02.量子物理第二章方程有补充

1、第27章方程洛意关于物质波的概念传到作了一个关于物质波的后，后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。几个月后，果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的方程。方程是量子力学的动力学方程，象方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。方程的建立(方程法)1一.1.一维方程 一维运动粒子无势场，不受力，动量不变。 一维运动粒子的波函数(前已讲)由此有 xih= ()P2 = -(P 2 ) x2h2P22mE =再利用2h2) (x, t)-(x22m= ih ( ) (x, t) t运动粒子(无势场)的此即一维方程推广到若粒子在势场 U(x,

2、 t) 中运动P22m由有E =+U(x, t)(x, t) = 0 e-i(2/h) (Et px)一维方程式中 = (x, t)是粒子在势场 U= U(x, t)中运动的波函数P22m和经典关系E =+U(x, t)相比较,只要把再作用到波函数 (x, t) 上，即上述方程。到E ih( ) tP -ih( ) x-h2( 2 ) + U(x, t)2mx2= ih ( ) t2.三维方程式由一维方程推广三维方程式算符2x22y22z22+(三维方程式在球坐标下的形式请见p332)U(r, t) = 0 时，方程的解，即三维运动粒子的波函数当(r, t) =0 e(-i / h) (E t

3、 p r )-h22 + U(r, t) (r, t) 2m= ih ( ) (r, t ) t波函数的叠加原理方程是 的线性微分方程；若1、2 是方程的解，则 c11 + c22 也是方程的解。(c1 、c2 是常数) E.Schrodinger & P.A.M.Dirac荣获1933 年 Nobel Prize (for the discoveryofnew productive forms ofatomictheory)(1887-1961)奥地利人创立量子力学二.定态方程1.一维定态方程若粒子在恒定势场U = U (x)(含常数势场 U = U0 )方程式可用分离变量法求解。中运动(1

4、)分离变量把波函数写为(x,t) = (x)T(t)代入一维方程( 2 ) + U(x)h22m-x2= ih ( ) t则分为两个方程ih dT(t)= ET(t)(1)d td2h2+ U(x) (x) = E (x)(2)-2mdx2E 在这里是分离常数，与 x、t 无关(1)式的解T(t) = ce-(i/h)Et由量纲分析可知，E 具有能量的量纲。(2)一维定态方程式(2)即 一维定态方程 = (x)定态波函数它所描写的粒子的状态称作定态，是能-h2d2+U(x) (x) 2mdx2= E (x)量取确定值的状态。概率密度(x,t) *(x,t) (x) *(x)定态下的概率密度和时

5、间无关2.三维定态U= U(r)方程U(x,y,z)或同样三维定态方程三.波函数的物理条件用来描写实物粒子的波函数应满足下列物理条件1.标准条件： (x)必须 单值、有限、连续-h22 + U(r) (r) 2m= E(r)因为，粒子的概率在任何地方只能有一个值；不可能无限大；不可能在某处发生突变。2.归一化条件粒子在空间各点的概率总和应为l定态下一维定态*在量子力学中用方程式 加上波函数的物理条件 (x) *(x) dx = 1-全空间 (r ) *(r ) d = 1全空间 (r, t) *(r, t) d = 1求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度 等)例2

6、7.1(P332)一质量为m 的粒子在空间绕一定点做圆周运动，圆半径为 r。求粒子的波函数并确定其可能的能量和角动量。解：三维定态波函数定态波函数求解粒子的波函数(散射问题)。一.一维无限深方势阱中的粒子模型：金属电子运动，很难逸出金属表面。不考虑点阵离子的电场时，可认为是无限深方势阱。U(x)U(x)U=U0U=U0UU极限a0 xx一维无限深方势阱1.势函数U(x) =(0 x a)(x 0, x a)0U(x)粒子可在区范围内运动，但不能到0ax达区和区。金属aEU=0EU=02.定态阱内方程d2 dx2h22m)(x) = E (x)(-令= 2mE k2h2则阱内方程d2 (x) +

7、k2 (x) = 0dx23.分区求通解阱外： 1(x) = 0 ；3(x) = 0阱内： 2(x) = Asin(kx +)A、：待定常数。4.由波函数物理条件定具体解单值条件已满足有限条件已满足由连续条件：2(0) =1(0) = 0Asin =02(a) =3(a) = 0Asinka+ =0 = 0ka = n有，n =1,2,3,于是 2(x) = Asin(n/a)x由归一条件：波函数的空间部分5.概率密度n(x) = |nE、n(x)、|n(x)|2(x)|2n = 3|n|2Enn = 2n 很大量子 经典n = 10ax量子理论：概率密度呈周期性分布；经典粒子：概率密度在阱内

8、各处相等(粒子在阱内运动)3 势垒一.一维势垒(barrienetration)粒子从 x = - 处以确定能量 E 入射；给定势函数 U(x)；解定态方程，求粒子的波函数和概率分布。两块金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒。U (x)1.势函数U= U0EU = 0II 区I 区o(x 0)xU(x) =0 ，U0，入射能量 E U02.定态 I 区方程d21(x)2mE1(x) =0,+(x0)k2h2有d (x)21+k (x) = 0,2(x 0)令 2m (E - U ) = -,( 0)20h2有d22(x)- 22(x) = 0,(x0)dx23.通解1(x) = Aeikx+

