网络综合原理：第四章 逼近理论1

1、第四章 逼近理论4.1 引言逼近问题：用一个物理可实现的网络函数 无限逼近理想低通的幅频函数 ，以最大限度地满足各种实际应用的技术要求。1网络综合原理 第四章 逼近理论24.1.1 泰勒逼近泰勒逼近又称最大平坦逼近。设 是给定的函数，以 逼近 ，在逼近区间内的 上（ 点附近）将 和 用泰勒级数展开：网络综合原理 第四章 逼近理论3网络综合原理 第四章 逼近理论若两个级数的前 次项的系数相等，称 为 的 阶泰勒逼近，并且误差为：随着 的增大，误差将增大4.1.2 切比雪夫（Chebyshev）逼近切比雪夫逼近准则是最大误差最小化准则。设 和 都是 次多项式， 在 区间上最佳地逼近函数 ，使误差最

2、大值满足： 的解切比雪夫逼近等波动逼近4网络综合原理 第四章 逼近理论54.2 最平幅度逼近（Butterworth逼近）最平幅度逼近是一种泰勒逼近，又称巴特沃斯逼近4.2.1 巴特沃斯多项式满足下述条件的 阶多项式，称为巴特沃斯多项式用 表示：1. 是 的 阶多项式，2. ，3. 在原点处最平坦，4. 。 网络综合原理 第四章 逼近理论由条件1可知：由条件2可知：由条件3可知， 在原点处最平坦， 在原点有尽可能多的导数为零，令其前 阶导数为零，于是：6网络综合原理 第四章 逼近理论故有从而得到 为：最后由条件4可得：故得巴特沃斯多项式 为：7网络综合原理 第四章 逼近理论84.2.2 巴特沃

3、斯低通滤波器若特征函数 由下式定义：则该网络称为巴特沃斯低通滤波器，简称B型滤波器。式中 是常数, 是巴特沃斯多项式的幂次,也称为滤波器的阶数， 是归一化频率，是截止频率.网络综合原理 第四章 逼近理论巴特沃斯工作衰减为：幅度平方函数（电压转移函数）为：当 时：9网络综合原理 第四章 逼近理论10 区间（通带）内，在 处 的最大衰减 为： 呈低通特性巴特沃斯逼近是对理想低通滤波器幅频特性在通带内的 阶泰勒逼近网络综合原理 第四章 逼近理论11给定滤波器的指标为：1. 通带内，即 时，2. 阻带内，即 时，由 可得：又得：网络综合原理 第四章 逼近理论124.2.3 巴特沃斯逼近的工作传输函数记

4、 为归一化复频率，将特征函数在复平面 上解析延拓可得：得：根据费尔特卡勒等式，可得：将上式在复平面 上解析延拓可得：网络综合原理 第四章 逼近理论13令 ，解得根 为：其实部和虚部分别为：故 的零点是位于半径为 的圆周上，幅角间隔为 的 个点。网络综合原理 第四章 逼近理论14将 左半平面的 个根赋予 ， 仅有零点，从而 仅有极点，故巴特沃斯低通滤波器是全极点型低通滤波器。附录表A-1、A-2和A-3分别给出了 时巴特沃斯低通滤波器的工作传输函数的零点和工作传输函数网络综合原理 第四章 逼近理论15网络综合原理 第四章 逼近理论4.2.4 巴特沃斯低通滤波器的性质对于任意 阶巴特沃斯低通滤波器

5、，其电压转移比函数的幅频特性具有如下性质：1.当 时， ， 是直流增益2. 当 时， 是单调下降的，并且在 处有最大值。3. 阶巴特沃斯低通滤波器的高频幅频特性以每十倍频 的速率下降。当 时，于是16网络综合原理 第四章 逼近理论17网络综合原理 第四章 逼近理论4.2.5 巴特沃斯低通滤波器的设计阶数、工作传输函数（电压传输函数）的确定以及电路实现。例4-1 设计一个巴特沃斯低通滤波器，其信号源内阻 ，并满足下列技术指标：通带内最大衰减 ，阻带内最小衰减 ，图4.2是其技术指标的容限图 18网络综合原理 第四章 逼近理论图4.2 五阶巴特沃斯低通滤波器技术指标19网络综合原理 第四章 逼近理论解：由图4.2得，巴特沃斯低通滤波器的 带宽为 ，阻带边界频率1. 确定阶数由式4-10可得：再由式4-11得：取整数值202. 求归一化频率时的特征函数和工作传输函数当 时：由附表A-3得 时的五阶巴特沃斯低通滤波器的工作传输函数为： 网络综合原理 第四章 逼近理论213. 求归一化低通原型当 时：网络综合原理 第四章 逼近理论传输零点全部在 处，用考尔型实现由附表A-4可得五阶巴特沃斯低通原型电路为：图中：22网络综合原理 第四章 逼近理论图4.3 五阶巴特沃斯低通原型电路(a)(b)23 4. 反归一化，求实际电路的元件值由于归一化电路以 时的 频率 为参考频