一阶微分方程解的存在定理教学设计

1、第三章一阶微分方程解的存在定理教学目标.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。. 了解解的延拓定理及延拓条件。.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。教学重难点解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。教学方法讲授，实践。教学时间12学时教学内容解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连 续性、可微性定理及其证明。考核目标.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延

2、拓条件能证明有关方程的某些性质。 1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所 出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是， 大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始 条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性 在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

3、例如方程卜2村dx过点（0,0）的解就是不唯一，易知 y=0是方程过（0,0）的解，此外，容易验证，y = x2或更一般地,函数y=02(x -c)20HxMccx 三1都是方程过点（0,0）而且定义在区间0WxW1上的解，其中c是满足0c0,使对于R上任何一对点(x, y1) , (x, y2)均有不等式f (x, yi)-f(x, y2) L小一於成立，则方程(3.1 )存在唯一的解y =(x),在区间|xX0怪h上(3.3 )连续，而且满足初始条件(xo) = yo=max x,y.Rf (x, y) , L 称为 Lipschitz 常数.b其中 h = min( a, ), MM思路

4、： 1)求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程xy=y0J(xy)dx的连续解。2)构造近似解函数列Q(x)任取一个连续函数 Q(x)，使得|中0(x) _y |b,替代上述积分方程右端的y,得到xi(x) =y0f (x, 0(x)dxx0如果Q(x)三90(x),那么Q(x)是积分方程的解，否则，又用 Q(x)替代积分方程右端的 y,得到x2(x)=y0f(x, ；(x)dxx如果平2(x)三51(x),那么?(x)是积分方程的解，否则，继续进行，得到x中n (x) = y0 + f f (x,Q(x)dx( 3.4)x0于是得到函数序列：n(x).3)函数序列9n(x)在区间Xo h,

5、 Xo +h上一致收敛于中(x),即lim n (x) =q：(x) n 5-存在，对(3.4)取极限，得到xlim. n(x)=yo lim一 f (x,1q(x)dxnr-n ? - Xox二 yof(x, (x)dxx0 x即(x)=y0. f(x, (x)dx.xx4) 4(x)是积分方程y = y0 + f f (x, y)dx在x0h,x0+h上的连续解.x0这种一步一步求出方程解的方法一一逐步逼近法.在定理的假设条件下，分五个命题来证明定理.为了讨论方便，只考虑区间x0WxEx0+h,对于区间x0 -h E x工x0的讨论完全类似.命题1 设y =中(x)是方程(3.1)定义于区

6、间x0 Ex Ex0+h上，满足初始条件*(x0) = y0(3.3 )的解，则y =(p(x)是积分方程xw f (x, y)dx x0 _ x _ x0 h(3.5)-x0的定义于x0 x x0 +h上的连续解.反之亦然.证明 因为y =平(x)是方程(3.1)满足中(x0) = y0的解，于是有UI =f(x, (x) dx两边取x0到x的积分得到x(x) -(x。) = f(x, (x)dxx0 x x0 hx)x即有(x) = y0-I f(x, (x)dxx) x x hxx所以y =9(x)是积分方程y = y0+J f (x, y)dx定义在区间x0 E x E x0 + h上

7、的连续解. x0反之，如果y =邛(x)是积分方程(3.5)上的连续解，则x邛(乂)=丫0+1f(xg(x)dxx0 x x0 +h(3.6)x由于f(x, y)在R上连续，从而f (xW(x)连续，两边对x求导，可得d (x) f(x, (x)dx而且(x0)=y0,故y =邛(x)是方程(3.1)定义在区间x Ex Ex。+h上，且满足初始条件 中(x0) = y0的解.构造Picard的逐次逼近函数序列Q(x).查=y)k上x芦 s 芦 A 上(n =1,2,111)(3.7)n(x) = y0 . f ( , . n/ )dx0 0hx0命题2对于所有的n , (3.6)中的函数 *(

