三角形“四心”向量形式的充要条件应用讲义

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1 . O 是ABC的重心 ;1 _若 O 是 ABC 的重心，则 S BOC S AOC S AOB 丁 S ab c 故 oaOB OC 0； u u ur 4 u u uru u ur uuirPG3- ( paPBPC ) G 为 ABC 的重心.3O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA若O是ABC （非直角三角形）的垂心，则S BOC :AOC : S AOBtan A : tan B : tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 02 . 2 2O 是 ABC 的外心|OA | |OB | |OC

2、 |(或 OA OB OC )sin2A : sin2B : sin2C若 O 是 ABC 的外心则 SBOCSAOC : SAOB B : sin AOC: sin A B故 sin2AOA sin 2BOB sin2COC 04. O是内心 ABC的充要条件是oa( ab_|AB |竺)OB -(旦 BC ) AC BC |I BA IOC (I CA )0gI进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为6?忌，则刚才。是S BOC ： S AOC ： S AOB故 aOA bOB cOC 0 或 sinAOAsin BOB sin COC 0 .7umr uuu uu

3、u uua uuu uuu|AB|PC |BC|PA |CA|PBABC 的内心；uuu uuur向量(-UUB ACA)(0)所在直线过 ABC的内心(是BAC的角平|AB| |AC|分线所在直线)；范例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1 . O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点 P满足ABCrt心的充要条件可以写成OA(eie3) OB (eie2) OC (e2 e3) 0, O是AB6心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0 。若O是ABC的内心，贝qOP OA （也 处） 0, 则P点的轨迹一定通过 ABC的（AB AC（A）外心（B）内心（C）重

4、心（D）垂心ABuuuuuu LULT解析：因为 是向量AB的单位向量设 AB与AC方向上的单位向量分别为e2,又ABOP OA AP ,则原式可化为AP（e 62）,由菱形的基本性质知 AP平分 BAC ,那么在ABC中，AP平分BAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2 . H 是KBCIf在平面内任一点，HA HB HB HC HC HAaH是AABC勺垂心.由 HA HB HB HC HB （HC HA 0 HB AC 0 HB AC ,同理HC AB HA BC.故H是AABC勺垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是AABO在平面上一点，若 PA PB

5、 PB PC PC PA,则P是AKBC的（D ）A .外心B.内心C.重心D .垂心解析：由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0 ?即 PB (PA P。0,即 PB CA 0点G是MBC的D是BC的中点，AD为BC边则PB CA,同理PA BC,PC AB所以P为ABC的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4 . G是 ABC所在平面内一点，GA GB GC =0 重心.证明 作图如右，图中 GB GC GE连结BE和CE贝u CE=GB BE=GC BGCE平行四边形上的中线？将 GB GC G或入 GA GB GC=0,得GA EG=0 G

6、A GE 2GQ故G是ABC勺重心.（反之亦然（证略） 3 A例5.P是ABCIf在平面内任一点.G是ABC勺重心 PG （PA PB PC）PG i（PA PB PC） . （反之亦然（证略） 3例 6 若 O 为 ABC 内一点 ,A . 内心B. 外心 C. 垂心uu uuu uuur r uuu uur解析：由 OA OB OC 0 得 OB OCuuu uuur uuurOB OC OD ，由平行四边形性质知质，所以是重心，选D（四） 将平面向量与三角形外心结合考查uuu uu例 7 若 O 为 ABC 内一点， OA uOBA . 内心B. 外心 C. 垂心C O ，则 0 是 A

7、BC 的（ ）D . 重心uuuOA,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则 uuur i uuurOE -OD ， OA 2 OE ，同理可证其它两边上的这个性uuurOC ，则O 是 ABC 的（D . 重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等。故 O是ABC勺外心，选B（五）将平面向量与三角形四心结合考查例 8 . 已知向量 OR ， OP2OP3 满足条件OR + 0P2 + 0P3 =0，| OR |=| OP21=| 0P3 |=1 ，求证 仲1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）1证明 由已知 OP + OP=- O段 两边平方得

8、OP OB =-2? . 1同理OP2 OP3 = OP3 0P1 =- ，?I PTR1=1 PF31=1 RPi1= 3,从而 PlF2P3 是正三角形.反之，若点O是正三角形 PlP2P3的中心，则显然有OP + OP+ OF3=0且I OP | = | OB | = | OP|.即O是ABCIf在平面内一点，0P1 +0P2 +0P3 =0 且 |0P1 | = |0P2| = |0P3 I点 0 是正AP1P2P3 的中心.例9 .在AABCK 已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q G H三点共线，且QG:GH=1:2【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立

