2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第七章 7.5正弦定理与余弦定理的应用举例（word含答案解析）

1、7.5正弦定理与余弦定理的应用举例(教师独具内容)1正弦定理、余弦定理是在学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具2重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模素养(教师独具内容)1本考点是近年高考的热点，属于中档题目，以选择题、填空题、解答题形式出现，命题的重点是三角形中基本量的求解2主要考查两个方面：一是利用正、余弦定理求解与距离、高度、角度等有关的实际应用问题；二是利用正、余弦定理解决图形问题(教师独具内容)(教师独具内容)1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在eq o(,sup3(01)水平线上方

2、的角叫仰角，在eq o(,sup3(02)水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角：相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由eq o(,sup3(01)指北方向eq o(,sup3(02)顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由eq o(,sup3(03)指北方向eq o(,sup3(04)逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似注：区分两种角(1)方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线之间的水平夹角(2)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角4坡角与坡度(1)坡角：eq o(,sup3

3、(01)坡面与水平面所成的二面角(如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比5利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解(4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq

4、 blcrc(avs4alco1(0，f(,2).()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2).()答案(1)(2)(3)(4)2如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，则塔高为()A.eq f(400,3) mBeq f(400r(3),3) mC.eq f(200r(3),3) mDeq f(200,3) m答案A解析如图，设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B，则易得ABeq

5、f(BC,tan60)，BDABtan30eq f(BC,tan60)tan30eq f(200,r(3)eq f(r(3),3)eq f(200,3)(m)，所以CDBCBD200eq f(200,3)eq f(400,3)(m)故选A.3. 如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50eq r(2) mB50eq r(3) mC25eq r(2) mDeq f(25r(2),2) m答案A解析在ABC中，ABC30，由正弦定理得eq f(AC,sin30)eq f(A

6、B,sin45)，即eq f(50,f(1,2)eq f(AB,f(r(2),2)，所以AB50eq r(2) m故选A.4在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是南偏西30，风速是20 km/h，水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度大小为_km/h.答案6020eq r(3)解析如图，AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos1201200，故OC20eq r(3)，COy303060.1. (2021全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最

7、新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45，ABC60.由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(eq r(3)1.732)()A346B373C446D473答案B解析过C作BB的垂线交BB于点M，过B作AA的垂线交AA于点N，设BCCMm，ABBNn，在ABC中，因为ACB45，ABC60，所以CAB75，所以eq f(m,sin75)eq f(n,sin45).在C

8、BM中，eq f(m,sin75)eq f(100,sin15)，所以eq f(n,sin45)eq f(100,sin15)，解得neq f(200,r(3)1)273.所以A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为273100373.故选B.2(2021全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB()A.eq f(表高表距,表目距的差)表高B.eq f(表高表

9、距,表目距的差)表高C.eq f(表高表距,表目距的差)表距D.eq f(表高表距,表目距的差)表距答案A解析因为DEAB，所以eq f(DE,AB)eq f(EH,AH).因为FGAB，所以eq f(FG,AB)eq f(GC,CA).又DEFG，所以eq f(EH,AH)eq f(GC,CA)，即eq f(EH,AEEH)eq f(GC,AEEGGC)，解得AEeq f(EHEG,GCEH).又AHAEEH，所以ABeq f(DEAH,EH)eq f(DEAEEH,EH)eq f(DEEG,GCEH)DE.又DE为表高，EG为表距，GCEH为表目距的差，所以ABeq f(表高表距,表目距的

10、差)表高故选A.3. (2020全国卷)如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，ABADeq r(3)，ABAC，ABAD，CAE30，则cosFCB_.答案eq f(1,4)解析ABAC，ABeq r(3)，AC1，由勾股定理得BCeq r(AB2AC2)2，同理得BDeq r(6)，BFBDeq r(6).在ACE中，AC1，AEADeq r(3)，CAE30，由余弦定理得CE2AC2AE22ACAEcos301321eq r(3)eq f(r(3),2)1，CFCE1.在BCF中，BC2，BFeq r(6)，CF1，由余弦定理得cosFCBeq f(CF2BC2BF2,2CFBC)