8、x)在Xo Wx Ex。+h上有定义，连续且满足不等式阳(x) y0 1Mb(3.8)证明用数学归纳法证明x当n=1时，邛1(乂)= 丫0十f (却y0)d U ,显然51 (x)在x0 E x E x0+h上有定义、连续且有 xoxx网(x) yo H j f( = yo)d?区(| f仁,yo) |d EM (x xo) Mh b即命题成立.假设n = k命题2成立，也就是在 xo x xj + h上有定义、连续且满足不等式| ；(x) - yo |_b当n=k+1时，xki(x)=yoxnf( ,( )dxxo由于f(x,y)在R上连续，从而f( x,Q (x)拄xo Wxxo +h上连

9、续，于是得知中k书(x)在xo x xo +h上有定义、连续，而且有x| i 1(x)-y0 | .)c|f( , ( )|d M(x-xo)Mhbxo即命题2对n = k +1时也成立.由数学归纳法知对所有的n均成立.命题3函数序列Q(x)在xo x xo +h上是一致收敛的.记 lim n(x) = (x), xo - x - xo hn.证明构造函数项级数o(x)八 Lk(x) - k4(x)xo - x - xo h(3.9)k 1它的部分和为nSn(x) = o(x) ：k(x) - k4(x) =，(x)kW于是Q(x)的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价.为此，对级数(3

10、.9)的通项进行估计.x| i(x) - o(x)| |f( , o( )|d M(x-xo)(3.1o)xx| 2(x)- i(x)|f( , i( )-f( , o( )|dxo由Lipschitz条件得知x|巴(x) 一叼(x)|wL叼仁)3。住)|dE- xx L M( -xo)dx。ML2-2f (x-xo)设对于正整数n ,有不等式| ；n(X)n(X)|M*x”)n n!成立,则由Lipschitz 条件得知，当x0 W x E x0 + h时，有xI ；l(x)- n(x) |f( , n( ) - f( , ：n()|dxoxLf | Wn 睛)|dx.MLnMLnxJ -x

11、jdx0(n+1)!(x-xo)n1于是由数学归纳法可知，对所有正整数k,有k 1k J| k(x)- k(x)(x -xo)khkxo - x - xo hk!k!hk由正项级数 M MLK 一的收敛性，利用Weierstrass判别法，级数(3.9)在x0ka k!(3.11) x xo + h上一致收敛.因而序列Q (x)在x0 x x0 +h上一致收敛.设 lim Q(x) =9(x)，则 *(x)也在 x0 x Ex。+h上连续，且 n. ,(x) -yo 性 b命题4叭x)是积分方程(3.5)的定义在x0 x x0 + h上的连续解.证明由Lipschitz 条件| f(x, ：(

12、x) -f(x, ：(x) |L| n(x)- ：(x)|以及Q(x)在x M x M x + h上一致收敛于中(x)，可知f(xWn(x)在x0 xxo + h上一致收敛于f (x*x).因此x lim n(x) =y。 lim f(,；()d n 二二n i： xox=yoim_f( , )dx0 n -x即n(x) = yf(,()dx故中(x)是积分方程(3.5)的定义在x0 x x0 +h上的连续解. TOC o 1-5 h z 命题 5 设干(x)是积分方程(3.5)的定义在x0 W x E x0 + h上的一个连续解，则 (x) = - (x), x0 _ x _ x0h.证明

13、设g(x) 49(x)-中(x)|，则g(x)是定义在x0 Mx Wx0+h的非负连续函数，由于xx(x) =yf( , ( )d- (x) = yf (尸()dx0 x)而且f (x, y)满足Lipschitz 条件，可得xg(x)H (x)-, (x)H , f( , ( )-f( ,1- ( )d | x0 xIf( , ：( )-f( ,- ( )|d x0 xx-L xl；：( )- ( )|d =L g( )d x0, x0 x令u(x) = L f g仁)d。，则u(x)是x0 Ex x0十h的连续可微函数，且u(x0) = 0,x)0Mg (x) u(x), u (x)= L

