新教材新高考一轮复习人教B版 第二章 第12节 第2课时 利用导数证明不等式 课件（35张）

1、第二章函数与导数 第12节 高考中的导数综合问题第2课时利用导数证明不等式考点探究基础训练考点探究解：(1)因为f(x)x(1ln x),所以f(x)的定义域为(0,),当x(0,1)时,f(x)0；当x(1,)时,f(x)0.所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减.(2)证明：由题意,a,b是两个不相等的正数,且bln aaln bab,两边减,且当0 xe时,f(x)0,当xe时,f(x)0,不妨设x1x2,则0 x11x2e.先证x1x22：要证x1x22,即证x22x1,因为0 x11x2e,所以x22x11,又f(x)在(1,)上单调递减,所以即证f(x2)f(

2、2x1),又f(x1)f(x2),所以即证f(x1)f(2x1),即证当x(0,1)时,f(x)f(2x)0.构造函数F(x)f(x)f(2x),则F(x)f(x)f(2x)ln xln(2x)lnx(2x),当0 x1时,x(2x)1,则lnx(2x)0,即当0 x1时,F(x)0,所以F(x)在(0,1)上单调递增,所以当0 x1时,F(x)F(1)0,所以当0 x1时,f(x)f(2x)0成立,所以x1x22成立.再证x1x2e：由(1)知,f(x)的极大值点为x1,f(x)的极大值为f(1)1,过点(0,0),(1,1)的直线方程为yx,设f(x1)f(x2)m,当x(0,1)时,f(

3、x)x(1ln x)x,直线yx与直线ym的交点坐标为(m,m),则x1m.欲证x1x2e,可证x1x2mx2f(x2)x2e,即证当1xe时,f(x)xe.构造函数h(x)f(x)x,则h(x)1ln x,当1xe时,h(x)0,所以函数h(x)在(1,e)上单调递增,所以当1xe时,h(x)h(e)f(e)ee,即f(x)xe成立,所以x1x2e成立.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直,所以g(1)1,且f(1)g(1)1,即g(1)1ab1,g(1)a1b1,解得a1,b1.0.1.(2)证明：由(1)得函数f(x)有两个极值点x1,x

4、2,方程x2xa0有两个不同实根x1,x2,调递减,a4. 联立,解得a2,b2.2x2,x2ln xln x2x20在1,)上恒成立.h(x)在1,)上单调递增,h(x)h(1)0,所以g(x)f(x)在1,)上恒成立.x(1,)时,g(x)0,则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,所以g(x)maxg(1)1,则a1,所以a的最小值为1.故k的取值范围为1,).解：(1)f(x)(x1)ex2xa,即证xexx2x0.设g(x)xexx2x,x0,则g(x)(x1)ex2x1,g(0)0. 设(x)g(x),则(x)(x2)ex20,所以函数g(x)在0,)上单调递增,故g(x)g(0)0,所以函数g(x)在0,)上单调递增,则当x0时,g(x)xexx2xg(0)0.故f(x)ln x.再令(x)exex,则(x)eex,易知(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减