11、eq f(146,212)eq f(1,4).4(2021新高考卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2ac，点D在边AC上，BDsinABCasinC.(1)证明：BDb；(2)若AD2DC，求cosABC.解(1)证明：在ABC中，由正弦定理，得BDbac.又b2ac，所以BDbb2，即BDb.(2)因为AD2DC，所以ADeq f(2,3)b，DCeq f(1,3)b.在ABD中，由余弦定理，得cosADBeq f(DA2DB2AB2,2DADB)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)b)2b2c2,2f(2,3)bb)；在BCD中，由余弦定理，得

12、cosBDCeq f(DB2DC2BC2,2DBDC)eq f(b2blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)b)2a2,2bf(1,3)b).因为ADBBDC，所以eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)b)2b2c2,2f(2,3)bb)eq f(b2blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)b)2a2,2bf(1,3)b)0，即eq f(11,3)b22a2c2.又b2ac，所以eq f(11,3)ac2a2c2，即6a211ac3c20，即(3ac)(2a3c)0，所以3ac或2a3c.当3ac时，由eq f(11,3)b22a2c2，得a2eq f(1,

13、3)b2，c29a23b2，即aeq f(r(3),3)b，ceq r(3)b，此时abc，ABC不存在，故3ac时不成立当2a3c时，由eq f(11,3)b22a2c2，得a2eq f(3,2)b2，c2eq f(2,3)b2，在ABC中，由余弦定理，得cosABCeq f(a2c2b2,2ac)eq f(f(3,2)b2f(2,3)b2b2,2b2)eq f(f(7,6)b2,2b2)eq f(7,12).综上，cosABCeq f(7,12).一、基础知识巩固考点测量距离、高度问题例1春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的

14、发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件如图为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37，在A处测得C处的仰角为45，在B处测得C处的仰角为53，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值约为eq blc(rc)(avs4alco1(参考数据：sin37f(3,5)()A30米B50米C60米D70米答案B解析由题意作出示意图，如图所示由已知得CAE45，BAE37，CBF53.设BDx米，则ADeq f(BD,tan37)eq f(BDcos37,sin37)eq f(4,3)x(米)，CFBCsin5350cos3750eq f(4

15、,5)40(米)，BFBCcos5350sin3750eq f(3,5)30(米)由AECE得eq f(4,3)x30 x40，解得x30.又A点所在等高线值为20米，故B点所在等高线值约为203050(米)故选B.例2几千年的沧桑沉淀，凝练了黄山清幽秀丽的自然风光和文化底蕴厚重的旅游环境自明清以来，文人雅士，群贤毕至，旅人游子，纷至沓来，使黄山成为名噪江南的旅游热点如图，游客从黄山风景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘景区观光车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘

16、观光车到B，在B处停留20分钟后，再从B匀速步行到C.假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路AC长为2340米，经测量cosAeq f(24,25)，cosCeq f(3,5).(1)求观光车路线AB的长；(2)乙出发多少分钟后，在观光车上与甲的距离最短？解(1)在ABC中，因为cosAeq f(24,25)，cosCeq f(3,5)，所以sinAeq f(7,25)，sinCeq f(4,5)，从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinCeq f(117,125)，由正弦定理eq f(AB,sinC)eq f(AC,sinB)，得ABeq f(AC,

17、sinB)sinCeq f(2340,f(117,125)eq f(4,5)2000(米)，所以观光车路线AB的长为2000米(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了(10050t)米，乙距离A处250t米，由余弦定理得，d2(10050t)2(250t)22250t(10050t)eq f(24,25)1000(41t238t10)1000eq blcrc(avs4alco1(41blc(rc)(avs4alco1(tf(19,41)2f(49,41)，因为teq blcrc(avs4alco1(0，f(2000,250)，即t0,8，所以当teq f(19,41)时，d

18、取得最小值，即乙出发eq f(19,41)分钟后，在观光车上与甲的距离最短1. (2022山东济南模拟)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80.则李明同学求出泉标的高度为(sin200.3420，sin800.9848，结果精确到1 m)()A38 mB50 mC66 mD72 m答案A解析如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端依题意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，则ABD100，故ADB180(60100

19、)20.在ABD中，根据正弦定理，eq f(BD,sin60)eq f(AB,sinADB).BDeq f(ABsin60,sin20)eq f(15.2sin60,sin20)38.5(m)在RtBCD中，CDBDsin8038.5sin8038(m)，即泉城广场上泉标的高度约为38 m.2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.答案10eq r(3)解析如图，由题意得OA30 m，AMO45，ANO60，MON30，所以OAM45，NAO30.OMAOtan4530 m，ON