9、Be-ikx2(x) = Ce-x + Dex4.物理条件有限：当 x 时，2(x)应有限，D = 0，得于是1(x) = Aeikx+ Be-ikx(波动型解)入射波反射波2(x) = Ce-x其他常数均可定出(指数型解)U(x)U= U0 (x)EII 区U = 0I 区ox5.概率密度( x 0 区)|2(x)|2 e-2x= e -22m(U0 -E)/ h2 x|2(x)|2可见x 0 区(E U0)粒子出现概率0(和经典不同)U0、x 概率 电子逸出金属表面的模型量子：电子透入势垒，在金属表面形成一层电子气。经典：电子不能进入 E(总能量) 0 区域， E 0 区域，概率密度： |

10、2(x)|2 = C2e-2x当 x = 1/2 时，概率密度降为 1/e位置不确定度：h2x = 1=222m(U0 E )动量不确定度：p h = 2m(U E )2x0粒子进入的速度 = = p = 2 (U E )/mm0粒子进入的时间不确定度h x t =4(U0 E )粒子能量的不确定度E h 2 (U0 E )2t粒子的总能量为E +E粒子动能的不确定度Ek = ( E +E ) U0 U0 E粒子动能的不确定度大于其名义上的负动能的值。负动能被不确定关系“掩盖”了， 它是一种观察不到的“虚” 动能。二.隧道效应(tunneling effect)(势垒)U (x)U= U0 (

11、x)Eoxa透射系数 T：粒子势垒的概率。(粒子可到达 x a 的区域)比喻：经典U = 0U = 0例放射性核的 粒子U (x)U(x)ox核内势垒及粒子的隧道效应黑洞黑洞边界是物质(包括光)只能进不能出的“单向壁”；对黑洞内的物质来说，“单向壁”就是一个绝高的势垒；黑洞内的物质可通过隧道效应逸出- 黑洞蒸发热核反应其它例：热核反应是两个带正电的核(如 2H 和 3H)聚合时产生的。两核间的斥力作用相当于一高势垒；2H 和 3H 通过隧道效应聚合到一起：核能越大，势垒厚度越小，聚合的概率越大(这是热核反应需 108K 的高温的原因)扫描隧道显微镜(Scanning TunnelingMicr

12、oscope)1986 年荣获利用了隧道效应。奖的扫描隧穿显微镜隧道电流 idU0AU0U0U探针E样品电子云用隧道效应观察样品表面的微结构dBBA图象处理系统扫描探针样品表面电子云隧道电流 I 与样品和针尖间的距离 d 关系敏感：I U exp-A()1/2d其中：d 样品和针尖间的距离U加在样品和针尖间的微小电压 A常数平均势垒高度隧道电流是电子波函数程度的量度，通过它可“直接看到”样品表面结构。硅表面77重构图象STM (中国化学研究所研制的CSTM-9000 型扫描隧道显微镜)用 STM 得到的神经细胞象用AFM得到的癌细胞的表面图象三.原子搬迁:量子围栏：围住圈内处于铜表面的电子，故

13、称作量子围栏(quantum corral)。根据铁原子对表面电子的强散射作用，M.Crommie 等最初设想可以用 Fe 原子做成对表面电子的量子化“禁锢”结构，象围牲口一样将电子围起来。他们的量子围栏确实起到了这样的作用。Fe 原子并非密集排列，但却同续围栏差不多，很少有电子能透过围栏“逃”出去。围栏内的电子波如到围栏处，就会因Fe 原子的强烈散射而被挡回去，从而在栏内形成同心圆状的驻波，导致围栏内同心圆状的局域态密度起伏。图中的波纹就是电子驻波，是世界上首次观察到的电子驻波的直观图形。另一张MIT 的 Kastner 认为这一成就表明：“你能做任何人过去作梦也想不到的事情”。由于这一贡献

14、，宾、罗和了 1986 年度的三人物理奖。前两人是扫描隧道显微镜的直接发明者，第三人是 1932 年电子显微镜的发明者，这里是为了追朔他的功劳。附：分子搬迁1991 年 2 月 IBM 的“原子书法”小组又创造出“分子绘画”艺术“CO小人”。图中每个白团是单个 CO 分子竖立在铂片表面上的图象，上端为氧原子，CO 分子的间距：0.5 nm；“分子人”身高：5 nm，堪称为世界上最小的“小人图”。操作方法：把 STM 针尖移到吸附于铂表面的 CO 分子的顶端，一股细小电流 ，削弱 CO 分子和铂表面的结合力，变成 CO 分子和针尖的结合。这样 CO 分子就会随针尖移动到新的位置，并粘附到铂表面上。多次移动后形成一个可爱的“大脑袋的小人”。移动分子实验的成功，表明人们朝着用单一原子和小分子新分子的目标又前进了一步，其内在意义目前尚无法估量。其他还有锑分子，有机分子、水分子搬迁等。3 谐振子谐振子模型是一维振动的简化模型，固体中原子的振动即可用此模型来。一.势函数U = 1= 1m2xkx222 = k/m- 振子的固有频率二.一维谐振子的方程d2 dx22m h212m x ) = 0