2022年高中名校自主招生初升高衔接数学讲义1 代数式 含答案

1、第一讲代数式知识要点代数式包括在整个初中我们学习的整式、分式、根式等相关内容.在自招中所占的比例较大，无论在填空还是在解答晚上再中都可以找到代数式的身影.首先我们来看一下代数式章节几个重要的公式（以下列举课本中未涉及的公式）：，.例题精讲若，求的值得已知，求、的值若，则的值是_计算已知、是实数.若、之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为1.设，其中、为常数.若，.试计算.对于所有的正整数，定义.若正整数满足，则的最大值为_求所有的三元有序整数组使得为正整数.习题巩固因式分解.因式分解.已知是方程的一根，求的值.若为正整数，且是的约数，求的所有可能值总和.若，求的值.计算.（1）若

2、实数使得，求的值；（2）若实数满足，设，求证：一定是无理数.已知实数、满足，求的值.已知，求证.已知.求.自招链接求的最小值.我们学过等差数列的求各公式，请利用，推导的公式.参考答案例题精讲对于这样的题目，第一次就直接代入是很不应该的，我们先书写公式：，然后把，代入，得.这样的题目在自招的试卷中出现的次数也是非常的多，应熟练选用合适的公式.熟用完全平方公式（注意符号）：，所以.熟用立方差公式（注意符号）：.在自招试卷中下面这个公式非常重要：设，则.又，故.从而可知，.故.在自招试卷中，算式中出现省略号的话，我们一般把通项写出来，然后进行变形，从而找出规律.所以，原式.由题设，且，即则，.所以或

3、者或者中，必有一个成立.不妨设，则将，分别代入三个分式，可得三个分式的值分别为1、1、1.对于数字规律明显的试题，可以考虑使用因式定理来进行化简.因式定理：如果多项式能被整除，即是的一个因式，那么.反之，如果，那么是的一个因式.通过因式定理的推导，可判断.所以 .将具体的数字代入原不等式得：，通项.原不等式化简得：.当你做到这一步的时候，可以尝试对每一项进行计算：，发现左右有相同的数字，那是因为，所以，不等式或以化简为，得：最大值为44.先证明引理（此引理曾单独在自招试卷中出现）：若、均为有理数，则、为有理数.证明如下：设，所以，则，为有理数，同理、均为有理数.由引理得、为有理数.设，（分子分

4、母互质且为正整数）.因为，所以，同理，从而，.分情况讨论，不妨设.（1），（，）=（3，3，3），（2，3，6），（2，4，4）逐个代入，通过奇偶分析，可得当（，）=（2，4，4）时，有整数解：解得（2），（，）=（1，2，2），通过奇偶分析无整数解.（3），（，）=（1，1，1），通过奇偶分析无整数解.所以，满足题目条件的为（4030，4030，28210），（4030，28210，4030），（28210，4030，4030）三组.习题巩固.由于，则，又，所以，.为整数，则为整数，2，4，8，16，取值总和为46. 若，则，故.若，则（等比性质），故有，从而可知.原式.（1）（2）将平方：，又故，因此为无理数（无理数的证明请参考七年级第二学期课本阅读材料）.，显然，可得.,即，故，则，故.等式两边同时除以，可得，进而，则，故，从而.故，展开并化简，可得，即，从而.故. ，所以自招链接根据绝对值的几何意义，我们知道的最小值在时取得.，分别求出最小值的取值范围，可得时取的最小值，最小值为8.虽然有很多同学知道这个公式最后的答案为，我们先把可以利用的公式写出来