二次函数y=a(xh)2的图象和性质课件

1、 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质 版权所有第1页，共29页。1.会画y=a(x-h)2的图象；2.了解y=ax2+k，y=a(x-h)2的图象与y=ax2的关系，能结合图象理解二次函数的性质. 版权所有第2页，共29页。 二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2与y=ax2+k的性质？通常怎样画一个函数的图象？复习巩固: 版权所有第3页，共29页。一般地抛物线y=ax2有如下性质：1.当a0时，开口向上；当a0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，侧y随x的增大而增大；当a0时，抛物线开口向上，顶点是最低点，当x=0时，函数y有最小值0；当

2、a0时，开口向上；当a0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧，侧y随x的增大而增大；当a0时，抛物线开口向上，顶点是最低点，当x=0时，函数y有最小值k；当a0,向上平移;k0)抛物线y=ax2抛物线 y=ax2k向上平移c个单位抛物线y=ax2向下平移c个单位抛物线 y=ax2+k 版权所有第7页，共29页。比较函数 与 的图象(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象 完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系? x-3-2-101234 2712303122748 2712303122748 4827123031227 版权所有第

3、8页，共29页。图象是轴对称图形对称轴是平行于y轴的直线:x=1.顶点坐标是点(1,0).二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1 个单位(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次项系数相同a0,开口都向上. 版权所有第9页，共29页。在对称轴(直线:x=1)左侧(即x1时),函数y=3(x-1)2的值随x的增大而增大,. 版权所有第10页，共29页。真知 从实践走来1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(

4、x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？ 版权所有第11页，共29页。图象是轴对称图形.对称轴是平行于y轴的直线:x= -1.顶点坐标是点(-1,0).二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1 个单位.1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次项系数相同a0,开口都向上. 版权所

5、有第12页，共29页。在对称轴(直线:x=-1)左侧(即x-1时),函数y=3(x+1)2的值随x的增大而增大,. 版权所有第13页，共29页。顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(2,0)对称轴:y轴即直线: x=0练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位 版权所有第14页，共29页。一般地,抛物线y=a(xh)2有如下特点:(1)对称轴是x=h;(2)顶点是(h,0).（3）抛物线y=a(xh)2可以由抛物线y=ax2

6、向左或向右平移得到. (h0)xy归纳向右平移h个单位抛物线y=ax2抛物线y=a(xh)2抛物线y=ax2向左平移h个单位抛物线y=a(x+h)2 版权所有第15页，共29页。试一试例1. 填空题（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开 口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .抛物线向上直线x= -5-5小0右4向下直线x= 44大0（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x 时，y随x

7、的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .y=2（x-3）2直线x=3（3，0）33y= -3（x+1）2（-1，0）直线x=-1-1大0 版权所有第16页，共29页。课堂练习1.抛物线y= (x+1)2的开口向 ，对称轴是 , 顶点坐标是 ；2.抛物线 向右平移2个单位,得到的抛物线是 ；下直线x = 1 (1，0)3.函数y= 5(x3)2,当x_时,y随x的增大而增大；当x 时,y随x的增大而减小。334 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线_向

8、_平移_个单位得到.y=4x2左15.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线_, 再向上平移3个单位得到抛物线_; 若向左平移2个单位得到抛物线_，向右平移2个单位得到抛物线_.y=-2x2+1y=-2x2-2y=-2（x+2）2y=-2（x-2）2 版权所有第17页，共29页。2、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析

9、式。 版权所有第18页，共29页。练习y= 2（x+3）2画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。y= 2（x-3）2y= 2（x-2）2y= 3（x+1）2 版权所有第19页，共29页。如何平移： 版权所有第20页，共29页。小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a0时, 开口向上;当a0时, 开口向上,当a0,向上平移;k0,向右平移;h0时, 开口向上,当a0a0h0h0(,0) 版权所有第22页，共29页。观察图象,回答问题(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别

10、是什么? (4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？ 版权所有第23页，共29页。2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.y3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x1时, y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x-1时, y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象

11、4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.X=-1X=11.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1. 版权所有第24页，共29页。1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.3.当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a0时,向右移 个单位;当h0)y=a(x-h)2 (a0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x