泛函分析重要内容

1、-. z.们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。Chp.1 距离线性空间SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理有序集的定义：1假设a在b之先，则b便不在a之先。2假设a在b之先，b在c之先，则a在c之先。这种先后关系记作 良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。良序集的超限归纳法：1 为真，这里是A中最先的元素。2 对一切,为真，则 亦真则 对一切皆真。选择公理 设 N=N是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N 都有局部有序称元素族*是局部有序的，如果在其中*些元素对a,b上有二元关

2、系，它据有性质：例如*中包换关系在局部有序集下，有上界、极大元和完全有序其中完全有序的C： 。例如 在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是局部有序的，实轴、虚轴是完全有序的。佐恩引理 设*非空的局部有序集，如果*的任何完全有序子集都有一个上界在*中，则*必含有极大元。从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋线性空间。SS2. 线性空间，哈迈尔Hamel基线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中mM, nN。线性流形的直和：

3、如果MN=,则以代替M+N如果,则称M与N是代数互补的线性流形。于是有下述定理：定理2.1 设M,N是线性空间*的线性流形，则当且仅当对每个*都有唯一的表达式 *=m+n, mM,nN.定理2.2 假设，则 dim*=dimM+dimNHamel基的定义：设*是具有非零元的线性空间，*的子集H称为*的Hamel基，如果1 H是线性无关的。2 H成的线性流形是整个空间。则有Hamel基和线性无关子集的关系：定理2.3 设*是线性空间，S是*中任意的线性无关子集，则存在*的一个Hamel基使得 推论 任何非零线性空间必有Hamel基由定理2.3，可有定理2.4 设M是线性空间*的线性流形，则必有线

4、性流形 使得，即N是M的代数补。SS3 距离空间度量空间，距离线性空间定义了距离满足正定性、对称性和三角不等式的映射d(*,y)的空间即为距离空间，记为按距离收敛： 设距离空间中的点列使得 ,则称按d(，)收敛到*，简记为距离线性空间：设赋有距离d(,)的线性空间*满足12距离线性空间的例子例1 有界序列空间m设*代表所有有界数列的集合，设定义加法和数乘：以及距离：则它是一个线性距离空间例2 收敛序列空间c元素、加法、数乘和距离定义同上，序列有极限。例3 本质有界可测函数空间定义加法和数乘：(*+y)(t)=*(t)+y(t), (a*)(t)=a*(t)以及距离： d(*,y)=essup|

5、*(t)-y(t)|例4 所有序列空间s元素、加法和数乘定义同例1，距离 例5 空间设*代表满足条件的所有数列的集合，加法和数乘同例1，距离为 SS4 距离空间中的拓扑，可分空间中，球、开集、邻域、闭集、点、部的概念同拓扑。其中，极限点的概念相当于拓扑学中的聚点，连续函数的定义和拓扑也是一致的。稠密：设是距离空间，S包含于*称为稠密的，如果任给.空间*称为可分的，如果*有一个可数的稠密集。例5、 所有序列空间s是可分的；有界序列空间m，例3是可分的。SS5 完备距离空间完备性：称是完备的，假设对任意的柯西序列都收敛。例 C0,1:所有复值连续函数的集合， 是完备的。定义与例3一样的加法和数乘，

6、定义距离 d(*,y)=ma*|*(t)-y(t)|，则它是线性距离空间，称为连续函数空间完备化：对距离空间，假设有完备的距离空间,使*等距于， 即有,且T(*)是中的稠密子集，则 为*的完备化。进一步，有定理定理5.1 任何距离空间都存在完备化SS6 列紧性列紧：中集合M是列紧的，如果M中任何序列都有收敛子列。 闭的列紧集称为自列紧集。-网：对中的M,N，为给定正数，假设对M中的任一点*，必存在N中的一点*使得d(*,*)0，总存在由有限元组成的M的-网。定理6.1：在距离空间中，列紧性蕴含完全有界性；假设更设*完备，则列紧性与完全有界性等价。定理6.2：在距离空间中，任何完全有界集是可分的

7、。定理6.3：在距离空间中，紧紧致性和自列紧性等价。等同连续：设F是一族从到的函数，假设任给都有 f(*),f(*), 当d(*,*),则称F是等同连续的。定理6.4：阿尔采拉-阿斯科利是列紧的必须且只需F是一致有界且等同连续的。定理6.5：蒙泰尔设是区域上一致有界的解析函数列，则与任何完全位于的有界区域DD的闭包在，恒有f的子序列在D上一致收敛。SS7 赋线性空间满足数三公理的从*到R的映射称为数，这样的赋线性空间记为。赋线性空间*中，*是*的连续函数。线性算子 设T是从到的函数映射，假设对一切*,y*和数a,b都有 T(a*+by)=aT(*)+bT(y)，则称T是*到Y的线性算子。 如果

8、还存在常数C0，使对一切*都有 ,则T是有界的 如上的C的下确界称为T的数，记为T定理7.1 设*,Y是赋线性空间，T是从*到Y的线性算子，则下述等价：1T在*点连续；2T在*中所有点连续；3T是有界的。线性算子的值域、满射的线性算子、单射的线性算子，逆算子这些定义是显然的。其中有界限性算子的逆算子一般未必有界，假设有界则称为有界可逆的。定义在从线性空间*到复数域C的线性算子函数，称为线性泛函。命题7.2 有限维赋线性空间中点收敛等价于坐标收敛命题7.3 有限维赋线性空间与同维度实数域线性同构且同胚。Riesz引理：设M是赋线性空间*的真子空间，则对任给的正数且 根据这个引理，我们知道任何赋线

