2019-2020年高考数学单元考点复习11分期付款中的有关计算

1、2019-2020年高考数学单元考点复习11分期付款中的有关计算教学目的：1、 知识目标：使学生掌握等比数列前 n项和公式在购物付款方式中的应用；2、能力目标：培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力；3、 德育目标：使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物，建立科学的世 界观；4、 情感目标：通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神；通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志，也使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感教学重点：引导学生对例题中的分

2、期付款问题进行独立探究 教学难点：独立解决方案 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列 的通项公式及其前 n项和公式，并学习了教材中的阅读材料：有关储蓄的计算（单利计息问题），也 就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础其次，全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）将研究性课题列为必修内容，是为迎接 知识经济的挑战而培养学生创新精神和创新能力的一项开创性工作研究性学习注重的是让学生学 会学习和研究，关注的是研究过程，其核心是创新意识的培养本研究性课题，是所学知识的实际应用，因此对培

3、养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现，学生对如何学习 研究性课题比较模糊，所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点 突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果问题是数学的心脏而爱因斯坦有句名言：提出问题比解决问题更重要 而培养学生提问题 的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境，更重要的是引起学生的认知冲突 教学过程：一、引入：1.幽默故事：一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇 美国老太太说，她住了一 辈子的宽敞房子，也辛

4、苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款 而中国老太太却叹息地说，她三 代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁一一花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物，分期付款已深入我们生活但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务， 究竟选择什么 样的方式好呢？基本公式：等差数列的前项和公式：2 等比数列的前 n项和公式：当时，或当q=1时，特殊数列求和一一常用数列的前 n项和:12 321 3 5 亠(2n -1) = n9 二心2 n(n 1)(2 n 1)123亠 亠n6.3 亠 3 亠33 , n(n 1) , 2123 亠 亠 n=23求和的常用方法：特殊数

5、列求和公式法、拆项法、裂项法、错位法二、问题：某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%):购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款购买后12个月第6次付款；购买后1个月第1次付款，过1个月第2次付款购买后12个月第12次付款；购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款你能帮他们参谋选择一下吗？”三解决问题的过程：启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？(显然不是，而会偏高)那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？

6、(利息)问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？(事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题)于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？设为x搜集、整理信息：分期付款中规定每期所付款额相同；每月利息按复利计算，即上月利息要计入下月本金例如，由于月利率为1%,款额a元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元)；再过一个月又增值为 1.01a(1+1%)=1.01a(元)独立探究方案1可将问题进一步分解为：商品售价增值到多少？各期所付款额的增值状况如何？3 .当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？提出解答，并给答辩：由商品价格=付款额，得1224

7、68101000Q(1+1%)=x+(1+1%) x+(1+1%) x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x,解得x :12 210000 1.01 (1.01 -1)12 1785.861.01 -1a元的商品，分n次经过m个月还清贷款创建数学模型：比较方案1结果，经过猜想得：分期付款购买售价为- 2 1a(1 + p)m |(1 + p) n -1每月还款x元,月利率为p,则x =方案3中，x(1 + P)m-16.验证并使用模型:方案2中，x :10000 X1.0112 1.01-1) 88849 1.0112110000 X 1.0112 X(1.O14 -1) = 360

8、7.621.0112 -17结论分析:方案1中，x=1785.86元，付款总额 6x=10721.16元; 方案2中，x=888.49元，付款总额 12x=10661.85元; 方案3中，x=3607.62元，付款总额 3x=10822.85元万案 类别付款次数付款方法每期所付款表达式每期 付款付款 总额16每隔2个月付款1 次，付6次x=1785.8610721.16212每月付款1次，付12次x=888.4910661.8533每隔4个月付款1 次，付3次x=3607.6210822.85考试说明明确指出：“能阅读、理解、对问题进行陈述的材料，能综合运用所学的数学知识、思想和方法、解决问题

9、包括解决带有实际意义的或相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数 学语言正确地加以表述”本节课以经常碰到的银行储蓄和分期付款为背景，复习了等比数列的应用, 体现了数学的实际应用价值，尤其是从实际出发来表述问题，课堂气氛异常热烈，更加接近了数学 与生活的距离，增加了学生的兴趣，提高了数学的育人功效四、小结分期付款中的计算涉及的数学 知识：等比数列前n项和公式；数学思想：列方程解未知数“方案2、3模型t方案3”是由特殊到一般，再由一般到特殊的研究方法；研究性课题的基本过程：生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩创建数学模型验证并使用模型结论分析 问