14、g(x), u (x)三 Lu(x), (u (x) - Lu(x)ex 三 0,即(u(x)eLx) 0 ,于是在 x0 x x0 + h上,u(x)e_Lx u(x0)e_Lx0 =0故 g(x) 0,使得| f(x, y)-f(x,0) | L|y|所以方程右端函数在 y = 0的任何邻域并不满足 Lipschitz 条件.此题说明Lipschitz 条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件2)考虑一阶隐方程F(x, y, y )=0(3.12)F由隐函数存在定理，若在(x0, y0, y0)的某一邻域内F连续且F(x0,y0,y0)=0，而#0,则必可把y ：:y唯一地表为x,

15、 y的函数y： =f(x, y)(3.13)并且f (x, y)于(M, yO)的某一邻域连续，且满足y0 = f (x, y)如果F关于所有变元存在连续的偏导数，则f (x,y)对x,y也存在连续的偏导数，并且(3.14)f ：:F JF=-/ :y :y ：:y显然它是有界的，由定理1可知，方程(3.13)满足初始条件的y(x0) =0解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2如果在点(X0,yo,y0)的某一邻域中：i) F(x,y,y)关于所有变元(x,y,y)连续，且存在连续的偏导数；五)F(X0,y0,yo) u0话)干(X0, y, y)= 0- y则方程(3.12 )存在唯一的解

16、y=y(x) | x-x0 |h(h为足够小的正数)满足初始条件y(x0) = y0,y (x0) = y0(3.15 )1、近似计算和误差估计求方程近似解的方法一一Picard的逐次逼近法0(x) = y0n(x) -y0 x f ( , *()d x0 x x0 hx0对方程的第n次近似解Q(x)和真正解中(x)在|x-x0 |Eh内的误差估计式MLnn 1(3.16 )n(x)- ：(x)|hn1(n 1)!此式可用数学归纳法证明.x| 0(x)- (x)|三 |f( , ( )|d M(x-x0)Mh x0设有不等式 n 4n 4| 2)- ：(x)|E*(x-x0)n -hnn!n!

17、成立，则.MLn /、n1 . ML(x -%)(n+1)!(n+1)!hn 1X| ；(x)- (X) | x| f( , ( )-f()|dx0XML | ()-()|dE x0Xn!(-x)ndX0例1讨论初值问题y(0) = 0dy二x dx解的存在唯一性区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解，其中,R: -1 _x_1,-1_y_1.解 M =(mgXj f (x, y | = 2,a =1,b =1,h = min a,1 阡,一 一一,由于|=|2y|E2= L,根据误2二 y差估计式(3.16)| n(X)- ：(X)|MLn h(n 1)!(n 1)!:二

18、0.05可知n =3.于是0(X) = 0i(X)= 0X202(X)dX = 33x o oX2(x) = ：0 x1 (x)dx =-7X+63X OO3(x) = .0 x2(x)dx =3711工人，.15X363 2079 59535. 1Q(x)就是所求的近似解，在区间-Mx上，这个解与真正解得误差不超过0.05.2 2 解的延拓上节我们学习了解的存在唯一性定理，当 dy = f (x, y)的右端函数f (X, y)在R上满足解的存 dxdy = f (x, y)在性唯一性条件时，初值问题(dx ,的解在|x-x0|Wh上存在且唯一.但是，这个定理的结V。=y(x)果是局部的，也

19、就是说解的存在区间是很小的.可能随着f(x, y)的存在区域的增大， 而能肯定的解得 存在区间反而缩小。例如，上一节的例1,当定义区域变为R：-2wxw2,2wy W2时，.2、1“ 1M =8,h=min2, 解的范围缩小为|xx0区一.在实际引用中，我们也希望解的存在区间844能尽量扩大，下面讨论解的延展概念，尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部 的变成大范围的.1、饱和解及饱和区间定义1对定义在平面区域G上的微分方程dy=f(x,y)(3.1)dx设y =9(x)是方程(3.1)定义在区间I1UR上的一个解，如果方程(3.1)还有一个定义在区间I2匚R上的另一解y=W(

