解连组根式以及抽象不等式

1、关于解连组根式及抽象不等式第一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月高中数学研究的主要内容关系 确定关系 随机关系 数数关系： 形形关系： 立体几何解析几何代数 数形关系：函数方程不等式解析式不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求 最 值 规律与统计第二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月不等式的性质(一) 作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二) 性质：3.重要的不等式多多益善十四条 文字背诵是关键说明：不等式的性质分类：按课本上的分类方式：按资料上的分类方式：单向式；双向式按自己的分类方式：第三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月1.基本性质大小的定义对称性传递

2、性如果a-b是正数，那么ab；如果a-b是等于零，那么a =b；如果a-b是负数，那么ab；如果ab, bc,那么ac如果ab，那么ba，如果bbabbaab，bc ac第四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月2.运算性质对一个不等式的运算(变形)对多个不等式的运算(变形)第五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月对一个不等式的运算(变形)加(减):如果ab，那么a+cb+c乘(除)：如果ab,且c0,那么acbc如果ab,且c0,那么acb,c0 acbcab a+cb+cab,c0 acb，且cd，那么a+cb+d同号可倒： 乘：ab， cd a+cb+d如果a b 0，且cd0

3、，那么acbda b 0，cd0 acbd若ab,ab0,则注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性 加：同向可正值同向可第七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月3.重要的(经典)不等式11均值不等式：(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立(当且仅当=时等号成立)2+22 第八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月当且仅当=时等号成立二元的均值不等式 若,R+,则211+2+2+2注1：使用前提是正数 当且仅当等相连 放缩消元变结构 应用特例求最值注2：与对号函数 的关

4、联或注3：即第九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月12三角形(绝对值)不等式 |123n|1|+|2|+ |3|+|n|-|+| 注1.放缩换序增减号 特例消元求最值 注2.拍扁三角取等号 同号异号是关键 “=”成立的条件： 中间“”时,右侧取“=”的条件是“0”中间“”时,右侧取“=”的条件是“0”左侧取“=”的条件是“0且|”左侧取“=”的条件是“0且|”第十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月13柯西不等式 i：一般式 ii：向量式方和积 积方和1.表述方式众多：2.应用： i：作用：换序变结构 ii：用途：解证求最值注：最常见的是将 配凑为 常数列第十一张，PPT共三十六

5、页，创作于2022年6月14排序不等式反序和乱序和顺序和第十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月15分数的性质若 ,a,b,c,d,m,n0,则特例2：若 ,a,b,m0,则特例1：若 ,a,b,m0,则注：真分数的分子分母加同一正数后放大(糖水不等式，调日术，插值定理)第十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen)不等式: ,有当且仅当 时取等号设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当 时取等号凸凹性与琴生(Jensen)不等式 16第十四张，PPT共三十六页

6、，创作于2022年6月17伯努利不等式参选修4-5P：51 52 : 若x-1,且0 或1，则:若x-1,且0 1 ，则(当且仅当n=1时等号成立)如果x是实数,且x-1, x0 ,且n为大于1的自然数, 则 注：伯努利不等式常见的推论：:若xi-1 , 则第十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月18lnx不等式与数列不等式(1).“半成品”辅助函数 的衍变 大多数是(2).令 ，由迭加法可得(3).令 ，由迭加法可得第十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角

7、不等式线性规划四成立不等式的应用1.解不等式：常见题型第十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月一元二次不等式的解法1.公式(口诀)法：口诀1：大于号要两头 小于号要中间口诀2：一正二方三大头 无根大全小为空2.其他法：配方法：图象(标根)法：因式分解法：标根法解一元n次不等式 一正二方三穿线 奇穿偶切右上方上大下小中为等 函数简图是本质第十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月分式不等式的解法 1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法第十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月常见解法常见题型形法数法“纯”不等式法函数法函数图象线性规划其他图象1.解不等式： 一般的，不等式解

