立体几何(几何法)-二面角(模型二)

1、 / 5立体几何（几何法）一二面角WORD 版）如图,AB是圆的例1 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（直径,PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.（I）求证：平面PAC 平面PBC;(II)若AB 2, AC 1, PA 1,求证：二面角 C【答案】 解：（1）证明：由AB是圆的直径，得 AC BC.由 FAL平面 ABC, BC?平面 ABC,得 PAX BC.又 FAAAC = A, PA?平面 FAC, AC?平面 FAC, 所以BC,平面PAC.因为BC?平面PBC,所以平面PBCL平面PAC.（2）方法一：过C作CM/AP,则CM,平面ABC.如图，以点C为坐标

2、原点，分别以直线 CB , CA, CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.1 5因为 AB = 2, AC=1,所以 BC = #3.因为 PA=1,所以 A(0, 1, 0), B(/3, 0, 0), P(0, 1, 1).故CB=3, 0, 0), Cp =(0, 1, 1).设平面BCP的法向量为=(x, v, z).CB ni=0,CP ni=0,所以3x= 0, y+ z= 0,不妨令 y= 1,则 i=(0,1, 1),因为AP = (0, 0, 1), AB=(73, 1, 0),设平面ABP的法向量为2= (x, y, z),AP n2=0, AB n2=0,所以z= 0

3、, ,3x y= 0.不妨令 x=1, 2=(1, 43, 0).于是 cos1, 22 ,24,64 .所以由题意可知二面角 C-PB-A的余弦值为解法二：过C作CM，AB于M.图1 因为PAL平面 ABC, CM?平面 ABC,所以PAX CM,故CM，平面PAB.过M作MN，PB于N,联结NC.由三垂线定理得 CN PB.所以/ CNM为二面角CPB A的平面角.在 RtABC 中，由 AB = 2, AC=1,得 BC = ，CM = , BM =1.在 RtAPAB 中，由 AB = 2, PA= 1,得 PB=y5.因为 RtABNMRtABAP,所以3MN_ 21 乘故MN =3

4、 ,510又在 RtACNM 中，CN = W0,故 cos/ CNM =乎.所以二面角C-吁A的余弦值为乎.例2 （2013年普通高等学校招生统一 一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD版）如图，在四面体 A BCD 中，AD 平面 BCD, BC CD, AD 2,BD 22 . M 是 AD 的中 点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ 3QC .证明：PQ/平面BCD;（2）若二面角 C BM D的大小为600，求 BDC的大小.AC（第20题图）【答案】 解：证明（I）方法一：如图6,取MD的中点F,且M是AD中点，所以AF 3FD .因为P是BM中点，所以PF / /BD ;

5、又因为（I ） AQ 3QC且AF 3FD ,所以QF / /BD ,所以面PQF /面BDC，且PQ 面BDC ,所以PQ/面 BDC ;A TOC o 1-5 h z 1 万法二：如图7所不，取BD中点。，且P是BM中点，所以PO/ / MD ；取CD的三等 211分点 H ,使 DH 3CH ,且 AQ 3QC ,所以 QH/-AD/-MD ,所以 42PO/QH PQ /OH，且 OH BCD ,所以 PQ / / 面 BDC ;(n)如图 8所示，由已知得到面 ADB 面BDC，过C作CG BD于G ,所以CG BMD ,过G作GH BM于H ,连接CH ,所以 CHG就是C BM D的面角；由已知得到BM5/81 3,设 BDC，所以CD cos ,sinBDCG CBCD BDCD 2、2cos ,CG 2 2cos sin ,BC 2 2sinBG2在 RT BCG 中，BCG sin - BG 2/2sin2 ，所以在 RT BHGBC中，“G21 HG 2乏sin，所以在R