20、x),且满足(1) I1 = I2 ；但是 I1 日2(2)当xW I1时，平(x)三中(x)则称y =(x), xw I1是可延拓的，并称 y=W(x)是y = 邛(x)在心上的延拓.否则如果不存在满足上述条件的解y =W (x),则称y =P(x), x W I1是方程(3.1)的不可延拓解或饱和解，此时把不可延拓解的区 间I1称为一个饱和区间.2、局部李普希兹条件定义2若函数f (x, y)在区域G内连续，且对G内每一点P,都存在以P点为中心，完全含在G 内的闭矩形域Rp,使得在Rp上f(x, y)关于y满足李普希兹条件(对于不同的点，闭矩形域Rp的大小和李普希兹常数 L可能不同)，则称

21、f(x, y)在G上关于y满足局部李普希兹条件.定理3 (延拓定理)如果方程 dy = f (x, y)的右端函数f (x, y)在(有界或无界)区域 G亡R2上 dx连续，且在关于y满足局部李普希兹条件，则对任意一点(x0, y0) w G ,方程 电=f (x, y)以(x0,y0)dx为初值的解邛(x)均可以向左右延展，直到点(xW(x)任意接近区域G的边界.以向x增大的一方来说，如果y =邛(x)只能延拓到区间上，则当xt m时，(xW(x)趋于区域G 的边界。证明V(xo, y0)亡G ,由解的存在唯一性定理，初值问题(1)dy=f(x,y)y0 - y(x0)存在唯一的解y = P

22、(x),解的存在唯一区间为| x x05h0.取x1 =x0+h0,yi =中()，以(x，yi)为中心作一小矩形 Ri WG ,则初值问题dy =f (x, y)dx 一”(2)yi = y(xi)存在唯一的解y =W(x),解的存在唯一区间为|xx11Mhi.因为中(x1)=中(x1),有唯一性定理，在两区间的重叠部分应有中(x)=中(x)，即当x1-h1E x Ex1时平(x)=中(x).定义函数.(x),xo - ho x *(x)看作方程(3.1)的解y=(x)在定义区间|x%1Eh。的向右延拓，延拓到更大区间x0 ho x Ex。+% + %.同样的方法， 也可把解y=(x)向左延

23、拓.这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去，最后将得到一个解y (x),不能再向左右延拓了 .这个解称为方程(3.1)的饱和解.推论1对定义在平面区域G上的初值问题dy = f (x, y)dx I ” 其中(x,y)WG yo =y(x。)若f(x, y)在区域G内连续且关于y满足局部Lipschtiz条件，则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论2 设y = Rx)是初值问题dy = f(x y) ：G.推论3如果G是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)通过(x0, y0)点的解y =中(x)可以延拓，以向x增大(减小)一方的延拓来说，有以下两种情况：(1)解y =平(x

24、)可以延拓到区间 风，收)(或(-=0,%)；(2)解y=%x)只可延拓到区间xo,m)(或(m,xo),其中为有限数，则当xt m时，或者y=P(x)无界，或者点(xW(x)T cG.dyy2 -1例1讨论万程 =$一分别通过点(0,0)和点(ln 2,-3)的解的存在区间.dx 2y2 -1解 此万程右端函数f (x, y)=-在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理2的条件.易知方程的通解为1 cexy X1 -ce故通过点(0,0)的解为y =(1eX)/(1+eX),这个解的存在区间为一比 x 十 ;通过点(ln 2,-3)的解为y =(1+eX)/(1ex),这个解的存

25、在区间为 0 x0上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域G (右半平面)是无界开域，y轴是它的边界 易知问题的解为y=xlnx,它于区间0 x收 上有定义、连续且当xt 0时，yT 0 ,即所求问题的解向右方可以延拓到十看,但向左方只能延拓到 0,且当xt 0时积分曲线上的点(x, y)趋向于区域G的边界上的点.例3考虑方程dy=(y2 -a2)f(x, y),假设f(x,y)和fy(x, y)在xoy平面上连续，试证明：对 dx于任意x0及y0| aa,方程满足y(x0) =y0的解都在(-,依)上存在.证明根据题设，易知方程右端函数在整个xoy平面上满足解的存在唯一性定理及解的