8、集的端点值是方程的根 不等式的应用第二十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月数法：形法：比较法分析法综合法反证法数归法放缩法函数法法2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用第二十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月数法：形法：函数图象最值定理（均值不等式）线性规划函数法（导数法）3.求最值常用的方法：2.证明不等式常用的方法：1.解不等式：不等式的应用第二十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月75 解不等式组,连不等式,根式及抽象不等式 数形结合“或”字型 书写格式整体观一、解不等式组通法:“截”成不等式组二、解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式三

9、、解根式不等式去掉根号是常法 正值可方奇无限留意等号定义域 数形结合是特法四、抽象不等式 抽象不等具体化 数形结合性质法辅助函数是关键 增大减小是根本第二十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月数形结合“或”字型 书写格式整体观(1).必修5P： 103 B组 Ex2解：故所求解集为因解得一、解不等式组解不等式组第二十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月解：故所求解集为因解得即(2).解不等式组第二十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月通法:“截”成不等式组二、解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式练习2.解连不等式(3).不等式2x2-2x8的解集是_2x2-

10、2xx2-2x8因解得即-2x4x 或x-2x 或 x4故所求解集为x| -2x 或 x4法1：第二十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月通法: “截”成不等式组二、解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式练习2.解连不等式(x2-2x-2)(x2-2x-8)0因解得即-2x 或 x4故所求解集为x| -2x 或 x4法2：x2-2x-80-2x 或 x4x2且x4(3).不等式2x2-2x8的解集是_第二十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月三、解根式不等式去掉根号是常法 正值可方奇无限留意等号定义域 数形结合是技巧注1.数法陷阱有三：Domain”=”的取舍注2.技

11、巧：正值可方数形结合 大题小作(2010年全国卷简化)练习3.解根式不等式(4).解不等式第二十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月(4).解不等式析：解不等的“分水岭”是相等，即方程也解方程得原不等式等价于设函数第二十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月四、抽象不等式 抽象不等具体化 数形结合性质法辅助函数是关键 增大减小是根本法1：令f（x）=|x|, 法2：依题意得,原不等式等价于故,解得(5).(2009年辽宁)已知偶函数f(x)在区间0,+)单调增加则满足 的x取值范围是A. B. C. D. 又因f(x)在区间0,+)单调增加即解 第三十张，PPT共三十六页，创作于

12、2022年6月(6).精炼案P：27 Ex4 (2011年辽宁)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意xR，f /(x)2，则 f（x） 2x+4的解集为A.(-1.1) B.(-1,+) C.(-,1) D.(-,+)法1：令f（x）= 3x+5, 即解 3x+52x+4 故 f（x） 2x+4等价于解g（x） g（-1）法2：令g(x)=f(x)-2x-4 由题意得g /(x)= f /(x)-20在R上恒成立即g (x)在R上,因g (-1)=f(-1)+2-4=0,解g (x) g（-1）得x-1第三十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月(7).(2009年天津)设函

13、数f(x)的导函数为f /(x) ，且2 f(x)+x f /(x)x 2，则下面的不等式在R上恒成立的是 A. f(x)0 B. f(x)0 C. f(x)x D. f(x)x 法1：令f(x)=x 2+1:当x=0时,易得 f(x)0或令x=0,即得 f(x)0 :当x0时，法2：令g(x)=x 2 f(x),则g /(x)=2x f(x)+x 2f /(x)=x 2 f(x)+x f /(x):当x 0时，g /(x)x 30 , 即g (x)在R-上, 即g (x)在R+上故g(x)=x 2 f(x) g(0)=0,即 f(x) 0g /(x) x 30 故g(x)=x 2 f(x)

14、g(0)=0,即 f(x)0综上 f(x)0第三十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月(8)(2013年辽宁)设A.有极大值无极小值 B.有极小值无极大值C.即有极大值也有极小值 D.即无极大值也无极小值则x0时, f(x)故选【D】法1：辅助函数是关键 增大减小是根本由 得设则故 g(x)在(0,2)上 ,在(2,)上 故g(x)g(2)=0 当x0且x2时恒成立 从而 f /(x)0 当x0且x2时恒成立 ,而 f /(2)=0即f(x)在(0,)上 ,第三十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月(8)(2013年辽宁)设A.有极大值无极小值 B.有极小值无极大值C.即有极大值也有极小值 D.即无极大值也无极小