2022年三角函数的诱导公式教案

1、名师精编 优秀教案三角函数的诱导公式 第 1 课时 教学设计说明一、 教学背景分析1. 教材的位置和作用本节教学内容是4 组三角函数诱导公式的推导过程及其简洁应用；承上,有任意角三角函数正弦、余弦和正切的比值定义、三角函数线、同角三角函数关系等；启下,同学将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简,以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容；同时,同学在中学就接触过对称等学问,对几何图形的对称等学问相当熟识；这些构成了同学的学问基础；诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数,表达了把一般化特别、复杂化简洁、未知化已知的数学思想；2. 目标定位诱导公式可以帮忙

2、我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数,但是随着运算器的普及,上述意义不是很大；我们认为,诱导公式的教学价值主要表达在以下几个方面：第一,感受探究发觉,通过几何对称这个讨论工具,去探究发觉任意角三角函数间的数量关系式,即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示；其次,学会初步应用,能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题并求解；第三, 领会思想方法, 在诱导公式的学习过程中领会化归、数形结合等思想方法；第四,积存数学体会, 为同学熟识任意角三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是讨论现实世界中周期变化现象的“ 最有表现力的函数” 做好预备；

3、为此,我们制定了本节的教学目标（详见教案）二、教学设计分析,以及本节课的教学重、难点；在进行本课教学设计时,有以下两条典型教学路线可供挑选：（1）两个角的终边有哪些特别的对称关系？（2）怎样把非第一象限的角转化为第一象限的角？我们最终挑选了第一条路线,主要基于以下两点考虑；1. 敬重教材的编写方式；从对教材的分析来看,苏教版教材将三角函数作为一种数学模型来定位,力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系,从而统整各组诱导公式；教材的编写处理表达了教材专家的集体聪明和版本教材的一贯特色,老师应当努力体会和把握,不宜轻率抛开教材另搞一套；2. 切合同学的认知水平；利用同学熟识的圆及其对称性讨论

4、三角函数的相关性质,符合同学的认知心理；同时,单位圆及其对称性的表象对同学推导诱导公式、懂得公式之间的内在联系、形象记忆三角函数诱导公式都将起到事半功倍的成效；三、教学过程分析基于以上分析,我们确定了如下的本节课教学路线图：角间关系对称关系坐标关系三角函数值间关系环绕这个教学路线 （当然也是同学的讨论路线）,我将教学分成6 个环节并设计成问题名师精编 优秀教案串的形式,通过这些问题解构教材,让同学学习数学学问,培育数学才能,体会数学思想,积存数学体会；1. 问题提出【教学支配】如何将任意角三角函数求值问题转化为【问题 1】求 390 的正弦、余弦值；0 360 角三角函数求值问题；【设计意图】

5、 前面的学习中, 已经将角的概念从锐角扩充到了任意角,学习了任意角三角函数的定义, 接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求；于是, 先支配求特别值再过渡到一般情形比较符合同学的身心特点和认知规律,意在培育同学从特别到一般归纳问题和抽象问题的才能,引导同学在求三角函数值时抓坐标、抓角终边之间的关系；同时,首先考虑 +2k （kZ）与 的三角函数值之间的关系,有助于同学懂得三角函数被看成刻画现实世界中周期性变化的数学模型的准确含义；2尝试推导【教学支配】如何利用对称推导出角 与角 的三角函数之间的关系；【问题 2】你能找出和 30 角正弦值相等,但终边不同的角吗？【设计意图】 对问题 2 的

6、提问方式的设计主要是考虑到我们在讨论问题的时候经常会研究它的逆命题、否命题、等价命题等；事实上问题2 可以看成是“ 如两个角的终边相同,就它们的正弦值相同” 的逆命题,即“ 如两个角的正弦值相同,就两个角的终边相同”；但这里是以问题的形式提出的,实际上教会了同学一种自己讨论问题的方法；在得出角 与角 的三角函数之间的关系后,提出：摸索请大家回忆一下,刚才我们是如何获得这组公式 公式二 的？【设计意图】 阶段小结, 让同学将对称作为讨论三角函数问题的一种方法使用；将上述讨论过程进行梳理,得出“角间关系对称关系坐标关系三角函数值间关系”的讨论路线图；3自主探究【教学支配】如何利用对称推导出 + ,

