅提供了热分析及线性结构分析功能，是一个批处理程序，且只能在大型计算机上使用。随着20世纪70年代初非线性、子结构和更多的单元类型的加入，以及20世纪70年代末，图形技术和交互式操作方法的使用，ANSYS软件得到了很大的改善，前后处理技术进入了一个崭新的阶段。今天ANSYS软件更趋于完善，功能更加强大，使用更加便捷。新版本ANSYS中推出了显式动力分析（LS-DYNA）、概率设计系统(PD

48、S)、计算流体动力学功能以及多物理场功能。ANSYS公司于1992年2月在北京开设了第一个驻华办事处，短短几年间又先后成立了上海、成都和广州办事处。该公司于1995年开发了符合我国国家标准JB 732-95的压力容器版。另外，ANSYS软件已经在铁路提速和高速机车车辆的研制中开始发挥作用。2.4.2 ANSYS软件的功能.1 ANSYS的建模功能有限元分析软件ANSYS的前处理功能很强大，具有强大的建模功能。建模时，需要先建立结构的几何模型，给出材料参数和单元类型，最后划分网格，形成结构的有限元模型。ANSYS提供了三种创建模型的方法：实体建模方法、直接建模方法和输入在其他计算机辅助设计系统中

49、创建的模型。直接建模的方法就是在ANSYS的前处理程序中直接定义每个节点的位置以及单元的大小、形状和连通性来创建有限元模型。节点用来定义单元在空间中的位置，单元定义了模型的连接性。直接建模的方法适用于线模型和较简单的有规则的几何模型。这种模型可以自己控制每个节点和单元的编号。但是，直接建模的方法往往需要处理大量的数据，也不能进行自适应网格划分，改进网格划分十分困难。对大而复杂的结构，应采用实体建模的方法。ANSYS提供了两种方法进行实体建模，即自底向上建模方法和自上向下建模方法。自底向上的建模方法是先创建关键点，然后依次创建相关的线、面和体等图元。自上向下的建模方法是可以直接创建最高级的图元，

50、如球、棱柱等三维实体，通常称之为几何体素。当定义了一个体素时，程序会自动定义相关的面、线和关键点。在ANSYS建模过程中，自上而下的建模方式和自底向上的建模方式可以自由组合使用，使模型的创建更加方便。实体建模的优点是：对于庞大或复杂的模型，特别是对三维实体模型更适合；相对而言，需处理的数据少一些；容许对节点和单元不能进行的几何操作（如拖拉和旋转）；支持使用面和体的体素及布尔运算以顺利建立模型；便于施加载荷之后能进行所要求的局部网格细化；便于几何上的改进；便于改变单元类型，不受分析模型的限制。无论是使用自底向上还是自上而下的方法构造实体模型，均由关键点、线、面和体组成。这些图元的层次关系是：体以

51、面为边界，面以线为边界，线以关键点为边界。无论使用自上而下还是自底向上方法建模，均能使用布尔运算来组合数据集，形成一个实体模型。ANSYS程序提供了完整的布尔运算，诸如相加、相减、相交、分割、粘结和重叠。在创建复杂实体模型时，对线、面、体的布尔运算操作能减少相当可观的建模工作量。ANSYS程序还供了拖拉、延伸、旋转、移动、拷贝、蒙皮等的功能，可以大大减少建模时间。辅助工具如选择和组元、拾取与利用工作平面，为建模提供了极大的方便。可以在其它CAD系统中建立模型并把它输入到ANSYS中进行分析。它有如下优点:一是可利用己有CAD模型，避免重复工作;二是可利用熟悉的工具去建模。但是，从CAD系统中输

52、入的模型，如果不适于网格划分则需要大量的修补工作。.2 ANSYS软件的分析功能ANSYS提供的分析类型包括以下几种。（1）结构静力分析 用来求解外载荷引起的位移、应力和力。静力分析很适合求解惯性和阻尼对结构影响并不显著的问题。ANSYS中的静力分析不仅可以进行线性分析，而且可以进行非线性分析，例如塑性变形、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触问题的分析。（2）结构动力分析 结构动力分析用来求解随时间变化的载荷对结构或者部件的影响，相对于静力分析，动力分析要考虑随时间变化的力、载荷以及阻尼和惯性的影响，如旋转机械产生的交变力，爆炸产生的冲击力，地震产生的随机力等。ANSYS可以进行的结构动力分析类

53、型有瞬态分析、动力分析、模态分析、谐响应分析以及随机震动响应分析。（3）结构屈曲分析 屈曲分析用来确定结构失稳的载荷大小在特定的载荷下结构是否失稳的问题。（4）热力学分析 热力学分析主要包含三种类型：传导、对流和辐射。ANSYS对热力学问题可以进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。热力学分析还可以进行模拟材料的固化和溶解过程的分析，以及模拟热与结构应力之间关系的耦合问题的分析。（5）电磁场分析 电磁场分析主要完成以下问题的分析：一维、二维静态电磁场的分析，一维、二维随时间变化的低频电磁场的分析，三维高频电磁场的分析。电磁场分析可以解决电磁场的相关问题，如电容、电感、涡流、电磁场分布、运动效应等。主