9、如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B(xi,0)、C(X2,y2),D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有:D(X1,0)、E(Xl 空，匕)、F(A, 2 2 2 2xxyUUJUuujtG(七)号)AH ggQF 3 3 iuirBC (X2 Xiy)y2)由题设可设Q(竺2(X2乂 匕 y3)2 2 2 y3)uuur uuuTQ AH BC luuu iuur AH ?BC x2(x2 xi)y?y4X2(X2 xjy4y2uuu uuuuQQF ACuuu uuuX2 XiQF ?ACX2(2 2ya)y3X2(X22 y2Xi)uuuuxiQH(X2 y, y4y3)2

10、 Xi3X2(X2 xj)Y22uurXiQGy3)2x Xi3x2(x2 xj6y2i uuuu 二_1 QH 3(e X1 平X2(X2 Xj6-2y2y2、1,2x2 XiT)3(一uuuu uuur即QH =3QG故Q、G H三点共线，且 QG : GH=i : 2例10 ?若0、H分别是 ABC的外心和垂心证明 若ZVBC的垂心为H,外心为O,如图.OH OA OB OC .连BO并延长交外接圆于D,连结AR CD.? ?AD AB, CD BC 又垂心为 H , AH BC, CH AB,?AH CD, CH AD,?四边形AHCM平行四边形,.AH DC DO OC,故 OH O

11、A AH OA OB OC223X2(X2 Xj 纬2y22.求证著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”,外心、重心、垂心的位置关系:(1 )三角形的外心、重心、垂心三点共线一一 “欧拉线”；(2 )三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题例11.设0、G H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.求证OG -OH3证明按重心定理 G是ZVBC的重心OG -(OA OB OC)3 = 1 = 按垂心定理 OH OA OB OC由此可得 OG - OH .3补充练习1.已知

12、A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC勺重心，动点P满足1 11OP= (0A+ OE+2 0C),则点P 一定为三角形ABC的 3 22(B )A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点1 111. B 取 AB 边的中点 M,则 OA OB 20M 由 OP = 一( OA + 0B+2 OC)可得 3 2 23OP 3OM 2MC.mp2mg即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，血3点P不过重心，故选B.皿 U2 UCU吧 ULUILW ULULLT LLLLW2 .在同一个平面上有ABC及一点0满足关系式：cA+ BC = OB +

13、 CA = OC +UJUJU12AB则0为ABC的(D )A外心B内心C重心D垂心UUU UUU UUU2 .已知ABC勺三个顶点 A、B、C及平面内一点P满足：PA PB PC 0，贝U P为ABC的?已知0是平面上一定点，A B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足：OP 0A（AB A。，贝U P的轨迹一定通过公 ABC勺（C ）A外心 B 内心C重心D垂心.已知AABC, P为三角形所在平面上的动点，且动点 P满足：uuu uuu UUL UUU UUU UUUPA?PC PA?PB PB?PC 0,贝（P 点为三角形的（D ）A外心 B 内心C重心D垂心.已知AABC , P为三

14、角形所在平面上的一点，且点A外心B内心C重心D垂心A 外心 B 内心 C 重心 D 2.在三角形 ABC中，动点 P满足： CA（B ）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 UUU UUU UULP满足：a PA b PB c?PC 0 ，贝U P点为三角形的（B ）垂心2i .CB 2AB?CP贝U P点轨迹一定通过公 ABC白勺:AB AC AB AC 17?已知非零向量 AB与AC满足（+） BC=0且？一 =一 ,则ABC （） 一 2|AB| |AC|AB| |AC|A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰斗等边三角形D.等边三角形uuu ULUT解析：非零向量与满足（-AB

15、 ） - =0 ,即角A的平分线垂直于BC, ? ? AB = AC,又|AB| |AC|uuu UULTicosA MLB ACL= , ZA= 一，所以zABC为等边三角形，选 D . |AB|AC|238. ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为 H, OH m（0A OB 0C）,则实数m = 1 9.点0是ABC所在平面内的一点，满足 OA OB OB OC OC 0A则点0是ABC的（B(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点10.如图1 ,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB, AC两边分别交于 M , N两点

16、，且uuu v AMuuu v ANuuv xABuuv yAC,uuv uuv证 乂 G是 ABC的重心，知GA GB uuv uuv 得 uuv AG) uACuAG) O, uuuvAG (AB有 AGMN 上)，uuvGC O, 1 uuv uuuv i(AB AC)。又 M ,3G三点共线(A不在直线于是存在uuu/有AGuuv xABuuv uuuv,使得AG AM uuv 1 uuv uuv yACUULVAN (且=一(AB AC),1), 3于是得一x例讲三角形中与向量有关的问题教学目 1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 标：2、向量的加法、数量

