大学高等数学经典课件11-2

1、第二节 常数项级数的审敛法一.正项级数及其审敛法 一般的常数项级数,它的各项可以是正数,负数,或者为零.现在我们先讨论各项都是正数或零的 级数,这种级数称为正项级数.正项级数特别重要,许多级数的收敛性问题可归结为正项级数的收敛性问题 设级数 u1+u2+un+. (1) 是一个正项级如果数列Sn有界,即Sn总不大于某一常数M,根据数(ui0),它的部分和为sn.显然数列Sn是一个单调增加数列:s1s2.Sn.单调有界的数列必有极限的准则,级数(1)必收敛于和S,且SnS0,所以对任意nN都有定理1 正项级数收敛的充分必要条件证明: 必要性,设级数收敛,于是数列Sn存在极限,根据收敛数列的有界性

2、,知道Sn有界.可见数列Sn是单调增加,又根据充分性假设,数列Sn有上界.收敛由单调有界数列必存在极限的定理,知极限存在,从而级数例1 证明级数证明:这是一个正项级数,其部分和为故Sn有界,所以原级数收敛.我们可用Sn近似代替S并可达到任意精确的程度,而 求无穷级数的部分和Sn的表达式及和 往往是很困难的.但是,如果知道数值级数收敛,有限项数值之和Sn总是可以计算的.由此看来,首先判别级数的敛散性是很重要的.本讲介绍一系列的判别数值级数敛散性的方法.定理2 (比较审敛法) 设有两个正项级数 注意: 在比较审敛法中,我们用 需要判别的级数通项 和已知收敛(或发散)的级数通项进行比较. 常用级数的

3、前二个我们已经证明过,第三个级数收敛收敛等阶于 积分积分判别法(定理):设f(x)在x1时非负且单调是利用积分判别法证明的.现在我们把积分判别法作 一个说明:下降,令un=f(n), n=1,2,3,则正项级数解:例3 判别下级数的敛散性解: 比较法的特点是要找出一个已知收敛性的由P-级数(p=21)的收敛性和比较法,知道题的级数来进行比较.这里我们选择P级数级数收敛.如果定理3(比较法的极限形式) 设有两个正项级数和且bn0,例4 判别下级数的敛散性解:例5 证明下级数是发散的所以上述级数发散.解:例6 判别级数的收敛性解:例7 判别级数的收敛性解:下面介绍由级数本身的通项表达式进行判别.为

4、正项级数,且定理4(比值审敛法) 设证明:(1)因为1,可取一个适当的正数,使得+=r1,可取一个适当的正数,使得-1.发散即nm时,级数的项逐渐增大,从而由级数的收敛的必要条件,知根据极限定义,当nm时,有(3)当=1时级数可能收敛可能发散.但我们知道,当p1时级数收敛; p1时级数发散,定理4又称为达朗贝尔判别法例如p级数(2),不论p为何值都有只有=1时,不能判别级数的收敛性.例8 证明下级数是收敛的,并估计以级数的部分解:和Sn代替和S所产生的误差?(取n=6,7)可见,项数越大,误差越小.例9 判别级数的收敛性分析:根据比值审敛法可知道所给的级数发散.请判断其敛散性先判断是否正项级数

5、是正项级数.用比值判别法的极限形式判断不能断定,用比值法例9 设给定由于是单调递增函数.所以xn0(n=1,2,.)定义2 如果交错级数(1)通项的un单调递减趋于零,则称 (1)为莱布尼兹型级数即unun+1(nN)定理7 莱布尼兹型级数必收敛同时证明: 先证部分和数列的偶数子列S2n收敛,由条件知 u1 - u20, u3 - u40,. u2n-1 - u2n0 故S2n - S2(n-1)=u2n-1 - u2n0从而S2n单调增加,又S2n+1=u1 - (u2 - u3) - . - (u2n - u2n+1)u1所以S2n有上界,根据定理,它收敛.推论1 莱布尼兹型级数之和S非负

6、且不大于第一项,的绝对值不大于原级数以n+1项的绝对值,即 要un0,(n)这一条件,我们可用求极限的方法来处理.这两个推论给出了莱布尼兹型级数之和和余项的近似估计即有0Sa1推论2 莱布尼兹型级数余项对于另一条件unun+1 通常有三种方法: (1)比值法,看un+1/un是否小于1. (2)un - un+1是否大于0.(3)由un找出一个连续可导函数f(x),使un=f(x), n=1,2,)考察 f (x)是否小于0.收敛证明:是莱布尼兹型级数,它收敛例8 试证莱布尼兹型级数的收敛性;余项误差小于10-5分析:所以它是莱布尼兹型级数例9 判别级数应该取多少项三 绝 对 收 敛 审 敛

