转动球体的全空间磁场分布

1、转动球体的全空间磁场分布作者：钱士才 西南交通大学机械茅以升班 学号：20090794 指导老师：李元杰摘要求绕对称轴转动的带电体的磁场是一类典型的静磁场边值问题，传统的解法 是用磁矢势或磁标势结合边界条件解拉普拉斯方程或泊松方程，其过程复杂，计 算冗长;采用磁场叠加法对旋转球面、球体、柱体的磁场进行了分析.本文以转动 球体为例，根据（连带）勒让德多项式的性质和加法公式，利用矢势叠加法方便快 捷地导出了转动球体的空间磁场分布。关键词:矢势；勒让德多项式；磁感应强度；DTP编程一、前沿球体现实生活中具有高度对称性的一类物体，应用广泛。摩擦等一些方式会 使其带电，而这种球体一旦旋转起来，就会使其周

2、围空间形成一定的磁场分布， 从而对其他电子设备形成一定程度的破坏或干扰。因此，研究带电球体转动的磁 场分布具有一定的现实意义。二、方程及求解2.1.转动球体的矢势电荷量Q均匀分布在半径为a的球体内，当球体以匀角速度绕它的直 径旋转时，求其空间矢势和磁场分布.以球心为原点0,转轴为极轴，建立如图1 所示球坐标系.根据电流产生矢势的式，可得到空间任意点P。，0&）的矢势为： TOC o 1-5 h z 0=%j j2dV（1）4 兀 r - rV 1其中J（r，）= 3xr = rsin0，（sinfe + cosfe ）（2）4na34兀a3xj|r -=Yr2 + r2 2rrcosw（3）w

3、为r（r,0,甲）与rr,0,平，）之间的夹角。由空间夹角的公式可得：cosw = cos0 cos0 + sin0 sin0cosCp-甲）（4）图1 图1 坐标系由电流分布对称性可知，在空间任一个过Z轴的平面的磁场分布均相同，即矢势A与方位角中无关。为计算方便，取P点的方位角 TOC o 1-5 h z 中=0（5）将（2）、（3）、（4）、（5）代入式（1）整理可得磁矢势为：3Qr3sin20rCsin?- + cos?-）“、A（r ）=芦卢 Ja kJ2” drd。如,平 平、，（6）梃兀方a3 000r2 + r2 - 2rrcos0 cos0 + sin0 sinOcos9）又因

4、为又特殊条件，即：0r2 + r2 2rr（cos0 cos0 + sin0 sin0cos甲）以及在球坐标中P（r,0 ,0）的-=-，则式（6）可简化为：y 9A（r）= 3%警-j.卜 J2兀 r3 sin2 0cos9 dr d0d9（8）（4兀力a3 9 000、:r2 + r2 一 2rrcosw则式（8）即为转动球体的矢势积分表达式.2.2.利用勒让德多项式计算转动球体的积分矢势由于勒让德多项式得距离条件，下面分ra和r r) r 1=3J再利用连带勒让德多项式加法公式P (cosv )= P(cos 0) P (cos 0 )+ 2 _ Pm (cos 0) Pm (cos 0

5、 )cos m 9111(+ m! 11m=1由三角函数族的正交关系可知y 土 y 土 3dr中 o ri+i i（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）仙 P （cosv ）cos中0中，=2兀（一i! Pi （cos0）Pi （cos0，）当r a时，由式（8）、（9）可整理得到矢势：R （r）=碧群 f（ Pios。 J （ dr小兀 Pi （cos0 ）sin2 0 d0 =i,利用下列公式即条件：Pi (x )=( - x 2 施1dxx = cos0 Pi (cos 0 )= sin 0iP G)= ip (-i)=(-i)以及递推公式(+ i)p i (x

6、)-(21 + i)xp G)+ 1P i G)= 0(21 + i)P (x)= P - P (x)(l i)11+i1 -iJ2 兀 Pi (cos0，)sin2 0 d0，= J1 ( J2 兀 Pi (cos0，)sin2 0 d0，= J1 ( - x 2 *1 Qdx = 2 J1 xP (x d = 2( + i).JixP (x)ix +j1 xP (x)ixl - i-dx = 2.-o 1-1dx-i 121 +1 -i 1+1=2( J1 P G)pQR +2L_J1 PG)p，G)dx=o(21 + 3)(21 +1) -i 1+21(21 + 1)21-1)-i 11