20、AOtan30eq f(r(3),3)3010eq r(3)(m)，在MON中，由余弦定理得，MNeq r(90030023010r(3)f(r(3),2)eq r(300)10eq r(3)(m)3如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，测得ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，测得ADC150；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为_米答案400eq r(13)解析在ABD中，BD400米，ABD120.因为ADC150，所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理，可得eq f(BD,sinDA

21、B)eq f(AD,sinABD)，所以eq f(400,sin30)eq f(AD,sin120)，得AD400eq r(3)(米)在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400eq r(3)280022400eq r(3)800cos150400213，解得AC400eq r(13)(米)故索道AC的长为400eq r(13)米(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理(2)实际测量中的

22、常见问题考点测量角度问题例3如图，一艘海船从A出发，沿北偏东75的方向航行60海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15的方向航行30海里后到达海岛C.下次若直接从A出发到达C.(1)需要航行多少海里？(2)此船应该沿怎样的方向航行(角度精确到0.1)?参考数据：sin7.2eq f(r(7),21)，sin19.1eq f(r(21),14)，sin40.9eq f(r(21),7).解(1)在ABC中，ABC1807515120，根据余弦定理知，ACeq r(AB2BC22ABBCcosABC)eq r(60230226030cos120)30eq r(7)(海里)即需要航行30eq r

23、(7)海里(2)在ABC中，根据正弦定理知，eq f(BC,sinCAB)eq f(AC,sinABC)，所以sinCABeq f(BCsinABC,AC)eq f(30sin120,30r(7)eq f(r(21),14)，所以CAB19.1，75CAB55.9，即此船应该沿北偏东55.9的方向航行4如图，在某港口A处获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30距港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船(1)求接到救援命令时救援船距渔船的距离；(2)试问救援船在C处应沿怎样的方向前往B处救援？eq blc(rc)(av

24、s4alco1(已知cos49f(r(21),7)解(1)连接BC，由题意可知，在ABC中，AB20，AC10，CAB120.CB2AB2AC22ABACcosCAB20210222010cos120700，BC10eq r(7)，即接到救援命令时救援船距渔船的距离为10eq r(7)海里(2)在ABC中，AB20，BC10eq r(7)，CAB120，由正弦定理得eq f(AB,sinACB)eq f(BC,sinCAB)，即eq f(20,sinACB)eq f(10r(7),sin120)，sinACBeq f(r(21),7).cos49sin41eq f(r(21),7)，ACB41

25、，故救援船应沿北偏东71的方向前往B处救援(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角考点正、余弦定理在平面几何中的应用例4如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE1，ECeq r(7)，EA2，ADCeq f(2,3)，且CBE，BEC，BCE成等差数列(1)求sinCED；(2)求BE的长解(1)设CED.在CDE中，由余弦定理得EC2CD2DE22CDDEcosEDC，即7CD21C

26、D，即CD2CD60，解得CD2(CD3舍去)在CDE中，由正弦定理得eq f(EC,sinEDC)eq f(CD,sin)，于是sineq f(CDsinf(2,3),EC)eq f(2f(r(3),2),r(7)eq f(r(21),7)，即sinCEDeq f(r(21),7).(2)因为CBE，BEC，BCE成等差数列，所以2BECCBEBCE，又CBEBECBCE，所以BECeq f(,3).由题设知00，解得xeq r(3)1，因此cosBDCxeq r(3)1.5. 如图，在四边形ABCD中，已知ABBC，AB5，AD7，BCDeq f(3,4)，cosAeq f(1,7)，则B

27、C_.答案4(eq r(3)1)解析在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosA64，所以BD8，所以cosABDeq f(AB2BD2AD2,2ABBD)eq f(1,2)，因为ABDeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以ABDeq f(,3)，又ABBC，所以CBDeq f(,6)，所以sinBDCsin(BCDCBD)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)f(,6)sineq f(3,4)coseq f(,6)coseq f(3,4)sineq f(,6)eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(r(2),2)

