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文档简介

1、1第十二讲常微分方程数值解法2第十二讲主要知识点欧拉（Euler）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形法的预估校正法欧拉法的收敛性龙格库塔方法、线性多步法、预估校正法*。一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法*3问题的提出在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解是常见的。本章着重讨论一阶方程初值问题的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解，其基本思想是完全一样的解初值问题有多种解析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。初值问题的数值解法，就是寻求方程的解在自变量的一系列离散节点上的近似值。4问题的提出(续1)初值问题5问题的提出(续2)相邻两节点

2、间的距离 称为步长，通常在计算上采用相等的步长 ，这时等距节点 ， 初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按递推方法由已知的 求出 。所以，初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。6问题的提出(续3)将微分方程两端从到积分，得这样，求原初值问题式的解，转化为求问题式的解,利用各种求积公式就可以得到一些求的近似公式。 7Euler 方法(推导2）差商方法8Euler方法数值积分方法9Euler方法(续)数值积分方法10隐式Euler方法向后差商11二步Euler方法中心差商12梯形公式13梯形公式(续)梯形公式(见上页)，实际上是Euler方法和隐式E

3、uler方法的算术平均。梯形公式的精度为二阶。例：用梯形公式求下列初值问题的解在 14改进的Euler方法改进的Euler方法为Euler方法和梯形公式的结合，也称作预估-校正法。15改进的Euler方法(续1)嵌套形式16改进的Euler方法(续2)17局部截断误差称一种数值方法是p阶的，如果其局部截断误差为 。Euler方法和隐式Euler方法的精度是一阶的。二步Euler方法的精度是二阶的。18龙格-库塔方法改进的Euler方法也可写成19二阶龙格-库塔方法20二阶龙格-库塔方法(续1)要使二阶方法的局部截断误差为 ，四个系数值应满足下列关系式：21二阶龙格-库塔方法(续2)特例1： 22二阶龙格-库塔方法(续3)特例2：23三阶龙格库塔方法24四阶龙格库塔方法25例题分析26两点说明27变步长的龙格库塔方法28公式29线性多步法30线性多步公式的导出31线性多步公式的导出(续1)32线性多步公式的导出(续2)33线性多步公式的导出(续3)34线性多步公式的导出(续4)35线性多步公式36常用的线性多步公式37常用的线性多步公式(续)38利用数值积分方法求线性多步公式39利用数值积分方法求线性多步公式(续1)40利用数值积分方法求线性多步公式(续2)41利用

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