7、 -2+21+1 -i(19)当1 = 1时有：J Pi (cos 0，)sin2 0 d0 = J1 ( - x 2 x =3K2 sin 0. e20兀r2平o 1-1A (r )=率 sin 0. e J 八 Qdr14兀3平 0 r 2(20)(21)当r a时有:B (f )=Vx A (r )=02 .Vxf 豫 * ii20kI r2 )日 wQa 2=20k1 5 (sin 0r 50 r )=与首a2 （2cos0 2 + sin0 -e0）（ 24）可见，转动球体的磁场相当于在球心出放一个中心为Z轴的磁偶极子产生的磁场。2.3.2在球体内部，即r a有B2 (r )=Vx

8、A2 (r )=空4Ka 3r r a 23 i 、 Vx sin0 r 一一r3 -eI 210 中)I* /日Qo 4Ka 3V 15r sin 0 50r八 sin2 0 Ia 23r 一 一21015r sin 0 10旦Qo4Ka 3cos0 e rsin 0 e0（25）在球心处（r=0）可得磁场强度的表达式为B （）=0（cos0 e -sin0 e ）= o e（26）04Ka3r04Ka3 z在沿Z轴的轴线上，0 = 0可得：（27）b (r)=纹1 一 竺（27）24ka 5a 3r可见，磁感应强度随距离增大而减少三、结果分析3.1坐标变换在 二中，得到了旋转球体的磁场在极

9、坐标下的表达式，为了方便DTP作 图，将其公式转化为直角坐标下的表达式，根据极坐标和直角坐标的关系：e = sin 0 - e + cos 0 - e e e = sin 0 - e + cos 0 - e e = cos 0 - e - sin 0 - e(28)(29 )则其表达式可化为在直角坐标下的表达3.1.1在球的外部有(一)日 Qa2 ( )( 11B (r )= 02 cos0 - sin0 - e + cos0 - e + sin0 - uos0 - e - sin0 - e120Kr3xyx(30)B () = oQa 2 . 3sin 0 cos 0 -1 x20Kr3x（

10、31）B () = 0Qa2 (2cos 0 cos 0 - sin 0 sin 0)(32)3.1.2 在球的内部有-3 - a 2 - r 2cos0 - (in0 - e + cos0 - e )-6 a 2 - r 2L 5xyL 5sin 0 -B2 ( -(33)B2(B2()=3r2 - sin 0 cos 0 - e5x（34）B2G) =4- a2 -3r2 (+ sin20,(35)3.2利用DTP编程可作出转动球体的磁场中磁感应线的分布图:r可以看出，在球的外部，转动球体的磁感线分布相当于一个电偶极子产生的 磁场；其磁场的大小与其所带的电量成正比，与球转动的角速度长正比，

11、与球半 径的平方成正比，下面以DTP做出的图来定性的比较影响外部磁场分布的因素， 其中磁场的强弱以磁感应线的亮度和疏密来表示，亮度越大，磁感线越密的地方， 其磁感应强度越大.在球的内部，其磁场相当于一个螺线管的磁场。3.3下面以DTP做出的图来定性的比较影响外部磁场分布的因素：3.3.1当球的半径一定时，不同电量和不同的转动角速度产生的磁场并不相 同：3.3.2当半径与电量相同时，不同角速度产生不同的磁场。3.3.3当角速度和电量一定时，不同的半径产生的电场并不相同。四，讨论根据（连带）勒让德多项式的性质和加法公式，还可计算转动球面、柱体、 螺线管等带电体的空间磁场分布.该方法既能计算电流分布

12、区域外部的磁场，又 能计算电流分布区域内部的磁场，不涉及解泊松方程，简便直观，易于理解，是 求解轴对称性稳恒场的一种有力工具.本文一个创新的地方是使用了 DTP平台编 程，很好的展现了求出的转动球体的磁场，并容易看出磁场分布的影响因素。参考文献：李元杰等.大学物理学.高等教育出版社，2008.01李元杰等.数字物理教学典型案例.高等教育出版社，2008.01李振.多种方法求解磁场问题J.甘肃教育学院学报（自然科学版），1997（01）:94-97. 贺金玉，等.电磁场理论要点与题解M.济南:山东大学出版社，2005:112-115.姚斌，郑勤红.定轴转动带电体的全空间磁场分布J.云南师范大学学报，2003, 2(05):40-44.梁昆淼.数学物理方法M.北京:高等教育出版社，1998:291，299.邵惠民.数学物理方法M.北京:科学出版社，2004:350-360.林璇英，张之翔.电动力学题解M.北京:科学出版社，2002, 57-63.Abstract:According to characterand additive formula ofLegendre polyno