微积分课件1第三章3

1、第五节函数的极值和最大、最小值二、函数极值的定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 注：函数的极值是一个局部的定义，因此又可称为局部极值，相应的有局部极大值和局部极小值。二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,判别法则(第一充分条件)设函数 满足(是极值点情形)那么如何判定驻点是不是极值点求极值的步骤:(不是极值点情形)解列表讨论极大值极小值例1图形如下练习解列表讨论极小值不是极值用判别法则时，只需求函数的一阶导数，但需判断驻点两侧导数的符号，这比较麻烦这样就有了判别法则，可以很方便的判断出是不是极值。定理3(第二充分条件)证同理可证(2).解练习注

2、意:例2例2解极小值例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.用导数解决函数的最值问题： 商品经营者制定价格要使利润最高，工厂订购生产资料要考虑订货和贮存等费用最低，体育比赛中运动员要力争创造最佳成绩，动物的生理构造也在长期进化过程中达到了某种意义下的最佳状态。这些问题都可归结为求解函数的最值问题。一、最值的求法步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)二、应用举例例4解计算比较得实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;运输

3、模型是管理运筹学中重要的组成部分。 例5是运输模型中的最简单的一个产地一个 销地问题。例5 铁路线上AB段的距离为100km。工厂C距A处 为20km，AC垂直于AB。为了运输需要，要 在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路。 已知铁路上每km货运的运费与公路上每km 货运的运费之比为3：5，为了使货物从供 应战B运到工厂C的运费最省，问D应选在 何处？例6例7某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月 元，租出去的房子有 套，每

4、月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为点击图片任意处播放暂停敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？其中河宽0.5公里，逃跑时，我军与敌人的水平距离为4公里解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点点击图片任意处播放暂停例7解如图,解得三、小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.思考题思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在 有最小值，但练 习 题练习题答案三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)思考题下命题