28、eq f(1,2)eq f(r(6)r(2),4).在BCD中，由正弦定理得eq f(BC,sinBDC)eq f(BD,sinBCD)eq f(8,f(r(2),2)8eq r(2)，所以BC8eq r(2)sinBDC8eq r(2)eq f(r(6)r(2),4)4(eq r(3)1)6. (2022湖南联考)如图，在平面四边形ABCD中，0DABeq f(,2)，AD2，AB3，ABD的面积为eq f(3r(3),2)，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCDeq f(2,3)，求BC的长解(1)因为ABD的面积Seq f(1,2)ADABsinDABeq f(1,2)23s

29、inDABeq f(3r(3),2)，所以sinDABeq f(r(3),2).又0DABeq f(,2)，所以DABeq f(,3).在ABD中，由余弦定理，得BDeq r(AD2AB22ADABcosDAB)eq r(7)，由正弦定理，得sinABDeq f(ADsinDAB,BD)eq f(r(21),7).(2)因为ABBC，所以ABCeq f(,2)，sinDBCsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)ABD)cosABDeq r(1sin2ABD)eq f(2r(7),7).在BCD中，由正弦定理eq f(CD,sinDBC)eq f(BD,sinDCB)，可得C

30、Deq f(BDsinDBC,sinDCB)eq f(4r(3),3).由余弦定理DC2BC22DCBCcosDCBBD2，可得3BC24eq r(3)BC50，解得BCeq f(r(3),3)或BCeq f(5r(3),3)(舍去)故BC的长为eq f(r(3),3).求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果考点解三角形与三角函数的综合问题例6已知

31、函数f(x)cos2xeq r(3)sin(x)cos(x)eq f(1,2).(1)求函数f(x)在0，上的单调递减区间；(2)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)1，a2，bsinCasinA，求ABC的面积解(1)f(x)cos2xeq r(3)sinxcosxeq f(1,2)eq f(1cos2x,2)eq f(r(3),2)sin2xeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，令2keq f(,2)2xeq f(,6)2keq f(,2)，kZ，得keq f(,6)xkeq f(,3)，kZ，又x0，函数f(

32、x)在0，上的单调递减区间为eq blcrc(avs4alco1(0，f(,3)和eq blcrc(avs4alco1(f(5,6)，).(2)由(1)知f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，f(A)sineq blc(rc)(avs4alco1(2Af(,6)1，ABC为锐角三角形，0Aeq f(,2)，eq f(,6)2Aeq f(,6)eq f(5,6)，2Aeq f(,6)eq f(,2)，即Aeq f(,3).又bsinCasinA，bca24，SABCeq f(1,2)bcsinAeq r(3).例7已知函数f(x)eq f(r(3),2)sin2

33、xcos2xeq f(1,2).(1)求f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ceq r(3)，f(C)0，若sinB2sinA，求a，b的值解(1)f(x)eq f(r(3),2)sin2xcos2xeq f(1,2)eq f(r(3),2)sin2xeq f(1cos2x,2)eq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)1，当2xeq f(,6)2keq f(,2)(kZ)，即xkeq f(,6)(kZ)时，f(x)取最小值2，此时自变量x的集合为eq blcrc(avs4alco

34、1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(,6)，kZ).(2)f(C)0，sineq blc(rc)(avs4alco1(2Cf(,6)10，又0C，eq f(,6)2Ceq f(,6)eq f(11,6)，2Ceq f(,6)eq f(,2)，可得Ceq f(,3).sinB2sinA，由正弦定理可得b2a，又ceq r(3)，由余弦定理可得(eq r(3)2a2b22abcoseq f(,3)，即a2b2ab3，联立，解得a1，b2.7.(2021大庆模拟)已知函数f(x)sin2xcos2x2eq r(3)sinxcosx，xR.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中

35、，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)2，c5，cosBeq f(1,7)，求边a的长解(1)f(x)cos2xeq r(3)sin2x2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，令2keq f(,2)2xeq f(,6)2keq f(,2)，kZ，得keq f(,6)xkeq f(,3)，kZ，故f(x)的单调递增区间为eq blcrc(avs4alco1(kf(,6)，kf(,3)，kZ.(2)由(1)知f(A)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2Af(,6)2，sineq blc(rc)(avs4alco1(2Af(,6)1，A(0，)，2