17、积等性质3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程：1、课前练习22 2已知。是4ABC内的一点，若 OA OB OC贝U。是ABC勺A、重心B、垂心C、夕卜心D、内心在 ABC 中，有命题 AB AC BC ; AB BC CA 0 ;若 AB AC ? AB AC 0 ,则8BC为等腰三角形；若AB?AC 0,则8BC为锐角三角形，上述命题中正确的是A B、C D 2、知识回顾三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法向量的有关性质上述两者间的

18、关联3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题AB AC ?BC o 和 AB?AC1例1、已知AABC中，有AB -,试判断AABC的形状AB AC 或AC 2练习1、已知AAB3, AB a, BC b, B是AAB计的最大角，若a?b 0，试判断AABC的形状外心、内心4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知O是AABC所在平面内的一点，满足O 是 AABC 的A、重心B、垂心AB AC|AB ACC、例3、已知P是AABC所在平面内的一动点，且点 P满足OP OA则动点P 一定过AABC的A、重心B、垂心C、夕卜心D、内心练习2、已知O为平面内一点，A B、C平面上

19、不共线的三点，动点 P满足1 OP OA AB -BC , 20, 则动点P的轨迹一定通过公ABC的重心B、垂心C、夕卜心D、内心OP OAOP ABC 所在平面内的ABACAB cosB AC cosC重心B、垂心O ABCOB OC2ABACAB cosB AC cosC重心B、垂心点，动点0,则动点P 一定过 ABC的C、外心D、内心所在平面内的一点，动点0, 则动点P 一定过 ABC的C、夕卜心D、内心例5、已知点是的重心，过作直线与AB、 AC分别相交于两点，且AM x?AB,AN y ? AC,求证:6、小结处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实

20、数互化合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。7、作业 1、已知。是 ABC内的一点，若 OA OB OC Q贝U。是ABC勺A重心B、垂心C外心D内心2、若ABC勺外接圆白圆心为O,半径为1,且 OA OB a?OC 0,贝 U OA?OB等于A B、023、已知O是AABCf在平面上的一点,C 1Ck 2A、B、C所对的过分别是a、b、c若a?OA b?OB c?OC Q 贝 U O 是 ABC 的A、重心B、垂心C、夕卜心D、内心4、已知P是SBC所在平面内与A不重合的一点，满足AB AC3AP ,则 P 是 AABCA、重心B、垂心C、夕卜心D、内心5、平面上的三个向量 O

21、A OB OCW是OA OB OC 0, KBCJ正三角形。OAOB OC 1 ,求证:6、在AB/, 0为中线AM上的一个动点，若 AM = 2,求oa (ob o。三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”(必修4第二章)的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时,先将几何问题中的几何元素和几何关化为基向系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转 量的

22、运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。卜面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。“重心”的向量风采uuu uuu uuur【命题11G是公ABCIf在平面上的一点，若GA GB GC0,贝U G是公ABC的重心.如图.图图【命题2 已知。是平面上一定点,A B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足UJU uuu OP OAuuu UJUT (AB AC),(0,),贝U P的轨迹一定通过 ABC的重心.“垂的向 #UU采uuu uuuruuu uuur【解析】 由

23、题意AP(AB AC),当(0,)时，由于(ABAC)表示BC边上的中线所在【命题3】直线的向量，所以动点P是公ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PCPC PA,则是 ABC的垂心.【解析】uuu uuu 由 PA PBP的轨迹一定通过 ABC的重心,uuu uuuuuu uuuPB PC,彳# PB (PAuuurPC) 0 ,如图.uuuuuu 即 PB CAuuu uur0 ,所以PB CA .同理可证uuu uuuPC AB ,uuu uuuPA BC.?P是公ABC勺垂心.如图.垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过4ABC的垂心，如图.B图【命题已知0是平面上B,C

24、是平面上不共线的三个点,P满足uuu uuuOP OAuuu-uu ABumr tAC AC cosC(0，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心.【解析】uu由题意uAPuuu-uuABABcosBuuurrAC-AC cosCuuuuuuruuu uuu 即uuuruu uuuuuuuuAB BCAB cosBwtrAC cosCurBC“内心”的向量风采, 由于 -ttuAB- AB cosBuuuCB 0，所以AP表示垂直于-AC AC cosCuuuBC 0 ,uuuBC的向量，即P点在过点A且【命题 5】 已知I ABC所在平面上的一点，且 AB c , AC b , BC a .若uu uu【解析】UU UU UUUVIB IA ABUUU vbABUU T ,IC juur eACUUIAuuurACuur?Al