三次函数的图象与性质专题

1、三次函数的图象与性质例1.已知函数f(x) = x3+ax2+bx+1(a0 , bC R)有极值，且导函数f (x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；(3)若f (x), f (x)这两个函数的所有极值之和不小于7,求a的取值范围.变式1设函数f(x) =；x3 ax2+1,其中a0,若过点(0, 2)可作曲线y = f(x)的三条不同 32切线，求实数a的取值范围.变式2设函数f(x) =x(x 1)(x -a)(其中a 1)有两个不同的极值点 xi,x2,若不等式f(x 1)+ f(x 2

2、) wo成立，求实数a的取值范围.串讲1设f(x) =gx3 + x2+ax有两个极值点 x1, x2,若过两点(x 1, f(x 1) , (x 2, f(x 2)的直 3线l与x轴的交点在曲线y = f(x)上，求实数a的值.串讲2已知函数f(x) =1x3x2+ax+b的图象在点P(0, f(0)处的切线方程为 y = 3x2. 3(1)求实数a, b的值；(2)设g(x) =f(x) +xmy是2,+8)上的增函数.求实数m的最大值；当m取最大值时，是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，

3、请说明 理由.已知函数 f(x) =x3-3x2+(2 -t)x , f (x)为 f(x)的导函数，其中 tCR.(1)当t=2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x) = 0有三个互不相同的根 0, a, B ,其中a 0时，求函数f(x)的极值(用a表示)；若f (x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；(2)函数f(x)图象上点A处的切线11与f (x)的图象相交于另一点 B,在点B处的切线为 12,直线11, 12的斜率分别为k1, k2,且k2=4k1,求a, b满足的关系式.答案：1一 等，存在a=-;

4、(2)a2 = 3b.3 11解析：(1)由 f (x) =3x2+2ax+b及 a2+b = 0,得 f (x) = 3x2+2axa2,令 f ( x)=0,解得x=e或x= a.2分3由 a0 知，x C ( 8, a),(x) 0, f (x)单调递增，xC a, 1 , f (x) v 0,3f(x)单调递减，xC a, +8 , f (x)0,333a5af(x)单调递增，因此，f(x)的极大值为f( a) = 1 + a , f(x)的极小值为f 3 = 1 27.4 分当a=0时，b=0,此时f(x)=x3+1不存在三个相异零点；当 a0时，与同理可 得f (x)的极小值为f(

5、 - a) =1 + a3, TOC o 1-5 h z a5a35 3f(x)的极大值为f - = 1 - 要使f(x)有二个不同手点，则必须有(1 + a) 1而a 32 72 70,即 a327.6 分5不妨设 f(x)的三个零点为 x1 , x2, x3,且 x1x2x3,则 f (x1) =f(x2) =f(x3) =0, f (x1) =x13+ ax12-a2x1+ 1=0, ，f (x2)=x23+ax22 a2x2+1 = 0, ，f (x3)= x33+ax32 a2x3+1=0,，一得(x2x1)( x22 + x1x2+x12) + a(x2 x1)( x2+x0 a2

6、(x2 x。= 0,因为 x2-x1-a2=0,，x2+x3 + x1+ a3a =一 满3110,所以 x22+x1x2+x12+a(x2+x1) - a2=0,，同理 x32+x3x2 +x22+ a(x3+x2)一得 x2(x3 x1) + (x3 x1)( x3+x1) +a(x3x1) = 0,因为 x3 x1 0,所以ac八=0,又 xH-x3 = 2x2,所以 x2= - - .9 分3所以f a=0,即9a，a=a2,即a3=-21 -1,因此，存在这样实数足条件.12分(2)设A(m,f(m),B(n, f(n),则k1 = 3n2+2amb,k2 = 3n2+2an+b,又k1 =f (N f (n)=m- n(n3 n3)+a(n3 n2)+b(m mm- n= ni+ mn+ n2+a(m n)+b,由此可得 3n2+2amb=n2+mn n2+a( mn) + b,化简得 n=a2m,因此