54、要应用于发电机、变、加速器、调制器等在电磁场作用下工作设备的设计和分析。（6）声场分析 声场分析主要用来研究在流体（气体、液体等）介质中声音的传播问题，以及在流体介质中固态结构的动态响应特性。（7）压电分析 压电分析主要进行静态分析、模态分析、瞬态响应分析和谐波响应分析等，可用来研究压电材料结构在随时间变化的电流或机械载荷作用下的响应特性。主要适用于谐振器、振荡器以及其他电子材料的结构动态分析。（8）流体动力分析 ANSYS中的流体动力分析功能可用来分析二维、三维流体动力场的问题。可以进行传热或绝热、层流或湍流、压缩或不可压缩等问题的研究。主要用于分析超音速喷管中的流场，使用混合流研究估计热冲

55、击的可能性，以及研究解决弯管中流体的三维流动等问题。2.5 ANSYS软件分析的一般过程ANSYS软件含有多种有限元分析的能力，一般的ANSYS分析过程可分为以下三个步骤：创建有限元模型；施加载荷进行求解；查看分析结果。其中，创建有限元模型包括创建或者读入几何模型、定义材料特性和划分结点单元；加载并求解包括施加载荷和边界条件，进行求解运算；查看分析结果设计结果的分析和几何模型。（1）建立模型 在分析过程中，与其他步骤相比，建立有限元分析模型需要花费更多的时间。先指定作业名和分析标题，然后使用PREP7处理器定义单元类型、单元实常数、材料特性和几何模型。指定作业名和分析标题 制定作业名和分析标题

56、不是必须要求的，但是在ANSYS分析中推荐使用作业名和分析标题。作业名只用来识别ANSYS作业。当用户为某项分析工程定义了作业名，它也就成为分析过程中所产生的所有文件名的一部分，即文件名，而文件的扩展名则是各种不同分析数据文件的标识。通过为每次分析给定作业名，可以确保文件不被覆盖。如果用户在分析的开始没有定义作业名，则所有的文件都被默认地设置为FILE或file分析标题用来定义标题，ANSYS系统将在所有的图形显示、求解输出中包含此标题。定义单位制 ANSYS软件并没有为分析制定固定的系统单位，除了磁场分析之外，可以使用任意一种单位制，只要保证输入的所有数据都是使用同一单位制即可。单元的类型

57、ANSYS的单元库中有多种不同的单元类型，每一种单元类型都有自己特定的单元类型名和编号，如SOLID95,PLANE77等。定义单元实常数 当选择了划分网格的单元类型之后，接下来应该输入与此单元类型相关的单元实常数。单元类型的实常数是根据所选的单元类型而定的，如BEAM3单元的截面面积（AREA）。定义材料特性 大多数单元类型在程序分析时都要指定材料特性，ANSYS程序可以选择的材料特性有线性或非线性，各向同性、正交异性或非弹性，不随温度而变化或随着温度变化。创建计算模型 一旦选定了材料特性，在分析的下一步就可以建立所需的几何模型，并进行网格划分生成物理模型。创建有限元模型的方法有两种：实体建

58、模法和直接生成法。前者利用实体建模命令生成几何模型后，经过划分生成有限元模型；后者则直接生成有限元模型。（2）加载和求解 在模型建立以后，可以运用SOLUTION处理器定义分析类型和分析选项，然后施加载荷，指定载荷步长并对有限元求解进行初始化。定义分析类型和分析选项 可以根据载荷条件和想要计算的响应选择分析类型。在ANSYS中，可以选择的下列分析类型：静态、瞬态、调谐、模态、谐响应、屈曲和子结构分析等。加载 在ANSYS中载荷共分为6类：DOF（自由度）约束、集中力、表面分布载荷、体积载荷、耦合场载荷。这些载荷绝大多数可以施加到几何模型（实体模型）上，包括关键点、线和面；也可以施加到物理模型（

59、有限元模型）上，包括节点和单元。指定载荷步选项 载荷步选项的主要功能是对载荷步进行修改和控制，例如，对子步数、时间载荷和输出进行控制等。求解初始化 该项的主要功能是从ANSYS数据库中获得模型和载荷信息，进行计算求解，并将结果数据写入到结果文件（Jobname.RST,Jobname.RTH,Jobname.RFL）和数据库中。结果文件和数据文件不同的是，数据文件中每次只能驻留一组结果，而结果文件将储存所有的结果数据。（3）检查分析结果 一旦程序计算完成，就可以通过ANSYS后处理功能POST1或POST2查看结果。POST1为通用后处理器，用于查看整个模型或选定的部分模型在某一时间步的计算结

60、果。POST2为时间历程后处理器，用于查看模型的特定点在所有时间步内的计算结果。第3章渐开线齿轮的三维建模与网格划分Pro/ENIGEER是第一个引入参数化概念的计算机辅助软件，它带来了工业界的一次技术革命。所谓参数化是指特征之间具有一定的关联关系，这种关系可以通过一定的参数来表示，而这些参数既可以是变量，也可以是关系式。这就决定了各参数是随着外部变量的变化而变化的，带有适时性，同时，当某个特征发生变化时，与其相联的其它特征也随着要发生变化，而不需要重新绘制，这无疑大大提高了绘图效率。3.1 参数设计Pro/Engineer软件是美国PTC公司的重要产品。在目前的三维设计软件领域中占有重要地位