36、Aeq f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(11,6)，2Aeq f(,6)eq f(,2)，故Aeq f(,3)，又cosBeq f(1,7)，sinBeq f(4r(3),7)，sinCsin(AB)eq f(r(3),2)eq f(1,7)eq f(1,2)eq f(4r(3),7)eq f(5r(3),14).在ABC中，由正弦定理eq f(c,sinC)eq f(a,sinA)，得eq f(5,f(5r(3),14)eq f(a,f(r(3),2)，a7.8已知函数f(x)sineq f(x,2)coseq f(x,2)eq r(3)cos2eq f(

37、x,2)eq f(r(3),2).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足c2b2eq r(3)aca2，求f(B)的取值范围解(1)f(x)sineq f(x,2)coseq f(x,2)eq r(3)cos2eq f(x,2)eq f(r(3),2)eq f(1,2)sinxeq r(3)eq f(1cosx,2)eq f(r(3),2)eq f(1,2)sinxeq f(r(3),2)cosxsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)，Teq f(2,|)2.由2keq f(,2)xeq f(,3)2

38、keq f(,2)(kZ)2keq f(,6)x2keq f(5,6)(kZ)，则函数f(x)的单调递增区间为eq blcrc(avs4alco1(2kf(,6)，2kf(5,6)(kZ)因此，函数f(x)的最小正周期为2，单调递增区间为eq blcrc(avs4alco1(2kf(,6)，2kf(5,6)(kZ)(2)由(1)知f(B)sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,3).c2b2eq r(3)aca2，c2a2b2eq r(3)ac，cosBeq f(c2a2b2,2ac)eq f(r(3)ac,2ac)eq f(r(3),2)，又B(0，)，0Beq f(,6)，

39、eq f(,3)Beq f(,3)eq f(,6)，eq f(r(3),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,3)eq f(1,2)，即f(B)的取值范围为eq blc(rc(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2).解三角形与三角函数结合问题时，三角函数的自变量往往就是三个内角，此时除了应用三角关系式外，三个内角的范围与相互之间的关系也是解题的重要依据二、核心素养提升例1某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺测得BC9 m，利用测角仪器测得仰角ACB45，测得仰角BCD后通过计算得到sinACDeq f

40、(r(26),26)，则AD的长度为()A2 mB2.5 mC3 mD4 m答案C解析设ADx m，则BD(9x) m，CDeq r(929x2) m，在ACD中，由正弦定理，得eq f(CD,sinDAC)eq f(AD,sinACD)，即eq f(r(929x2),f(r(2),2)eq f(x,f(r(26),26)，所以292(9x)226x2，即2x23x270，解得x3eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)舍去).故选C.例2如图，在限速为90 km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为0.08 km，距测速区终点B的距离为0.05 km，且

41、APB60，现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3 s，则此车的速度介于()A6070 km/hB7080 km/hC8090 km/hD90100 km/h答案C解析由余弦定理得ABeq r(0.0820.05220.080.05cos60)0.07，则此车的速度为eq f(0.07,f(3,3600)71284 km/h.故选C.数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，

42、然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养课时作业一、单项选择题1已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 kmB10eq r(3) kmC10eq r(5) kmD10eq r(7) km答案D解析由余弦定理可得AC2AB2CB22ABCBcos12010220221020eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)700，所以AC10eq r(7) km.故选D.2. 如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B

43、的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80答案D解析由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.故选D.3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D测得点A在东偏南30方向上，过一分钟后测得点B在山顶D的东偏南60方向上，俯角为45，则该车的行驶速度为()A15米/秒B15eq r(3) 米/秒C20米/秒D20eq r(3) 米/秒答案A解析根据题意得CD900，因为从D处测得点B的俯角为45，所以BC900，因为A在D东偏南30方向上，B在D东偏南60方向上，所以BAC30，

44、ACB603030，所以ABC为等腰三角形，所以AB900，由eq f(900,60)15，所以该车的行驶速度为15米/秒故选A.4在ABC中，已知ABeq r(2)，ACeq r(5)，tanBAC3，则BC边上的高等于()A1Beq r(2)Ceq r(3)D2答案A解析解法一：因为tanBAC3，所以sinBACeq f(3,r(10)，cosBACeq f(1,r(10).由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC522eq r(5)eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(10)9，所以BC3，所以SABCeq f(1,2)ABACsinBACe

