数学课件第二章4-2lhospital法则

1、(LHospital)法则0以及 型00 , , 00 ,1 , 0型2012年11月航空航天大学 理学院 数学系10型未定式解法 :一、 型及0法则如果当x a(或x )时,两个函数f ( x)定义与F ( x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极限f ( x) 称为0 或 型未定式.limxa( x )F ( x)0lim lnsin ax , ( )lim tan x , ( 0 )例如,x0 lnsin bxx0 x02012年11月航空航天大学 理学院 数学系2定理 设(1)当x x0时,函数f ( x) 及 F ( x) 都趋于零;(2) 在a 点的某领域内(点 a 本身可以除外), f

2、 ( x)及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0;(3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);F ( x)xa那末 lim f ( x) lim f ( x) .F ( x)F ( x)xaxa2012年11月航空航天大学 理学院 数学系3定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再法则.求极限来确定未定式的值的方法称为当x 时,以及x a, x 时,该法则仍然成立.2012年11月航空航天大学 理学院 数学系4证定义辅助函数f ( x) f ( x),x a,F ( x) F( x),x a,11x ax a0,0,在 U 0 (a, ) 内任取一点 x,在以 a 与 x 为端点的

3、区间上,f1( x), F1( x)满足中值定理的条件,则有f ( )f ( x) f ( x) f (a)(在x与a之间)F ( )F( x) F (a )F ( x)f ( x) A,f ( ) A,limlim当x a时, a,F ( x)F ( )xa alim f ( x) lim f ( ) A.F ( )F ( x)xa a2012年11月航空航天大学 理学院 数学系5设定理2(1)当x x0时,函数f ( x) 及 F ( x) 都趋于无穷大;(2) 在a 点的某领域内(点 a 本身可以除外), f ( x)及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0;(3) lim f (

4、x) 存在(或为无穷大);F ( x)xaf ( x) lim f ( x) .则limF ( x)F ( x)xaxa2012年11月航空航天大学 理学院 数学系6( 0 )求lim tan x .例10 xx0原式 lim(tan x) limsec2x 1.解( x)1x0 x0 x3 3x 2 100求lim.例2()x13x2 36 x3原式 lim lim解. 2 x 12x1 6 x 2x1 3 x22012年11月航空航天大学 理学院 数学系7求lim lnsin ax .( )例3x0 lnsin bx原式 lim a cos ax sin bx lim cos bx 1.解

5、x0 bcos bx sin axcos axx0 arctan x( 0 )2例4求 lim.1x0 x12x1 x2原式 1.lim解lim1x 1 x2xx22012年11月航空航天大学 理学院 数学系8( )tan x求lim.例5x tan 3 x2sec2cos2 3 xx1原式 lim解lim22x 3sec3 x3 xcos x22 1 lim 6cos 3 x sin 3 x lim sin 6 x2cos x sin x3 xx sin 2 x22 lim 6cos6 x 3.x 2cos 2 x22012年11月航空航天大学 理学院 数学系9注意：法则是求未定式的一种有效

6、方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.求lim tan x x .例6x2 tan xx0sec2 x 1tan x x lim原式 lim解233 xxx0 x02 lim 2sec x tan x 1 lim tan x 1 .6 x3x3x0 x02012年11月航空航天大学 理学院 数学系10特别是等价无穷小替换二、0 , ,00 ,1 ,0型未定式解法关键: 将其它类型未定式化为的类型！法则可解决002012年11月航空航天大学 理学院 数学系111. 0 型1 ,或 0 0 1 .0 步骤:0求 lim x2ex .( 0 )例7xexexex lim .原式limlim解2

7、2x 2 xxx2012年11月航空航天大学 理学院 数学系122. 型 0 0 .步骤: 1 10 00011 ).( )例8求l原式 lim x sin x解x sin xx01 cos x lim 0.x0 sin2012年11月航空航天大学 理学院 数学系133. 00 ,1 ,0型步骤:000 ln 0 0 .1 ln10 ln 取对数0 2012年11月航空航天大学 理学院 数学系14( 00)求 lim xx .例9x0ln xlimx 01x elim x ln x原式 lim ex ln x解 e x 0 x01 x lim1x2x0 e0 e 1.1( 1)求lim x1

8、x .例10 x111lim ln xxln xlim原式 lim e1 x e x11 x e1. e x11解x12012年11月航空航天大学 理学院 数学系151( 0 )例11求 lim (cot x)ln x .x01)取对数得 (cot x)ln,解112cot xsin1x lim)x0 xxcos x sin x 1, lim1原式 e.x02012年11月航空航天大学 理学院 数学系16注:1.应用洛法则时必须注意是否满足法则的条件a)是不是未定式b)导数比的极限存在否？c)连续使用洛法则时必须步步检查条件是否满足，否则也会出错，2012年11月航空航天大学 理学院 数学系1

9、72有时可作适当变换或每用一次都检查一下，是否有些因子极限可先求出，或用等价无穷小量、无穷大量替换，然后化简。3对数列的未定式极限不能直接应用洛则，（对离散变量不能求导），但可利用定理先求出相应形式的函数极限而得到结果。法2012年11月航空航天大学 理学院 数学系18x cos x求 lim.例12xx原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).解1xx极限不存在法则失效。原式) 1.2012年11月航空航天大学 理学院 数学系19求一个n次多项式例13 aP ( x) aa x ax2xn，n使012n P ( x) o( xn ).exn2012年11月航空航天大学 理学院

10、数学系20三、小结法则0 0 ,1 , 0 型令y f取对数g0 型00 型g 1f g 1f型1 g 1 fff g 1 g2012年11月航空航天大学 理学院 数学系21 型思考题f ( x)g( x)f ( x)设lim是不定型极限，如果的极g( x)f ( x)限不存在，是否的极限也一定不存在？g( x)举例说明.2012年11月航空航天大学 理学院 数学系22思考题解答不一定g( x) x例f (,lim f ( x) lim 1 cos x显然极限不存在g( x)1xxlim f ( x) lim x sin x 1但极限存在g( x)xxx2012年11月航空航天大学 理学院 数

11、学系23练习题一、填空题：法则除了可用于求“ 0 ”，及“ ”两种类1、0型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式.的求极限2、 lim ln(1 x)=_.xx 03、lim ln tan 7 x =_.ln tan 2 xx 02012年11月航空航天大学 理学院 数学系24二、用法则求下列极限：ln(1 1 )lnsin xx1、lim2、 lim；x ( 2 x)2x arctan x2214、l)；3、lim x cot 2 x ； 1x 06、lim ( 1 )tan x ；5、lim x sin x ；xx0 x0lim ( 2 arctan x)x7、.x2012年11月航空航天大学 理学院 数学系