课时训练3.2.3奇偶性(解析版)

1、第三章 函数的概念与性质3.2.3 奇偶性】基础闯关题型一奇偶性的概念及图像特征1、已知一个奇函数的定义域为-1,2,兄6,则 a+b等于()A.-1B. 1C. 0 D. 2解析：因为该奇函数的定义域为7,2, a, b, 且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b 中一个等于1, 一个等于-2,所以 a+b=1 + (-2)=-1,故选 A.2、函数劝=炉+|用的图象()A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于x轴对称D.不具有对称轴解析：因为f(-x) = (-x)2+1 -X |= x2+1 X |= f(x),所以/(x)是偶函数，其图象关于y轴对称.故选B3、设函数/(1)=。工3+

2、以一1,且/(一 1) = 3,则 /等于()A. -3 B. 3 C.-5 D. 5 解析：因为/(工)+1 =63+版是奇函数，所以 /(-x) + l = -ax5 - bx,所以 /(-1) + 1 = -(/(-1) + 1)/(-1)+1 = -/(I) - L3 +1 = -/(1) -1, /. /(I) = -54、/(x)是定义在R上的奇函数，其在0,+8) 上的图象如图所示.(1)画出/(x)的图象；(2)解不等式4务实基础达标检测解析：(1)根据奇函数的图象关于原点对称, 可得/(x)的图象如图所示.(2) (刈0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0。结合图象可知

3、，4Xx)。的 解集是(-2,0)U(0, 2).题型二 奇偶性的判定5、函数/(x) = Lx(0,1)()xA.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析：丁定义域为(0,1),不关于原点对称，.： 函数尸(x)既不是奇函数又不是偶函数，故选 C.6、若定义在R上的函数/(x)满足：对任意8,W R 有 f(X + x2) = /(8)+ /(&) +1，则下列说法一定正确的是().A. /(x)为奇函数 B. “X)为偶函数 C. /(x) + l为奇函数 D. /(x) + l为偶函数 解析：令演=三=0,则 f(O) = f(O)+f(O)+l, /

4、. /(0) = -1令怎=羽毛=一X，则 /() = /。) + /(# + 1， f (x)+1 + /(r) +1 = 0,/(x) +1 为奇函数，故选C.7、判断下列函数的奇偶性，并加以证明./(x) = xjl-1 x | ;x+2,x -1,/(x) = 1 ,-1xl解析：(1)定义域为1，g(X)= -xJlTT = g(x),所以 g(x)是奇 函数.(2)函数的定义域为R,当工l,/(-X)= _(-x) + 2 = X+ 2 = /(x).当 X1 时，/(%) = -%4-2 ,此时一XV-1,/(t) = t+2 = /(x).当一 时，/(x) = 1 = /(-

5、x).综上可知对任意H都有/(T)= /(X),所以/。)为偶函数.题型三 奇偶性的综合应用8、若函数”工)=&+(1)工+3是偶函数， 则上等于.解析：由于函数f(x) = 2 +(k-l)x+3是偶 函数，所以/(x) = /(-x)即kx2 +(A:-l)x+3 = Ax2-(/:-1)x+3 ,所以2(女一l)x = O恒成立，所以4二1.9、已长口函数/(x) = _t. x(1)证明：/(X)是奇函数；(2)用函数单调性的定义证明：/(X)在(0,+co)上为增函数.解析：(1)由已知，函数/(X)的定义域 为 = xR|xWO.设则( X If./so=-=一/(劝-XX所以函数

6、f(x)为奇函数.(2)证明：设怎,人是(0,+qo)上的两个任意 实数，且占。.Ay=/(6/a)= S-口% 斗玉(-1)-X2(x; -1)_ (x2-占)(占天 +1)因为0 & 0 ,& 一 凡0 , xkx2 + 1 0 ,所以Ay 0 ,所以f(x)在(0,+oo)上是增函数.10、已知函数/(X)定义在(Y。,”)上，满足： 任意x,yeR,都有/(x+y) = /(x)+/(y)成 立，2) = 1.(1)求 O)JQ)的值.(2)判断/(4)的奇偶性，并加以证明；解析：(1)令工=0得， /(0+0)=/(0)+/(0),解得:/(0)=0, 令x=y = i得，/(1+1

7、)=/(1)+/(1)=2/(1), 又2) = 1,所以可得/(l)=g;(2)令丫二一工,则有/(x-x) = /(x)+/(-x) = /(O)= O, 所以f (r) = -f (x),所以函数f(x)为 (-oo,+8)上的奇函数11、定义在一1, 1上的函数y = /(x)是增函 数且是奇函数，若/(一。+ 1) + /(44-5)0.求 实数。的取值范围.解析：由/(一 + 1) + /(4。-5)0得,定义在- 1, 1上的函数 尸尸(x)是增函 数且是奇函数， TOC o 1-5 h z 不等式等价为f (4a-5) f (a-1), ;2-1 4-5 a -14a 3即32

8、43即实数a的取值范围是一 一.3212、已知函数x) =空斗是定义在(一口)上 r+11 ?的奇函数，且/份)=歹(1)求的解析式；(2)用定义证明在(一口)上是增函数；(3)解不等式/(，-1) + /(。0.解析：(1)因为函数= 是定义在x- + 1(-1,1)上的奇函数，所以0) = 0,得6 = 0.又知/($ = |,解得4 = 1所以/(# =六.(2)证明：V xlW (T,1)，且冷 J,则/(公)一8)-，1 + X, 1 + 为(1+苔-)(1 + 工-)由于一及1,所以-1XX20,所以(4一乂1一*？)0,即/(X,)-/(内)0,所 (l + Gl+x?-)以/(

9、x)在(-1,1)上是增函数.(3)因为/(x)是奇函数，所以f(T)= -/(X)，所以/(f-l) + /) 0等价于/a-i) -/(o=/(-0，即 /a-i) /(-0,又由(2)知/(、)在(7,1)上是增函数，所以，解得o/J_, ,2即原不等式的解集为能力提升1、已知函数/(x) =2g是奇函数, ax -2x,x 0)/、 /“)=，,八、，试判断的X- + x(x 0 时，一x 0,则 h(-x) = x2 - x = -(-x2 + x) = -/?(%);当x0,则h(-x) = -x2 -x = -(x2 + x) = -A(x);(一x) = -/?(x)/(x),

10、/?(x)都是奇函数.3、已知/(x)是定义在H上的不恒为零的函思维拓展探究重点数，且对任意的凡bsR都满足f(ab) = af(b) + bf(a).(1)求/(O)J(l)的值;(2)判断/(冷的奇偶性，并证明你的结论.解析：(1) /(0) = /(0- 0) = 0/(0) + 0/(0) = 0;/(I) = /(l l) = l- /(1) +1-/(I) = 2/(1), ./(i) = o.(2)/(I) = f (-1) (-1) = (-1)/(-1)+(-1)/(-1) = -2/(-1)=0 f (-x) = f(T) ,刃=(-1) , f (%)+日(-1)=-/(x) + 0 = -/(%)故/(x)为奇函数.4、函数/(x)对于任意的实数X,)，都有f(x+y)=fa)+f(y)成立,且当x0时/(x) i f(4x)-f(r2)解析：(1)令x二y二0得f (0)=0,再令y二一x即得f(-X)=f(x) Af(x)是奇函数(2)设任意王，公氏，且演 0 ,由已知得f (公 一&)/(公),由函数的单调性定义知/(X)在(-8, +)上是减函数*-2, 2时，/_ = f (-2) = - 2) = -/(I+1) = -2/