1.9-辅助线的作法之角平分线模型构造

1、辅助线的作法 角平分线模型 知识要点角平分线AOB21性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等. 角内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上（逆运用）PMN典型例题如图，若OP是AOB的角平分线，PEOA，可过P点作PFOB.则有结论：（1）PE=PF.（2）证得OPE OPF.图中有角平分线，可向两边作垂线PFBOAE（3）OE=OF.CBAD典型例题例1. 如图在ABC中，A=90，AB=AC，BD是ABC的平分线. 求证：BC=AB+AD.又A=90, AB=AC ABC为等腰直角三角形证明： A=90， BD是ABC的平分线 DE=AD，BE=AB45 C= 45 DEBC C

2、DE= C = 45过D作DEBC于E1245 DE= CE BC= BE+EC=AB+AD E典型例题例2. 如图，BE平分ABC，CE平分ACD,求证： E点在FAC的平分线上 .证明： BE平分ABC EM=EN CE平分ACD EM=EH， EN=EH过E作EMBD于M，过E作ENBF于N,过E作EHAC于H,连接AE. E点在FAC的平分线上CBADEFMHNBOAPE典型例题如图，若OP是AOB的角平分线，可在OB上取OF=OE.则有结论：（1） OPE OPF（2） PF=PE，OF=OE.截长补短在角边，对称以后关系现F（3）PFO=PEO， OPF=OPECBAD典型例题例3

3、. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC. 求证：BC=AB+DC.又A=108, AB=AC证明： BED=A=108 DEC=72在BC上截取点E，使BE=BA，连接DE36 C=ABC=36 BC= BE+EC=AB+DC 127210810872 BD是ABC的平分线 1=2，又BD为公共边ABDEBD（SAS）EDC=DEC=72EC= DC E典型例题例4. 如图，已知ABCD，AE、DE分别平分BAD 和ADC，求证：AD=AB+ CD.证明： 1=2 ，AE为公共边ABEAFE（SAS） B= 5 ABCD B+C=180 5+6=180C= 6在A

4、D上截取点D，使AF=AB，连接EF21 AD= AF+FD = AB+CDBCADEF3456 3=4 ，DE为公共边CDEFDE（SAS） CD= FD典型例题BOA如图，若OP是AOB的角平分线，过P点作OB的平行线交OA于E点.则有结论：EOP是等腰三角形角平分线平行线，等腰三角形来添PEFACBDE典型例题例5. 如图，DE=EC，DF/BA， DF=AC，求证：AE平分BAC.32M DF=AC AC=CM2=M2=1证明： DF/AB1=3， 2=3延长FE到M，使EM=FE，连接CM则CEMDEF (SAS) M=1，CM=DF1AE平分BAC典型例题BOA如图，若OP是AOB的角平分线，EPOP，则可延长EP交OB于F点.则有结论：（1）证得OEF是等腰三角形角平分线加垂线，三线合一等腰现PEF（2）P是EF中点典型例题例6. 在RtABC中，BAC=90，AB=AC，CEDE的延长线，1=2，求证：BD=2CE.证明： CEDE1+F= 3+F=901=3又AB=AC，BAD=CAF=90BADCAF（ASA） BD= CF延长BA，CE交于点F21BCADEF3F模型总结BOAPFEBOAPFEBOAPEBOAPEF关于角平分线模型，可从以下四个方面来构造辅助线（1）图中有角平