7、与的三角函数值之间的关系；【问题 3】两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论？两个角的终边关于原点对称呢？【设计意图】 从两个角的终边关于 y 轴对称的情形进行自然过渡,给同学留下了自主探究的空间, 让他们再次经受公式的讨论过程,从而得出公式三和四,并将问题 2 讨论方法一般化；4简洁应用【教学支配】例题的练习、讲解；【例 1】求以下各三角函数值：1 sin7 6；2 cos 60 ；（3） tan 855 ；【设计意图】 初步熟识诱导公式的使用,让同学感悟在解决问题的过程中,如何合理的使用这几组公式； 此外,引导同学留意同一个三角函数的求值问题可以采纳不同的诱导公式,启示同学这些公式的内在

8、关系和联系,体会数学方法的多样性；5回忆反思【教学支配】开放式小结；【问题 4】回忆一下,我们是怎样获得诱导公式的？讨论的过程中,你有哪些体会？【设计意图】 开放式小结, 使得不同的同学有不同的学习体验和收成；这些问题的提出,侧重于诱导公式推导方法的回忆和反思,侧重于个体情感体验的共享和表达,从而区分于侧重于公式规律的总结和记忆；6分层作业名师精编 优秀教案【教学支配】作业布置；【作业】1）阅读课本,体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；2）必做题：课本第 23 页第 13 题；3）选做题：（1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？（2）角 和角 的终边仍有哪些特别的

9、位置关系？你能探究出它们的三角函数值之间的 关系吗？【设计意图】 分层作业有利于不同层次的同学巩固学问,提升思维才能； 阅读课本旨在 引导同学教科书是学习的根本,阅读课本有利于培育同学良好的回来课本的学习习惯；而出现选做题目, 目的是供应多元化和挑战性挑选,组公式之间的内在联系；四、教后摸索分析1关于设计定位的反思促使学有余力的同学课后摸索和自主探究几就三角函数的诱导公式来说,教学设计定位时一般会显现以下几种倾向：其一, 定位于学问的学习,同学知道存在一些公式,可以将任意角的三角函数进行一些转化；其二,定位 于公式的学习, 同学努力分析和总结各组公式的形式规律,背诵“ 函数名不变, 符号看象限

10、”等口诀, 追求敏捷运用等解题才能的提高；公式懂得强过公式记忆；关于公式规律的总结和 口诀的记忆, 当然很重要, 但这不是第一节课的内容；我们可以在全部诱导公式都学习过后,再来总结不迟； 此外, 采纳本课的利用对称性的方法来学习诱导公式,可以通过图形的对称 性来形象记忆,可以减轻同学记忆负担,规避死记硬背现象的发生；其三,聚焦诱导公式的 推导过程,强调对公式产生的过程的深化懂得；其四,在关注学问学习的同时,渗透数学思 想方法的懂得和领会；本课主要涉及数形结合、从一般到特别或从特别到一般、模型思想、化归思想、 追求简易等数学思想方法；我们认为新授学问是很重要的,而数学思想方法是蕴含其中的, 应当

11、潜移默化地渗透,地过渡渲染；2关于教学难点的突破不能贴标签, 更不能由于数学思想方法的重要而喧宾夺主1）本节课的难点在于从问题2 动身,发觉关于y 轴对称的三角函数诱导公式,从而总结出讨论线路图；从对教材的分析来看,苏教版教材将三角函数作为一种数学模型来定位,力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系,这样处理的好处是简化了任意角的象限分类和化归, 起到了利用直观的对称这个工具和讨论手法去讨论诱导公式的变化规律的目的,揭示了代数和几何的有机结合和统一；2） 任意性循环上升；在这节课中,角 的任意性是一个教学难点,为此我们设置了三个点：（1）问题 2 中非 30 不行吗？任意角 行不行？（2

12、）几何画板拖动演示感受角 的任意性；（3）习题中进一步深化同学熟识；随着同学学习的深化,对这个问题仍会有进一步的熟识；事实上,有很多同学在一开头是将角 当成锐角去处理的,但我在教学中不过分强调角 的任意性,由于对待数学学问的教学不能一步到位,不应毕其功于一役,而应循环上升,力求顺其自然,水到渠成；3关于问题串的设置调控在本节课中, 我们将教学设计成以一以贯之的问题串形式,通过这些问题串起相互关联的数学问题,使同学学习学问,形成才能,进展认知；我们在设计过程中,尽量将问题的难易程度定位在同学的最近进展区内,问题的设计从思维的角度来说具有肯定的开放性,使得同学可以从不同的角度来摸索；问题的设计从解

