三角函数基本概念和表示

1、第三章三角函数第一节三角函数及概念复习要求：.任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；.三角函数(1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；(2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。知识点：.任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止B位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射O 线的端点叫做叫的顶点。.角的分类为了区别起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零

2、角。.象限角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。12k2k -, k Z(1)第一象限角的集合：2(2)第二象限的集合：。(3)第三象限角的集合：。(4)第四象限角的集合：.轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上， 称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。.终边相同的角所有与角 终边相同的角连同角在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为：S |k 360k Z或S | 2k ,k Z。它们彼此相差 2k (k z),根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角

3、函数值都相等。6.区间角区间角是指介于两个角之间的所有角，如_ 5_66, 67,角度制与弧度制1角度制：规定周角的360为1度的角，记作10,它不会因圆的大小改变而改变，与无关弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作irad或1弧度或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如 -冗，-2冗等等，一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。.角的度量rad(1)角的度量制有：角度制，弧度制(2)换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住 180o001orad 0.01745(rad)

4、 1rad(180)0 57.30o360o 2 , 180o rad ,180,(3)特殊角的弧度度0030o45o60390o120o135150o180o270o360o弧度.弧度数计算公式在半径为r的圆中，弧长1所对的圆心角的弧度数为| | =.弧长公式与扇形面积公式角度制弧度制弧长公式n rl 一180l | | r扇形面积2S 360S -l r - | | r222(是圆心角的弧度数).三角函数定义在直角坐标系中，设 是一个任意角，在 的终边上任取一点P(x,y),它与 原点的距离r ,则r | OP | Jx2 y2 0 .过作轴的垂线，垂足为，则线段OM的长 度为x ,线段M

5、P的长度为y .把：比值y叫做正弦，即sinMPy.rOPr比值X叫做余弦，即cosOMXrOPr比值y叫做正切，即tanMPyxOMx利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：(1)叫做的正弦，记做，即；(2)叫做的余弦，记做，即；叫做的正切，记做，即。x.三角函数在各象限的符号：是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推 出的口决：一全正，二正三切四余.三角函数线以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画圆，这个圆就叫做单位圆(注意： 这个单位长度不一定就是1厘米或1米)。设单位圆与角 的终边的交点P(x, y), 过点作轴交轴于点，过单位圆与x轴的非负半轴交

6、点A作单位圆的切线与角 的 终边(或延长线)交于点T。根据三角函数的定义：sin MP y, cos OM x , tan AT。我们把有向线段，分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示 方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。补充：特殊角的三角函数值:0643232sin010-1cos10-10tan01不存在0不存在cot不存在10不存在0经典例题例1写出终边在轴上的角的集合解：终边在轴上的角的集合是 例2已知是第三象限角，则是第几象限角？答案：第一，第三，第四

7、象限例3. (1)若sin cos 。则在第 象限。sin2 ,cos2 ,sin- ,cos- ,tan (2)若 是第二象限角，则222中能确定为正值的有个。答案:(1)二、四象限(2)为第三第四象限，为第一，第三象限，所以为 1个例4已知角 的终边上一点P (-4m,3m),且m0求 的四个三角函数值 答案：例5已知一扇形的中心角是，所在圆的半径为R,若60o，R 10cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形面积答案：所以面积：基础练习题：1,若角则角是第象限角()A 1 B 2 C 3 D 42,是的()A充分不必要B 必要不充分C充分必要D既不充分也不必要3,已知角的终边经过点P(-1 ,

8、2),则()A B C D第二节三角函数的基本公式复习要求：1,理解同角三角函数的关系2,能正确运用同角三角函数的关系进行三角函数的化简求值3,能正确运用三角函数的诱导公式化简三角函数式4,理解二倍角的三角函数知识点：一、任意角的三角函数 TOC o 1-5 h z 22在角 的终边上任取一点P(x，y)，记：r 、x y ,yx正弦: HYPERLINK l bookmark19 o Current Document sin cos 一余弦:tanycot正切：x余切：secrcsc正割：x余割：y r y注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数： 如图，与单位圆有关的有向线段

9、MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线。倒数关系：sincsc 1 cos商数关系：tansin一 cot cos平方关系：. 2 sincos211同角三角函数的基本关系式sec 1 tan cot 10cossin 0,22/, 22tan sec 1 cot csc三、诱导公式 2k （k Z）、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变,符号看象限）_332 、2、 2、 2的三角函数值，等于 的异名函数值，前面 加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式sin(sincos

10、cossinsin(sincoscossincos(coscossinsincos(coscossinsintan(tantan1 tan tantan(tan tan1 tan tan五、二倍角公式sin 22sin coscos22. 22cos sin 2 costan22 tan1 tan2二倍角的余弦公式（）有以下常用变形:（规律：降幕扩角，升幕缩角）1 cos222coscos22sin21 sin 2(sin、2 cos )sin2(sin cos)22 coscos222 sin1 sin 22tan1 cos2sin 2sin 21 cos2 0六、万能公式（可以理解为二倍角

11、公式的另一种形式）一2-.c 2 tan_1 tan ,八 2 tansin 2= cos2 2tan 221 tan1 tan1 tan万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。七、和差化积公式sin sin 2 sincos 22sin sin 2 cossin22cos cos 2 coscos22cos cos 2sin 2sin2 了解和差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式:sin sin 2sincos22cossin22sin sin 2sincos22cossin22两式相加可得公式，两式相减可得公式。cos cos 2 coscos222sinsin22cos cos 2 coscos222sinsin22两式相加可得公式，两式相减可得公式。八、积化和差公式sincoscossincoscossinsin1 /一 sin(21一 sin(21一 cos(21,一 cos(2sin(sin(cos()cos(我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。九、辅助角公式a sin x bcosx TOC o 1-5 h z 2. 2 , /、a b sin(x)() 其中：角