9、性空间*，假设球B(*,r)是列紧的，则*必是有限维的。Chp.2 希尔伯特空间SS1积空间定义 设*是复线性空间，如果对任给的*,y*都恰有一个复数，记为(*,y)，与之对应，并且这个对应有以下四条性质：(1)(2)(3)(4)对任意的*,y*和aC,则称(*,y)是*与y的积，称*为具有积的及空间。正交的定义：(*,y)=0进一步可以构建正规正交集，并且向欧几里得空间那样构建二数*。定理1.1 给出及空间*中的正规正交集*，则对任何*.贝塞尔不等式施瓦茨不等式定理1.2 每个积空间*按二数称为赋线性空间名义命题1.1 积(*,y)是*,y的二元连续函数，即当*,y有极限时，积也有极限。命题

10、1.2 设点集M在积空间*中稠密，假设有*使(*,*)=0, 对任意*,则*=0须知，积空间中向量的数有着异于其它赋线性空间中向量数的独特性质。命题1.3 平行四边形法则是否每个赋线性空间*都能赋以积(*,y)使得原来的数*总可以表成为呢？可以证明：*能赋以积的充要条件是*中的数满足平行四边形法则。例1 在空间C0,1不是积空间。只需取*(t)=1,y(t)=t,考虑*+y和*-y即可。C0,1是完备的定义1.3 假设积空间是完备的，则称H为希尔伯特空间例2 空间的全体形成的线性空间，是希尔伯特空间。例3 空间是希尔伯特空间。注意到上两例同时也是线性距离空间命题1.4 积空间*的完备化是希尔伯

11、特空间。SS2 正规正交基现设H表示非零希尔伯特空间正规正交基：设S是H中的正规正交集，如果H中没有其他的正规正交集真包含S，则称S为H的正规正交基。这等价于：命题2.1 设S是H中的正规正交集，则S是H的正规正交基充要条件是 H中没有非零元与S中每个元正交。定理2.1 假设H可分，则H必有一个可数的正规正交基。定理2.2 每个非零的希尔伯特空间都有正规正交基定理2.3 设是H的一个正规正交基，则对任何的*,都有 推论 每个可分的希尔伯特空间都与l2同构。SS3射影定理，弗雷切特-利亚茨表现定理设M是希尔伯特空间H的线性流形，定义 ，称其为M的正交补，二者的交为0，它也是H的子空间。定理3.1

12、射影定理 设M是希尔伯特空间H的子空间，则每个*都可以唯一地表成： 称这个由*与M唯一确定的y为*在M上的正交射影。命题3.1 设M是H的线性流形，则.设表示希尔伯特空间H上全体连续线性泛函按逐点定义的加法和数乘形成的线性空间，对,按这个数，它也是完备的赋线性空间，称其为H的共轭空间或对偶空间。定理3.2 弗雷切特-利亚茨表现定理设 使f可表为定义3.1 设(*,y)是从HH到C中的函数，据有性质：(1) (2) 则称它是H上的双线性泛函定理3.3 设(*,y)是H上的有界的共轭双线性泛函，则恰有H上一个有界限性算子A，使得 (*,y)=(A*,y)SS4 希尔伯特共轭算子伴随算子，拉克斯-米

13、尔格拉姆定理希尔伯特共轭算子 设H1,H2都是希尔伯特空间，T是从H1到H2的有界限性算子。称T*为T的希尔伯特共轭算子，也称伴随算子，即由其定义可见 总之，对于这样的一个有界限性算子，总有它的伴随算子使得上式成立，且由其唯一确定。例1 对于一个矩阵算子，它的共轭转置就是它的希尔伯特共轭算子。Chp.3 巴拿赫空间上的有界限性算子SS1 有界限性算子算子的数：设*,Y是赋线性空间，以下记从*到Y的全体有界限性算子集合为L(*,Y),而L(*,*)简记为L(*). 设AL(*,Y)，我们知道A的数为A=supA*/*，其中*不为零。命题1.1 两个L(*,Y)中算子和的数小于数的和，数乘算子的数

14、等于算子数的数乘。命题1.2 设*是赋线性空间，Y是巴拿赫空间，则L(*,Y)也是巴拿赫空间。命题1.3 算子积的数小于数的积。数A强于数B，指A的收敛蕴含了B的收敛；如果互相都强于互相，则称二者是等价的。算子的逆命题1.5 设*,Y都是赋线性空间，A:*-Y是线性映射，则A是单射的，且定义在R(A)上的算子A是连续的，充分必要条件是存在常数m0使得A*m*,对任意的*中的*。定理1.1 设*是巴拿赫空间，AL(*),且A0.命题2.3 设M是赋线性空间*中的线性流形，*，则*M的闭包 当且仅当 对*上任何连续线性泛函f，f(*)=0, 对任意*M,蕴含f(*)=0.进一步推论 设S是赋线性空间*的子集，*，则 *可以用S中的线性组合来逼近 当且仅当 对*上的任何连续线性泛函f都有 f(*)=0, 对任意*S蕴含f(*)=0.命题2.4 设M是巴拿赫空间*的有限维子空间，则有*的子空间N，使得 *=M+N且M与N的交为0。定理