26、延拓定理的条件.又y = a为方程在(一叫+s)上的解，由延拓定理可知，对Vx0 ,| y0 | a ,满足y(x0) = y0的解 y = y(x)应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，y = y(x)又不能穿过直线 y = a,故只能向两侧延拓,而无限远离原点，从而解应在(-o, +=c)存在.注：如果函数f (x, y)于整个xoy平面上定义、连续和有界，同时存在关于 y的一阶连续偏导数，则方程(3.1)的任一解均可以延拓到区间一组x十.练习 试证对任意x0 , y0,方程包=-22满足初始条件 y(x0)=y0的解都在(-,收)上dx x y 1存在.dy 二 f(xy) 在初值问题d

27、x f(x,y)、。二 y(%) 3解对初值的连续性和可微性定理中我们都是把初值(x0, y)看成是固定的数值，然后再去讨论方程dy=f (x, y)经过点(x0, y)的解.但是假如(x, y)变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是 dx=y时，方程y = y的解说初值问题的解不仅依赖于自变量x ,还依赖于初值(x0, y0).例如：f (x, y)是y=cex,将初始条件y(x) =y带入，可得y = 丫a,告.很显然它是自变量 x和初始条件(比，丫0)的dy = f (x. V)函数.因此将对初值问题d dx的解记为y =9(x, x0, y),它满足y0 =9(x0, x0, y0

28、).y0 = y(%)当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件y(xo) = y0的解是唯一的，记为y =?(x, Xo, y0),则在此关系式中,(x, y)与(xo, yo)可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式yo = (xo,x, y)证明 在方程(3.1)满足初始条件y(xo) = yo的解的存在区间内任取一点为，显然yi =平(xi, %, y。,)则由解的唯一性知，过点(不，)的解与过点(x, y)的解是同一条积分曲线，即此解 也可写为y 二q

29、：(x,x，yi)并且，有yo =tp(x,xi,yi).又由(xi, yi)是积分曲线上的任一点，因此关系式yo =*(x0,x,y)对该积分 曲线上的任意点均成立.2 、解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差.有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当(xo, yo)变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前， 我们先来看一个引理：引理：如果函数f (x, y)于某域D内连续，且关于y满足Lipschtiz条件(Lipschtiz常数为L),则

30、对方程(3.i )的任意两个解 中(x)及中(x),在它们公共存在的区间内成立着不等式| 平(x)川(x)田中(xo)(xo) | eL2( 3.i7 )其中xo为所考虑区域内的某一值.证明 设9(x),中(x)于区间a Wx Mb上均有定义，令V(x) = (x)(x)2, a - x - b则V (x) =2 (x)(x) f(x, :)- f(x,1-)于是 V (x) V (x)|=2| ；(x)(x)| f(x, ) - f(x,1- )| 2LV(x)V 虫-2LV(x)e = Lx o从而立(V(x)eLx)三odx所以，对Vx0a,b,有V(x) V(Xo)e2L(xJ0),X

31、0 x b对于区间a x xo ,令xt,并记Xo Eto,则方程(3.1)变为dy - - f (-t,y) dx而且已知它有解y =(_t)和y =中().类似可得 V(x) V(x0)e2L(x -),a x x0因此，V(x)V(xo)e2L|xP|,aMxb,a xo b两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设f(x, y)在区域G内连续，且关于 y满足局部李普希兹条件，如果(,yo)wG ,初值问题dy = f (x, y)一d dx有解y =9(x, %, yo),它于区间a o ,yo = y(xo)2 一.22三每二6