13、决的难度来说具有肯定的层次性,使得不同的同学尽量情愿提出自己的见解；名师精编优秀教案并和同学形老师通过问题串的这个脚手架便于组织教学,成互动, 促进同学在学习学问的同时形成网状学问联结；织有章可循,内容推动自然而不造作,完整而不破裂；4关于教学评判分析 我们觉得本次的教学设计和同学认知水平基本吻合实践证明, 问题串的使用让教学组, 同学的参加程度较高；假如同学的基础薄弱一些,我们会做些调整,把问题的指向性更明确一些,基础性的练习增加一些；此外,在教学过程中,我们始终关注同学主体的进展；在教学中,多次通过“ 你是怎 么想的？” “ 你同意他的看法吗？为什么？” 等问话形式,暴露同学的思维,留意挖

14、掘结果产生背后的思维过程,积极引导同学参加到教学过程中来,始终把培育同学的才能和数学思维进展放在首位；我们认为, 数学教学的最终目的在于学习主体的数学进展数学学问的猎取、数学能 力的提高、数学思维的养成、数学文化的熏陶；通过学习共同体的制造性的教与学,同学一 定会到达善于摸索、善于制造的理性精神的彼岸；一. 教学目标三角函数的诱导公式 第 1 课时 1学问与技能（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）能够运用诱导公式,把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题； 2过程与方法（1）经受由几何直观探讨数量关系式的过程,培育同学数学

15、发觉才能和概括才能；（2）通过对诱导公式的探求和运用,培育化归才能,提高同学分析问题和解决问题的 才能； 3情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求,培育同学的探究才能、钻研精神和科学态度；（2）在诱导公式的探求过程中,运用合作学习的方式进行,培育同学团结协作的精神；二. 教学重点与难点教学重点 : 探求 的诱导公式； 与的诱导公式在小结 的诱导公式发现过程的基础上,老师引导同学推出；教学难点 : ,与角 终边位置的几何关系,发觉由终边位置关系导致（与单位 圆交点）的坐标关系,运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“ 讨论路线图”；三. 教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法,结合多媒

16、体课件四. 教学过程 角的概念已经由锐角扩充到了任意角,前面已经学习过任意角的三角函数,那么任意角的三角函数值 怎么求呢？先看一个详细的问题；（一）问题提出名师精编优秀教案如何将任意角三角函数求值问题转化为0 360 角三角函数求值问题；【问题 1】求 390 角的正弦、余弦值 . 一般地,由三角函数的定义可以知道,终边相同的角的同一三角函数值相等,三角函数看重的就是终边位置关系；即有：sin +k 360 = sin,kZ cos +k360 = cos,tan +k360 = tan；这组公式用弧度制可以表示成sin +2k = sin ,kZ 公式一 cos +2k = cos,tan+

17、2k = tan；（二）尝试推导如何利用对称推导出角与角的三角函数之间的关系；由上一组公式,我们知道,终边相同的角的同一三角函数值肯定相等；反过来呢？假如两个角的三角函数值相等,它们的终边肯定相同吗 .比如说：【问题 2】你能找出和 30 角正弦值相等, 但终边不同的角吗？角与角的终边关于y 轴对称 ,有sin = sin ,cos = cos ,（公式二）tan = tan ；摸索请大家回忆一下,刚才我们是如何获得这组公式 公式二 的. 由于与角 终边关于 y 轴对称是角 - ,利用这种对称关系,得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等,横坐标互为相反数；于是, 我们就得到了角 与角 的三角

18、函数值之间的关系 :正弦值相等,余弦值互为相反数,进而,就得到我们讨论三角函数诱导公式的路线图： 角间关系对称关系坐标关系三角函数值间关系；（三）自主探究如何利用对称推导出 + , 与 的三角函数值之间的关系；刚才我们利用单位圆, 得到了终边关于 y 轴对称的角 -与角 的三角函数值之间的关系,下面我们仍可以讨论什么呢？【问题 3】两个角的终边关于 的终边关于原点对称呢？x 轴对称 ,你有什么结论 .两个角角 与角 的终边关于 x 轴对称,有：sin = sin ,cos = cos ,（公式三）tan = tan ；角 + 与角 终边关于原点 O 对称,有：名师精编 优秀教案sin + = sin ,cos + = cos ,（公式四）tan + = tan ；上面的公式一 四都称为三角函数的诱导公式；（四）简洁应用例 求以下各三角函数值：7 1 sin 6；2 cos 60 ； （3）tan 855 （五）回忆反思【问题 4】回忆一下,我们是怎样获得诱导公式的.讨论的过程中,你有哪些体会. 学问上,学会了四组诱导公式；