10、题来源于现实，问题处处存在，要善于发现问题并抓住问题本质 ；而探究问题时往往不会-帆风顺,要勇于战胜困难,磨砺自己意志.促进学生知识迁移分期贷款及以复利增长型问题可类似解决五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决六、板书设计（略）七、课后记：2019-2020年高考数学单元考点复习12分期付款中的有关计算教学目的：通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问 题进行研究教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：研究性课题的教学有两

11、个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容， 如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探 究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次， 不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、 分析问题、解决问题的能力和心理体验，这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法 和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题， 从而也为促进教学相长提供了好机会研究性课题是应教

12、改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践 性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启 发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题另外以突出学生主体地位为根本去设计教学 环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体 教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程：一、复习引入：研究性课题的基本过程 ： 生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩 创建数学模型验证并使用模型结论分析.分期付款使用模型： 分期付款购买售价为 a的商品，分n次经过m个年（月）还

13、清贷款，每年 （月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款：- m a（1 + p）m.|（1 + p）n -1（1 + p）m-1二、例题讲解将上节课采取不同方案所得结果列表比较，看其是否有共同特点？列表比较，观其规律万案 类别付款次数付款方法每期所付款表达式每期 付款付款 总额16每隔2个月付款1 次，付6次x=1785.8610721.16212每月付款1次，付12次x=888.4910661.8533每隔4个月付款1 次，付3次x=3607.6210822.85例1 一般地，购买一件售价为a元的商品采用分期付款时要求在m个月内将款全部付清,月利率为p,分n(n是m的约数)次付款，那么每

14、次付款数的计算公式为mx a(1 p)m(1 p)n -1xm(1 + p)m-1推导过程：设每次付款x则：第1期付款x元(即购货后个月时)，到付清款时还差个月，因此这期所付款连同利息之 和为：第n期付款(即最后一次付款)x元时，款已付清，所付款没有利息各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：m m_- 亠 亠x(1 p) nm2mx x(1 p)n x(1 p) nm2mp)n (1 p) (1 p) n = a(1p)m货款到m个月后已增值为根据规定可得：x1 (1(1 + p)m -1 即：X ( p)m -a(v p)m解之得：x1 p)m(1 p)n(1 p)n -1(1

15、p)m -1例2某人，公元XX年参加工作，考虑买房数额较大需做好长远的储蓄买房计划，打算在xx年的年底花50万元购一套商品房，从 xx年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题:方案1:从xx年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持，在xx年年底，可以从银行里取到不变，按复利计算(即上年利息要计入下年的本金生息)多少钱？若想在xx年年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢?方案2:若在xx年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到 xx年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢?方案3:若在xx年初

16、贷款50万元先购房，要求从贷款开始到xx年要分5期还清，头两年第1期付款，再过两年付第二期，到xx年年底能够还清，这一方案比方案2好吗？启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ 每次付款额是50万元的平均数吗？(显然不是，而会偏高) 那么分期付款总额就高于买房价，什么引起的呢？(利息)问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？(事实上，它等于各次付款额之和, 于是可以归结为上一问题)于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？设为x搜集、整理信息：分期付款中规定每期所付款额相同；每年利息按复利计算，即上年利息要计入下年本金 例如,由于年利率为1.9

17、8%，,款额a元过一个年就增值为a(1+1.98%)=1.0198a( 元);再过一个月又增值为 1.0198a(1+1.98%)=1.0198a( 元)独立探究方案1可将问题进一步分解为：商品售价增值到多少？各期所付款额的增值状况如何？当贷款全部付清时，房屋售价与各期付款额有什么关系？ 提出解答，并给答辩：按复利计算存10年本息和(即从银行里取到钱)为：3 x +3X + +3X疋33.51 (万元)3 (1 1.98%)1-(1 1.98%)101 _ (1 +1.98%)设每年存入x万元，在xx年年底能够存足 50万则:x = 50(1 1.98%) J -(1 1.98%)101 (1

18、 +1.98%)解得x=4.48 (万元)通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用, 储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题；独立探究方案2 :分析方法1:设每年还x,第n年年底欠款为，则xx 年底：=50 (1+4.425%)- xxx 年底：=(1+4.425%)- x=50-( 1+4.425%) x - x xx 年底：=(1+4.425%)- x=50 x- x -( 1+4.425%) x - x=50 X-解得:50 (1 4.425%)101 -(1 4.425%)1 -(1 4.425%)10疋6.29 （万元）分析方法2: 50万元10年产生本息和与每年存入 x的本息和相等，故有 购房款50万元十年的本息和：50每年存入 X万元的本息和： X +X +X= X从而有 50= X解得：x=6.29 （万元），10 年共付：62.9万元独立探究方案3:分析：设每期存入 X万元，每一期的本息和分别为：第5期为X，第4期X,第二期：X，第1期x,则有1+ X=50 解得:50(1 4.425%)10 1 -(1 4.425%)21 -(1