常微分方程第11讲

1、3.4 奇 解 一、包络 二、奇解 三、克莱罗(Clairaut)方程一、包络定义1：对于给定的一个单参数曲线族： 其中为参数.若存在一条曲线满足下列条件:(1) (2) 对任意的 存在唯一的使得且与在有相同的切线.则称为曲线族的一条包络线,简称为包络.例如，单参数曲线族：（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆. 如图R从图形可见,此曲线族有包络:y=R 和 y= -R .但是,并不是每个曲线族都有包络.例如: 单参数曲线族:(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图从图形可见, 此曲线族没有包络.问题:对于给定的单参数曲线族: 其中为参数.如何判断它是否有包络?如果有

2、包络, 如何求?根据定义, 假设该单参数曲线族有包络则对任意的存在唯一的使得于是得到对应关系:从而得到二元函数使得若可用参数形式表示为:记则于是,任取一个固定点M, 则M在某一条曲线上. 由于与现在在M点有相同的切线,因为与在M点的切线的斜率分别为与所以, 有从而由于在上不同的点也在不同的上,即因此因此, 包络线任意一点M不仅要满足而且还要满足定义2:把联立方程组:中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线称为曲线族的c-判别曲线定理1(包络的必要条件):设及其各一阶偏导数是(x,y,c)的连续函数,且有连续光滑的包络,则包络必位于的c-判别曲线中.注:的包络是c-判别曲线, 但c-判

3、别曲线未必是包络.因此从c-判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为的包络,尚需按定义作进一步的验证.例1:的包络.解:记则消去参数c, 得于是和是两支c-判别曲线.经验证,和是的包络.例2:求直线族:的包络.这里是参数,是常数.解:记则消去参数得的c-判别曲线:经验证是曲线族的包络.如图:Oxy例3:求曲线族的包络.解:记则消去参数c:由(2)得(3)代入(1),得化简得于是,的两支c-判别曲线为:将代入(2), 得于是得到一支c-判别曲线将代入(2), 得另一支c-判别曲线显然,考察因为对任意的则有解之得,对切线不存在;对在点的切线的斜率为所以不是的包络;考察对任意的则有因为所以于是,在点的

4、切线的斜率为所以是的包络.xyO二、奇解定义3：对于一阶微分方程 F（x,y,y）=0. 如果存在一条曲线满足下列条件：(1)为方程的一条积分曲线;(2)上每点处至少还有另外一条积分曲线经过,且两者在该点相切.则称曲线(即积分曲线)为方程F(x,y,y)=0 的一条奇积分曲线, 所对应的解称为奇解.注:方程F(x,y,y)=0 的奇解是这样的一个解,使的在它上面的每一点处,存在唯一性不成立.问题:给定一个具体的微分方程F(x,y,y)=0, 如何求它的奇解呢?结果:对于一阶微分方程F(x,y,y)=0,设是它的通解.如果积分曲线族的包络存在,则包络就是方程F(x,y,y)=0的一条奇积分曲线,

5、即所对应的解就是方程F(x,y,y)=0的奇解.例4:求微分方程的奇解.解:令求得它的通解为:令消去参数c,得到和经检验:不是的包络,从而不是方程的奇解(实际上不是方程的解);是的包络,从而是方程的奇解.问题:能否不通过求方程F(x,y,y)=0的通解,而由方程F(x,y,y)=0本身求的奇解呢?由隐方程的存在唯一性定理(p76):对于如果但则初值问题:在(h为足够小的正数)上存在唯一解.因此,方程F(x,y,y)=的奇解,如果存在的话,必含在从方程组:消去参数p而得到的曲线中.定义4:对于微分方程F(x,y,y)=0, 从方程组:消去参数p而得到的曲线称为方程F(x,y,y)=0的p-判别曲

6、线.定理2:设F(x,y,p)及其各一阶偏导数是(x,y,p)的连续函数.若微分方程F(x,y,y)=0有奇积分曲线, 则它必含在F(x,y,y)=0的附注:p-判别曲线中.从方程F(x,y,y)=0中分解出来的一支或数支曲线是否为方程F(x,y,y)=0的奇积分曲线, 即奇解, 需要作进一步验证: 该支曲线是方程F(x,y,y)=0的积分曲线; (2) 该曲线上任一点处至少还有F(x,y,y)=0的另外一条积分曲线经过,且两者在该点相切. 如果(1)不成立,则该支曲线根本就不是积分曲线;如果(1)成立, 而(2)不成立,则该支曲线仅是一般的积分曲线,不是奇积分曲线只有当(1)和(2)同时成立

7、时,该支曲线才是奇积分曲线,即奇解.进一步,可以证明:定理2*:奇解必须同时适合方程组:并且只有当上述三个方程之一,比如是其它两个方程的结果时,奇解才有可能存在.例5:求微分方程的奇解.解:令消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线即可以证明, 和是方程的奇解.例6:求微分方程的奇解.解:令消去p: 得到p-判别曲线:即和经验证: 是方程的奇解;而不是方程的奇解,实际上,它不是方程的解.xyO三、克莱罗（Clairaut）方程定义5：形如的方程，称为克莱罗（Clairaut）方程.其中是的已知连续可微函数.这是就y已解出的一阶微分方程.为求它的解,令得两边对x求导,并以代入,即得经化简,得如

8、果则得到于是, Clairaut方程的通解为:如果它与等式联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的一个解:如果令则或其中c为参数.因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.并且可以证明, 此参数曲线恰为通解的包络结果:Clairaut方程的通解是一直线族,此直线族的包络或是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.例7:求解方程解:这是Clairaut方程, 因而它有通解:其中因为所以从中消去参数c,得到原方程的奇解:故, 此方程的通解是直线族:而奇解是通解的包络:如图:xyO例8:求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2.xyoA(a,0)B(0,b) 设所求的曲线的切线方程为按条件, 有而消去a,b 得到或这是Clairaut方程,