7、法定义3 如果数值级数各项可任取正负号,则称该级数为任定理8(绝对收敛审敛法) 设绝对值级数则原级数必收敛收敛,意项级数(或变号级数).任意项级数各项的绝对值构成的级数称为绝对值级数证明定义4 如果对于变号级数定理8告诉我们项级数审敛法,去判别其绝对值级数的收敛性.当绝对值的收敛性,可先用正条件收敛.发散,则称收敛而若收敛时,则称原变号级数绝对收敛;当(1)判别变号级数级数收敛时,由定理8可知,原级数必收敛且绝对收敛;如果绝对值级数发散时,原级数可能是条件收敛.但其绝对值级数是发散的所以莱布尼兹型级数是条件收敛的.由此绝对莱布尼兹型级数是收敛的,(2)如果使用的比值(或根值)审敛法,判断绝对值

8、级数是值级数发散得不到原级数发散的结论. 发散的那么,和它对应的原级数一定发散,因为用这两种方法推断绝对值级数发散的理由是un0. (3).判别任意项级数的收敛性,要进一步讨论绝对收敛和 在给出绝对收敛级数的另一性质以前,我们先讨论级数 条件收敛定理9 绝对收敛级数经过改变项的位置后构成的级数也收敛,且与原级数有相同的和(即绝对收敛级数具有可交换性)的乘法运算设级数un和vn都收敛,仿照有限项之和相乘的规则,作出这两个级数的项所有可能的乘积ui vk (I,k=1,2),这些乘积就是这些乘积可以有很多的方式把它们排列成一个级数.例如可按:“对角线法或按“正方形法”排列对角线法: u1v1; u

9、1v2 u2v1; u1v3,u2v2,u3v1;.正方形法: u1v1; u1v2,u2v2,u2v1; u1v3,u2v3,u3v3, u3v1,u3v2; .把上面排列好的数列用加号相连,就组成无穷级数,我们称按“对角线法“排列所组成的级数 (u1v1)+( u1v2 u2v1)+( u1v3,u2v2,u3v1)+.为两级数un和vn的柯西乘积也是绝对收敛的,且其和为S都绝对收敛,其和分别为S和,则它们的柯西乘积定理10(绝对收敛级数的乘法) 设级数和证明:如果把级数(5)的括号去掉后,所成的级数如果级数(6)绝对收敛且其和为,则由收敛级数的基本性质4及比较审敛法可知,级数(5)也绝对

10、收敛且其和为.因此只要证明级数(6)绝对收敛且其和= S.则,显然有 由此可见单调增加数列m不超过定数AB,所以级(1)先证明级数(6)绝对收敛. 设m为级数(6)的前m项分别取绝对值后所作成的和,又设数(6)绝对收敛. (2)证明级数和=s 把级数(6)的各项位置重新排列并加上括号使它称为按因此“正方形法”排列所组成的级数 (u1v1)+(u1v2,u2v2,u2v1)+(u1v3,u2v3,u3v3,u3v1,u3v2)+ (7)根据定理9及收敛级数的基本性质4可知,对于绝对收敛级数(6),这样做法是不会改变其和的,容易看出,级数(7)的前n项的和恰好为例10 判别下列级数的收敛性分析:(

11、1)绝对收敛(2)当p0时题设级数发散当p0时,其绝对值级数为p-级数.p1时,p级数收敛,它是绝对收敛;0p1时,p级数发散,但它为莱布尼兹型级数,条件收敛.,判断其敛散性所以原级数收敛例1 设级数例2 判断级数的敛散性因为本级数与P级数接近,用比较法用比值比较法不能判断由P-级数知原级数发散例3 判断级数的敛散性分析:级数收敛例4 请判断级数的敛散性解:把原级数变形后再判断其敛散性可用数学归纳法可证明它的通项为是正项级数原级数收敛例5 判断级数的敛散性解:给定的级数为正项级数,用比值比较法显然不行,又找所以原级数发散 由此可见:积分判别法是把正项级数与相应的广义积分不到恰当的级数与它比较,但通项un=1/nln