材料力学材力讲稿ch82新

1、版权所有材 料 力 学Copyright, 2000,2005 (c) Dept. Mech., HUST , ChinaE-mail：Tel: Mechanics of Materials1第八章 能量法8.1 杆件的应变能 克拉贝隆原理8.2 卡氏定理 互等定理8.3 虚功原理8.4 单位力法 图乘法8.5 超静定问题 力法正则方程8.6 冲击应力28.3 虚功原理一、可能内力 可能位移可能内力 能与外力保持平衡的内力,称为可能内力。对于静定结构,可能内力就是真实内力。对于超静定结构, 可能内力有无限多种, 只有同时满足变形协调条件的力才是真实内力。可能位移 满足位移边界条件和变形连续性条

2、件的位移称为可能位移。38.3 虚功原理当如图结构承受外载荷作用时, 如果不考虑物理方程和变形协调方程,支座反力有无数多组解,因而结构的内力也有无数多种分布。这些内力均满足力边界条件,都是该结构的可能内力。ABCRAyRAxRByRCy对于该结构,如果仅考虑梁的弯曲变形,则任一给定的挠曲线方程,如果满足:由于该挠曲线满足位移边界条件,所以都是该结构的可能位移。48.3 虚功原理二、虚位移 虚功原理下面用悬臂梁的受均不载荷作用导出虚功原理。58.3 虚功原理如图一悬臂梁,受均布载荷作用,处于平衡状态。现在给该梁一个充分小的可能位移,即虚位移: 由于该虚位移很小, 可认为它不影响梁的真实内力 ,

3、。根据虚位移的定义,它还满足位移边界条件。 由梁微段的平衡微分方程:将上式两边分别乘以 ，并在整个梁上积分。68.3 虚功原理又有：将上式左边的第一个积分施行分部积分，有：利用梁端部的力边界条件和位移边界条件：（A）（B）78.3 虚功原理梁的自由端：梁的固定端：将边界条件代入式（B）有：（C）将式（C）代入（A）有：外力在虚位移上作的功内力在虚变形上作的功（D）88.3 虚功原理外力虚功记为：内力虚功（忽略剪切力）记为：式（D）可写为：可变形固体的虚功原理虚功原理：在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所作的功。外力虚功全部转化为结

4、构的虚应变能。适用于一般变形固体，不要求线弹性条件。98.3 虚功原理如果一根梁承受多种（拉压，弯曲，扭转）类型的载荷，则内力虚功一般可表示为：相应的外力虚功为：则虚功原理的形式为：108.4 单位力法 图乘法利用虚功原理可建立求杆件或杆系结构某点位移的一般方法 单位力法利用虚功原理推导单位力法的思路：2、以杆件在外加载荷作用下的真实位移为虚位移。以施加单位力后的杆件为考察对象。应用虚功原理。3、根据虚功原理，外力虚功等于内力虚功：1、欲求杆件上某点沿某一方向的位移 ，则单独在杆件上施加一与待求位移对应的单位力。可求出在此单位力作用下的杆件内力。记为：外力虚功以施加单位力的杆件为考察对象。内力

5、虚功是代求的位移118.4 单位力法 图乘法单位力法的具体公式：施加单位力的杆件的内力 ，在虚变形（实际载荷引起的变形） 上所作的功为：上式就是求解位移的单位力法。又因为：所以有：适用条件?128.4 单位力法 图乘法此式又称为莫尔定理。上面的积分称为莫尔积分。应理解为广义位移。如果求出的积分是负值，则表明位移与所假设的单位力方向相反。思考：莫尔定理的适用范围是什么？138.4 单位力法 图乘法图示矩形截面悬臂梁，在自由端受横力F作用。材料的物理关系为 ， 是材料常数。试计算其自由端的挠度和应变能。解：运用单位力法，假设自由端的挠度为由莫尔积分：行不行？ 为什么？148.4 单位力法 图乘法设

6、梁中性层的曲率为，则有：根据平截面假设：又：所以：适用吗？材料非线性,不能使用莫尔定理! 必须从单位力法的原始公式出发。158.4 单位力法 图乘法距离自由端X处的弯矩为：，又：所以：又：代入单位力法的公式（基于虚功原理，不受材料性质限制）有：根据单位力法，在梁自由端作用一向上的单位力，则有：由于材料性质非线性，不再适用！168.4 单位力法 图乘法结构的应变能为：所以：178.4 单位力法 图乘法CBAABC1平面直角刚架两段的EI和EA分别相等，是求C点的铅直位移。解：采用单位力法，因为材料为线弹性，所以可以直接使用莫尔定理：在求解刚架时，一般假设使刚架内侧受压的弯矩为正：取如图坐标，刚架两段的弯矩，轴力分别为：BC段：AB段：由于要求C点的铅直位移，在C点施加铅直的单位力，则有，单位力引起的弯矩分别是：188.4 单位力法 图乘法CBAABC1根据莫尔定理：正值表明，位移的方向与单位力相同，即向下。讨论：如果b=a,且杆为圆截面，直径为d, 则有：198.4 单位力法 图乘法第一项是弯曲引起的位移，第二项是由轴力引起的。第二项相对第一项而言很小。所以在求刚架位移时，一般都忽略轴力的影响。208.4 单位力法 图乘法如图，四分之一圆弧小曲率圆截面杆，圆半径为R，EI，GIP为常数，求B点的铅直位移和转角。解：对于小曲率杆，仍可应用莫尔定理求位移：FBARAAB1AB1