一维多阶梯势垒的透射系数

1、一维多阶梯势垒的透射系数甘肃省西和县何坝职校胡来喜 742105对于一般势垒，求解透射系数往往比方势垒复杂。应用W.K.B半经典近似法1 可以精确推导出一般势垒的透射系数1-3，只是在推导过程中要用到比较高深的数学 知识。于是，有些文章将一般势垒分成多个宽度为Ax的小方势垒，组成一维多阶梯势垒，并有应用鲁阿德(Rouard)递推方法4和一维阶梯位势递推关系分别得出 一维多阶梯势垒透射系数的递推公式，这两种递推公式对于少数阶梯势垒很适用， 但在阶梯势垒过多时要借助于计算机程序才能完成。本文在参照了教科书7中求 解方势垒透射系数方法的基础上，以连续函数势垒作为一般势垒的一个特例，将连 续函数势垒分

2、割成多个宽度为Ax的矩形势垒，如图1，对其过程应用相关数学处理， 得出推导一维多阶梯势垒透射系数，再应用极限方法使阶梯势垒回归到连续函数势 垒，推导出连续函数势垒的透射系数。最后，对推导过程中用到的近似处理进行了 误差讨论，比较严密地证明了教科书7,8中关于势垒透射系数的结论。1 一维多阶梯势垒透射系数如图1所示，一般势垒U(x)的定态薛定谔方程为：- +K2(x)w(x)=0 , (-3 X )o dx2K (x )=式中令k (x )= K (x )(1)(2)(3)把粒子经过的区域分成n个小区域，每个小区域的U（x）近似为常数，成为“阶梯势 垒”，从而每个区域的K（x）也近似为常数（图2

3、）。由（1）式解出的各区域的波函数具有相同形式，如第j区域和第n区域为：V . （X）= A eiKJxJ + B eiKJxJ，j=0,1,，n-1（4）（5）W （x）= Afu得到入射波的几率流密度为：ih2目0-V * aw0入0入hk I=0 V日 0入0(x ) 2hk a=0 A0eiK0 x00（6）透射波的几率流密度为:ih2日nw aw*-w * awnnnnhknpnA eiKnxnn入射粒子从左到右经势垒后的透射系数为:hk 4n A eiKJ 日(8)A Wo0D = J = IT0P0其中* =旦51若令则(8)式可写为：I = k A eiKjxj 2, j=0,

4、1,n j j j(9)式中任一项的I,。0。可以看出，引入很多I,相乘除，D值不变，只是一种数学处理。应用该处理是因为求相邻区域的i./i. 1比较容易从而容易求出D。避开其中任一区域，即去掉其中一项1j只要能求出I /Ij+1 j-1并不影响求D的值。所以，d=L=LLL j ,-L-1010 I1 12jIn 1K=0的区域是可以避开的。又令IJIj-1j=1,2,nDjkj-1k A eiKA eiKj-1xj-1 2jxj jk j kj-1j-1丁与-己-1)(10)(11)1.1且左邻域K丰0的第j区域的DD = H Djj=1由波函数及其微商在x, 1点的连续条件得到：。)=。

5、)j-1 x=j1j x=xj-1(12)AeiKj- 1x,-1 + Be-iKj = A eiKxA + B e-iKx-1j-1j-1j jdxdxx=x., j-1x=x.,j-1得k A eiKJ-lxJ-l -k B e-iKJ-lxJ-l = k A ei%- -k B e-iKJxJ-l(13)顶T J-1J-1 J-1j jj j2k kJ aj -jJ-1eiKj-1xj-1 = A eiKjXj-1Jk -kk + J B e-iKJxJ-1(14)（14）式有三个未知量J、由于K （x）是连续的，可以把区域取的很窄，使AkJ 1 k , + k ,（15）则（14）式中

6、含Bj的项可以忽略，得到:A 2k ()=十 eijKj 勺-1(16)A, k , + k ,代入（10）式，并令软=J J，得：4k keiK Ax ,（17）J-1J-1项,+ k , (、 k + kv i2AkJ 11所以eiK ,Ax,e2kjAxj, E U (x)e 2 kt 笔，E U (x )(20)将（18）、（20）式代入（11）式，得:D-2 匕 Ax.(21)该式即为服从连续函数的多阶梯势垒的透射系数。其中，E U（x）时粒子很容易穿过势垒，透射系数近似为1，这个结果是与事实相符的。2连续函数势垒的透射系数当多阶梯势垒的宽度从无限小（巳时多阶梯势垒回归到一般势垒，1

7、 而 kjT k (x)=引:2|iU(x)-e，2k，,v Ax T2 k Ax =j j j jj=1j=11 jx2 侦 2p U (x)-Edx， x1于是（21）式可写成D = exp -j%2诉U (x)-EdxX1(22)上式就是连续函数势垒的透射系数，常数因子D=1。其中七，X称为经典回转点，对于一般势垒，可推得除常数因子d。1外，透射系数与（22）式完全一致凶3结果讨论= 5 -2 j x2 J211 U (x )-E dxX1在推导过程中用到一处近似处理，即忽略了（14）式含勺(23)、0，* = 0区域的个数并不增加，故误差不能忽略（虽然每个小区域的误差减小了，但这种小区

8、域的个数n F ）。由于做了近似计算，首先给（16）式的带来误差，从而% D也有误一 差。设与它们对应的准确值为Aj/Aj_1、D、D，又设七七的相对误差iA j-1(24)为 6 ,。则 Ax, 0 时，6 , T 0。A j A -J1iAj-1(25)所以(26)略去二次项，得到DD 任j-j1 + 25j(27)5=险顼-D- j=1 jj=11 + 25 j 1 + 25ji =1(28)显然， 2七 1是透射系数公式）成立的条件。j=1相对误差5是由于Ak+ k ）= 0产生的，Ak+ kj广 j JTj j j-1）越大，5 j就越大，作为一级近似，有:5 x Akj（29）j

9、k + k.Ak于是令：5. =v确厂jj-1式中Y是比例常数（实数）。设k = 0区域有两个，取它们两侧邻域的k值相等，即k =k = k = k。粒子从势垒外进入势垒，再穿出势垒，有k =k，得到 r t r t0 na= 2y Akj 仆dk+jM+Rdk.j . k. + k.Ak.项蛆 k 匕 k k k )=Yk :rk k)n=Y ln_nk )t /康0 kt-J+ 0 + In（30）n 28 0表明：尽管各小区域的误差不可忽略，但总的误差却可以忽略。j AkjT 0 i=1j这是因为：两边E U （x）区域的巴符号也不同， 所引起的误差一部分为正，一部分为负，正负相互抵消。综上所述，粒子穿过服从连续函数的多阶梯势垒后，透射系数由21)式确定。 当粒子穿过一般势垒后，其透射系数由(23)式准确得到，总误差可忽略不计，而 不要任何附加条件。参考文献：张启仁.量子力学M.北京:科学出版社,2002.1822,8992.周世勋.量子力学M.上海:上海科学出版社,1961.209218.曾谨言.量子力学M.北京:科学出版社,1981.475491.龙超云，刘波.一维多阶梯势垒的反射系数J.大学物理,1999,18(10):79.井孝功，张井波.高