32、(苒a,b) a。，使得当( - xo) + (Yo - yo)刍 时，万程(3.1)满足条件y(x0)=yo的解y =(x,xo, yo)在区间a x b上也有定义，并且有：(x,xD,yo) - (x,xo,yo)| - ,a x0,iE P = d(cG,S),n =min(S, P/2),L = max(L,IMLN),则以 S上的点为中心，以“为半径的圆的全体及其边界构成包含S的有界闭域 D u G仁G ,且f (x, y)在D上关于y满足 Lipschitz 条件,Lipschitz 常数为 L .第二步：证明*=6(名ab,)50。，使得当(又。一x02+一(y0 -y0)出2时

33、，解 y =(x) =P(x,xo, yo)在区间a Ex Wb上也有定义.由于D是一个有界闭域，且f (x, y)在其内关于y满足Lipschitz条件，由解的延拓定理可知，解 y =W(x) =%x,x0,yo)必能延拓到区域D的边界上.设它在D的边界上的点为(c川c )打 (dW(d), cd,这时必有ca,d b,由引理有| Xx)- (x)|_| ；(xo)二(xo)| e- c x0存在，使当|x -Xo怪&2时有即(x)邛(Xo)|6i ,2222取 d =min( 61,62),则当( x。)2 +(y0 y。)2 M 62 时就有1| ;：(x) -1- (x)|2|(X0)

34、：(X0)|2e2L12三卜(又)(%)1 T：(x。),：(Xo)|)2e2L11M2(| 二伉)-:(X0)|2 | 1x0) J (X0) |2)e23(3.18)22、 2L(b_a):二 2(-1 | y0 -y01 )e2 2L(bx)2_ 4、1 e =(c - x _ d)于是对一切xec,d,| P(x) -V(x)|n成立，特别地有| ；(c)仁)卜：，| ；(d)，(d)|；即点(c,(c)和(d,中(d)均落在域D的内部，这与假设矛盾，故解y=W(x)在区间a,b上有定义.第三步证明|甲(x)-中(x) | a a W x Wb .在不等式(3.18)中将区间c,d换成

35、a,b,可知当(x0 -X0)2 +(y0 y0)2 52 时,就有(x,X0,y0) - (x,%, y0)：二 一 ；,a Exb.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数f (x, y)在区域G内连续，且关于y满足局部李普希兹条件，则方程(3.1) 的解 y =q(x,x0, y0)作为x, M, y0的函数在它的存在范围内是连续的证明 对V(x0, y0) e G ,方程(3.1)过(x0,y0)的饱和解y =0, ma 0,使得当(XoXo) +(yo yo)电时，1cp(X, Xo,yo)-中(X, Xo, yo) -,a X 。，使得当|

36、X x怪时有卬(x,Xo,y0)中(x,Xo,y0) 2,X,xwa,b2、2、22取 5 =min(3i,%),则只要(x x) +(x-x) +(y-y)就有(X,Xo,yo) 一(X,Xo,yo)-I (x,Xo,yo) - (x,Xo,yo) | | (x,Xo,yo) - :(x,Xo,yo) | z , z 0, 36 =每（露a, b） a0 ,使得当/_、2 一 、22.2(xo - xo)(y0 - y0) ,(- 0 ,0) 一。时，方程(3.19)通过点(X0,y0)的解y = 9(x,xo,yo1J在区间aMxMb上也有定义，并且(x,xo，yo, ) - (x,Xo, yo, o)二；,x a,b5、解对初值和参数的连续性定理设函数f(x,y,九)在区域G；内连续，且在G；关于y一致地满足局部李普希兹条件 ，则方程(3.19) ftj的解y =5(x,xo,yo,*J作为x,x0, y,九的函数在它的存在范围内是连续的.6、解对初值的可微性定理如果函数f(x,y)以及、f (x,y)都在区域G内连续，则对初值问题 jdx =人的解 Ayo = y(xo)y =9(x,xo,yo)作为x,x0,yo的函数，在它有定义的范围内有连续可微的证明 由.(x, y)在区域G内连续