7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

1、7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义目标导航核心知识目标核心素养目标1.熟练掌握复数的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义,并能简单应用.1.通过复数的代数形式的加、减运算法则和运算律的学习与应用,发展数学抽象及数学运算的核心素养.2.通过复数加、减法的几何意义的学习与应用,强化直观想象及数学运算的核心素养.新知探究素养启迪课堂探究素养培育新知探究素养启迪1.复数的加减运算(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则(a+bi)(c+di)= .(2)加法运算律:对任意z1,z2,z3C,有(ac)+(bd)i交换律z1+z2= .结合

2、律(z1+z2)+z3= .z2+z1z1+(z2+z3)2.复数加减法的几何意义(1)复数加法的几何意义.小试身手B1.已知复数z1=3+4i,复数z2=3-4i,那么z1+z2等于( )(A)8i (B)6(C)6+8i (D)6-8i解析:z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.故选B.C2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故复数z对应的点为(-1,-3),位于第三象限.故选C.(A)-10+8i(B)10-8i(C)0

3、 (D)10+8iC解析:由题意z=x+yi(x,yR),结合|z-i|=2可知x2+(y-1)2=4.4.若复数z满足|z-i|=2,则复平面内复数z对应的点(x,y)满足的关系式是 .答案:x2+(y-1)2=4课堂探究素养培育探究点一复数的加减运算例1 计算下列各题.(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i).例1 计算下列各题.解:(3)原式=(5-2-3)+-6+(-2)-3i=-11i.方法总结(1)复数的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类

4、项);若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR).解:(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.备用例1 已知复数z1=(3-10i)y,z2=(-2+i)x(x,yR),且z1+z2=1-9i,求z1-z2.复数加减法的几何意义探究点二 例2 在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.例2 在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.(2)判断ABC的形状.方法技巧利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.

5、复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.即时训练2-1:如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:即时训练2-1:如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:即时训练2-1:如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:备用例2 在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形.求点D对应的复数z4及AD的长.复数加减法及几何意义的综合应用探究点三 例3 已知|z+1-i|=1,求|

6、z-3+4i|的最大值和最小值.方法技巧(1)|z-z0|表示复数z,z0的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式.(2)|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.即时训练3-1:已知复数z满足|z+2-2i|=1,求|z-3-2i|的最大值与最小值.备用例3 若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值.解:设复数-i,i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3.如图,因为|z+i|+|z-i|=2,所

7、以|Z1Z2|=2,所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,由图可知|Z1Z3|的长即ZZ3长的最小值,最小值为1.课堂达标C1.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为( )(A)5-3i (B)3+5i (C)7-8i (D)7-2i解析:(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)=(6-1)+(-3-3)i+(2-2i)=5+(-6)i+(2-2i)=(5+2)+(-6-2)i=7-8i.故选C.C(A)2+8i (B)-6-6i(C)4-4i (D)-4+2i3.若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点Z在( )(A)实轴上(B)虚轴上(C)第一象限(D)第二象限B解析:因为|z-1|=|z+1|,所以点Z到(1,0)和(-