45、q f(1,2)eq r(2)eq r(5)eq f(3,r(10)eq f(3,2)，所以BC边上的高heq f(2SABC,BC)eq f(2f(3,2),3)1.故选A.解法二：在ABC中，因为tanBAC30，所以BAC为钝角，因此BC边上的高小于eq r(2)，结合选项可知选A.5说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位如图，宝塔山的坡度比为eq r(7)3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在

46、山坡A处测得CAD15，从A处沿山坡往上前进66 m到达B处，在山坡B处测得CBD30，则宝塔CD的高为()A44 mB42 mC48 mD46 m答案A解析由题可知CAD15，CBD30，则ACB15，BCAB66，设坡角为，则由题可得taneq f(r(7),3)，则可求得coseq f(3,4)，在BCD中，BDC90，由正弦定理可得eq f(CD,sin30)eq f(BC,sin90)，即eq f(CD,f(1,2)eq f(66,cos)eq f(66,f(3,4)，解得CD44，故宝塔CD的高为44 m故选A.6岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中

47、国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作岳阳楼记使得岳阳楼著称于世自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得DAC30，DBC45，AB14米，则岳阳楼的高度CD约为(eq r(2)1.414，eq r(3)1.732)()A18米B19米C20米D21米答案B解析在RtADC中，DAC30，则ACeq r(3)CD，在RtBDC中，DB

48、C45，则BCCD，由ACBCAB得eq r(3)CDCD14CDeq f(14,r(3)1)7(eq r(3)1)19.124，故岳阳楼的高度CD约为19米故选B.7甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60方向上的一点B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的eq r(3)倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东方向前进，则()A15B30C45D60答案B解析如图，设两船在C处相遇，则由题意得ABC18060120，且eq f(AC,BC)eq r(3)，由正弦定理得eq f(AC,BC)eq f(sin120,sinBAC)eq r(3)，所以sinBACeq f(1,2).又因为0BACeq

49、f(,2)，则sinAcosBC若a8，c10，B60，则符合条件的ABC有两个D若sin2Asin2BAeq f(,2)B0，sinAsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)B)cosB，故B正确；对于C，由余弦定理可得beq r(821022810f(1,2)eq r(84)，只有一解，故C错误；对于D，若sin2Asin2Bsin2C，则根据正弦定理得a2b2c2，cosCeq f(a2b2c2,2ab)0)小时，此时甲船位于C处，乙船位于D处，则AC206t，AD8t，CAD120，由余弦定理可得，CD2(206t)2(8t)22(206t)8tcos12052t28

50、0t40052eq blc(rc)(avs4alco1(tf(10,13)2eq f(4800,13)，故当teq f(10,13)时，CD取最小值12如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20 n mile的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30 min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向上，则海轮的速度为_n mile/min.答案eq f(r(6),3)解析由已知得ACB45，B60，由正弦定理得eq f(AC,sinB)eq f(AB,sinACB)，所以ACeq f(ABsinB,sinACB)eq f(20sin60,sin45)10eq

51、 r(6)(n mile)，所以海轮航行的速度为eq f(10r(6),30)eq f(r(6),3)(n mile/min)13如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBACeq f(2r(2),3)，AB3eq r(2)，AD3，则BD的长为_答案eq r(3)解析因为sinBACeq f(2r(2),3)，且ADAC，所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)BAD)eq f(2r(2),3)，所以cosBADeq f(2r(2),3)，在BAD中，由余弦定理，得BDeq r(AB2AD22ABADcosBAD)eq r(3r(2)23223r(2)3f

52、(2r(2),3)eq r(3).14如图，一位同学从P1处观测塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为和90.后退l m至点P2处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C，P1，P2三点在同一条水平线上，则塔BC的高为_m；旗杆BA的高为_m(用含有l和的式子表示)答案lsineq f(lcos2,sin)解析在RtBCP1中，BP1C，在RtP2BC中，P2eq f(,2).BP1CP1BP2P2，P1BP2eq f(,2)，即P1BP2为等腰三角形，BP1P1P2l，BClsin.在RtACP1中，eq f(AC,CP1)eq f(AC,lcos)tan(90)，ACeq f(lcos2,si